第一节导数概念77024ppt课件

1、第二章第二章微积分学的创始人微积分学的创始人: 德国数学家德国数学家 Leibniz 微分学微分学导数导数描述函数变化快慢描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度描述函数变化程度都是描述物质运动的工具都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数从微观上研究函数)导数与微分导数与微分导数思想最早由法国导数思想最早由法国数学家数学家 Ferma 在研究在研究极值问题中提出极值问题中提出.英国数学家英国数学家 Newton一、引例一、引例二、导数的定义二、导数的定义三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数五、单侧导数第一节第一节导数的

2、概念导数的概念 1. 1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设质点沿直线作非匀速运动设质点沿直线作非匀速运动,其走过的路程其走过的路程S 与时间与时间 t 的函数的函数关系式为关系式为: S=S (t ) .求某一时刻求某一时刻 t0 的瞬时速度的瞬时速度 .一、引例一、引例0ttS vttSttS )()(00)(tSS so)(0tS)(0ttStt0解解: 设从时刻设从时刻 t0 到到 t0+t这段时这段时间质点走过的路程间质点走过的路程 S = S (t0+t ) - S (t0) 从从 t0 到到 t0+t 这段时间内这段时间内 , 平均速度平均速度对非匀速运动的质点来说对非匀速

3、运动的质点来说 , 平均速度平均速度可作为可作为 t0 这时刻的这时刻的瞬时速度的近似值瞬时速度的近似值 , (t很小时很小时)vvtt 0(t越小越小) ,0越接近越接近与与vvtt (当当t 0时时) ,v极限存在极限存在, 我们就有我们就有vvttt0lim0 即即vvttt0lim0 ttSttSt )()(lim0002.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位

4、置2.2.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置 T0 xxxoxy)(xfy CNM 假设假设 N M 时时, 割线割线 MN 的极限位置的极限位置 MT , 称为曲线在点称为曲线在点M处的切线处的切线.的的斜斜率率为为割割线线MNxy tan,)()(00 xxfxxf , 0, xMNC沿沿曲曲线线的的斜斜率率为为切切线线MT.)()(limtan000 xxfxxfkx ),(,(00 xfxM设设).(,(00 xxfxxN 两个问题的共性两个问题的共性:so0t)(0tS)(tSt瞬时速度瞬时速度 lim0ttv)()(0tStS 0tt 切线斜率切线斜率xy

5、o)(xfy CNT0 xMx lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx所求量为函数增量与自变量增量之比的极限所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有类似问题还有:加速度加速度角速度角速度线密度线密度电流强度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是质量增量与长度增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题变化率问题二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 1 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxxxf

6、xxf )()(00 xyx 0lim存在存在, ,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作: :;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 则称函数则称函数假设假设的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , 在点在点0 x处可导处可导, , 在点在点0 x的导数的导数. . 导数定义的另外一种形式导数定义的另外一种形式,0 xxx )(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx 若记若记)(0 xf xxfxxfx )()(lim0

7、00,0 xxx 当当x0 x0 时时, , x x 0 0lim xxxfxxf )()(00 xyx 0lim若上述极限不存在若上述极限不存在 ,在点在点 不可导不可导. 0 x假假设设,lim0 xyx也称也称)(xf在在0 x若函数在开区间若函数在开区间 I 内每点都可导内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数此时导数值构成的新函数称为导函数.记作记作:;y; )(xf ;ddxy.d)(dxxf就说函数就说函数就称函数在就称函数在 I 内可导内可导. 的导数为无穷大的导数为无穷大 .注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0例例1. 常数函数常数函数Cxf )(解解

8、:yCC 0即即0)( C)()(xfxxf 求初等函数导数的公式求初等函数导数的公式xxyxfx 00lim)( xyxfx 0lim)( 00lim0 xx步骤步骤: :);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求极限求极限解解:y )()(xfxxf 例例2. 幂函数幂函数)N()( nxxfnnnxxx )(nnnxxxnnxnx)()(! 2)1(221 xyxfx 0lim)( xxxxnnxnxnnnx )()(! 2)1(lim22101nnx 说明：对一般幂函数对一般幂函数 xy ( 为常数为常数) 1

9、)( xx例如，例如，)( x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后将证明）（以后将证明）xxxysin)sin( 例例3. 三角函数三角函数xxfsin)( 的导数的导数. 解解:xxxxx )2cos()2sin(2lim0即即xxcos)(sin 类似可证得类似可证得xxsin)(cos xcosxyxfx 0lim)( )2cos()2sin(2xxx 例例4.)1, 0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .log1)(logexxaa 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(l

10、oglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa 例例5. 设设)(0 xf 存在存在, 求极限求极限.2)()(lim000hhxfhxfh 解解: 原式原式 0lim hhhxf2)(0 )(0 xfhhxf2)( 0 )(0 xf)()(lim21000hxfhxfh )()(lim21000hxfhxfh )(210 xf )(210 xf )(0 xf 三、导数的几何意义与物理意义三、导数的几何意义与物理意义,.1作作变变速速运运动动物物体体 G, )(tss 已已知知运运行行的的路路程程为为, )(0tv瞬时速度瞬时速度000)()(lim)(0tttststv

11、tt . )(0ts:0得得为为换换tt. )()(tstv . )()()(tvts速率速率的导数为瞬时速度的导数为瞬时速度即路程函数即路程函数, )(G.2tvv 的的速速度度物物体体中速度中速度在时段在时段则则,G0tt, )()(0tvtv 增量为增量为上上在在时时段段为为比比值值,G)()(000tttttvtv ,速度的平均增加率速度的平均增加率, )(,000tattt时时刻刻的的加加速速度度则则得得让让 0000tttvtvtatt)()(lim)(. )(0tv:0得得为为换换tt. )()(tvta. )()(tatv的导数为加速度的导数为加速度即速度即速度,.3非均匀的金

12、属丝非均匀的金属丝ox0 x,xxo段段的的长长度度为为, )(xmmxo 段段的的质质量量,)()(00段的质量段的质量为为则则xxxmxm .)()(000段段上上的的平平均均密密度度为为xxxxxmxm )(单单位位长长度度上上的的质质量量, )(,000 xxxx 点的质量密度点的质量密度得到得到让让0000 xxxmxmxxx)()(lim)( . )(0 xm. )()(xmx 或或. )()()(xmxxmx 的导数的导数对长度对长度是质量是质量即线密度即线密度 几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0

13、xf 曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy 法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy )0)(0 xf,)(0时 xf,)(0时 xf注意注意: 假设假设切线方程切线方程: x = x 0 表示切线垂直于表示切线垂直于x 轴轴,法线方程法线方程: y = y 0 例例6. 问曲线问曲线3xy 哪一点有垂直切线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处哪一点处的切线与直线的切线与直线131xy平行平行 ? 写出其切线方程写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令令,3113132x得得,1x对应对应,1y则在点则在点(1,1

14、) , (1,1) 处与直线处与直线131xy平行的切线方程分别为平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即即023 yx故在原点故在原点 (0 , 0) 有垂直切线有垂直切线1111处处可可导导在在点点xxf)(四、四、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续处连续在点在点xxf)(证证: 设设)(xfy 在点在点 x 处可导处可导,)(lim0 xfxyx存在存在 , 因此必有因此必有,)(xfxy其中其中0lim0 x故故xxxfy)(0 x0所以函数所以函数)(xfy 在点在点 x 连续连续 .即即可导可导连续连续连续连续可导可导证证:.

15、0不可导不可导在在即即 xx注意注意: 函数在点函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.例例7:xy 在在 x = 0 处连续处连续 , 但不可导但不可导.xyoxy 2xxy为初等函数为初等函数 , 所以在所以在R上连续上连续,xfxfxy)0()0(xx0 x,10 x,1xyx0lim不存在不存在 , 在点在点0 x的某个右的某个右 邻域内邻域内五、五、 单侧导数单侧导数)(xfy 若极限若极限xxfxxfxyxx)()(limlim0000则称此极限值为则称此极限值为)(xf在在 处的右处的右 导数导数,0 x记作记作)(0 xf即即)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左左

16、)(左左)0( x)0( x)(0 xf0 x例如例如,xxf)(在在 x = 0 处有处有,1)0(f1)0(fxyoxy 定义定义2 . 设函数设函数有定义有定义,存在存在,定理定理2. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf简写为简写为在点在点处右处右 导数存在导数存在0 x定理定理3. 函数函数)(xf)(xf在点在点0 x必必 右右 连续连续.(左左)(左左)若函数若函数)(xf)(af)(bf与与都存在都存在 , 则称则称)(xf显然显然:)(xf在闭区间在闭区间 a , b 上可

17、导上可导,)(baCxf在开区间在开区间 内可导内可导,),(ba在闭区间在闭区间 上可导上可导.,ba可导的充分必要条件可导的充分必要条件是是且且内容小结内容小结1. 导数的实质导数的实质:3. 导数的几何意义导数的几何意义:4. 可导必连续可导必连续, 但连续不一定可导但连续不一定可导;5. 已学求导公式已学求导公式 :6. 判断可导性判断可导性不连续不连续, 一定不可导一定不可导.直接用导数定义直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.axf)(02. axfxf)()(00增量比的极限增量比的极限;切线的斜率切线的斜率;,)(0c,)(1 xx,cos)(sin

18、xx,sin)(cosxxaxxaln1)(log 连续函数不存在导数的几种常见情形连续函数不存在导数的几种常见情形.,)()()(,)(. 1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如, ,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 31xyxy01)( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, , 1)(3 x

19、xf.1处处不不可可导导在在 x., )()(. 30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0, 00,1sin)( xxxxxf例如例如, ,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy. )()(,)(. 4000不不可可导导点点的的尖尖点点为为函函数数则则称称点点符符号号相相反反的的两两个个单单侧侧导导数数且且在在点点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例如例如 y = x23( (其图形大致如上图其图形大致如上图) )思考与练习思考与练习1. 函数函数 在某点在某点 处的导数处的导数)(xf0 x)(0 xf )(xf 区别区别:)(xf 是函数是函数 ,)(0