线面垂直的判定与性质

1、线面垂直知识点1 .直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2 .线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：女口果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3 .三垂线定理和它的逆定理 .三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜 线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平

2、面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平 面上的射影垂直.题型示例【例1】如图所示，已知点 S是平面ABC外一点，例1题图/ABC=90° , SAL平面 ABC,点A在直线SB和SC上的 射影分别为点 E、F,求证：EF ± SC.【解前点津】 用分析法寻找解决问题的途径，假设 EFLSC成立，结合 AFLSC可推证SCL平面AEF ,这样 SCXAE,结合AEXSB,可推证 AEL平面SBC,因此证明 AEL平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SAL平面ABC, /ABC=90° ,可以推证 BCXAE,结合 AELSB完成AEL平 面SBC的证明.【解后

3、归纳】 决问题的关键.【规范解答】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解【例 2】已知：M A N=AB,PQ，M 于 Q, PO, N 于 O, ORM 于 R,求证：QRXAB.【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1） a / b,a±c= b±c;（2）a± a ,bc a n a ±b;（3）三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于

4、垂面之上所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条 线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结 射影，寻第四条线.【例3】 已知如图（1）所示，矩形纸片AA'A'iAi,B、C、Bi、Ci分别为AA',AiA'的三等分点，将矩形纸片沿 BBi,CCi折成如图（2）形状（正三棱柱），若面对角线 ABJBCi,求证：ACABi.例3题图解（i）【解前点津】 题设主要条件是 ABiXBC,而结论是 ABiXAiC,题设，题断有对答性，可在 ABBiAi上作文章，只要取 AiBi中点D

5、i,就把异面直线 ABi与BCi垂直关系转换到 ABBiAi同一平面 内ABi与BDi垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断 ABi与AiC垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取 AB中点D即可，只要证得 AiD垂直于ABi,事实上DBDiAi,为平行四边形, 解题路子清楚了 .【解后归纳】 证线线垂直主要途径是:(1)三垂线正逆定理，(2)线面，线线垂直互相转化 .利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普 遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法

6、AB=3,BC=4,CD=6,则AD的取值范围例4题图【例4】空间三条线段 AB,BC,CD,AB，BC,BC，CD,已知是.【解前点津】如图，在直角梯形 ABCDi中,CDi=6,AD i的长是AD的最小值 淇中AH ± CDi,AH =BC=4,HD i=3, ADi=5；在直角 AHD 2中,CD2=6,AD2是AD的最大值为,HD22 AH 2 = (6 3)2 42 = 97【解后归纳】 本题出题形式新颖、 灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手 ，其实冷静分析, 找出隐藏的条件很容易得出结论 .对应训练 分阶提升一、基础夯实a、b表示直线，给出下列四个命题:1.设M表不平

7、面， a/ba _M=b _MDa-M b_ M= a/b=b/ Ma/Malb二 b1M.其中正确的命题是A.B.2.下列命题中正确的是)C.()D.A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线,则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形 ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把AADE、 CDF和4BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为 P那么，

8、在四面体 P-DEF中,有 （）A.DP，平面 PEFC.PM，平面B.DM，平面 PEFDEFD. PFL平面 DEF4.设a、b是异面直线，下列命题正确的是A.过不在a、b上的一点P 一定可以作一条直线和 B.过不在a、b上的一点P 一定可以作一个平面和 C.过a 一定可以作一个平面与b垂直D.过a 一定可以作一个平面与b平行）a、b都相交a、b都垂直5 .如果直线l,m与平面A. a ± y H l ±m6 .AB是圆的直径，B.a , 3 , y 满足：1= 3 n 丫，1 / a，丫且 m " 3 C.m II,m= a和m± 丫，那么必有（）

9、3 且 l-Lm D. a II 3-S-a-LyC是圆周上一点，PC垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1 ,则P到AB的距离为A.1B.22.5 C.53.5 D.57.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行;过平面a的一条斜线l有且仅有一个平面与 a垂直;异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与 b都不垂直其中正确命题的个数为A.0B.1()C.28.d是异面直线a、b的公垂线，平面D.3a、3满足a± a , b± 3 ,则下面正确的结论是（A. a与3必相交且交线m / d或m与d重合B. a与3必相交且交线 m / d但m与d不重合C. a与

10、3必相交且交线 m与d 一定不平行D. “与3不一定相交9 .设1、m为直线，a为平面，且1，a ,给出下列命题若m± a ,则m/ 1;若m± 1,则m/ a ;若m / a ,则m±1;若m / 1,则m± a ,其中真色理的序号是 （）A.B.C. D.10 .已知直线1，平面a ,直线m鼻平面3 ,给出下列四个命题：若 a / 3 ,则 1 _L m ；若 a _L 3 ,则 1 / m ；若 1 / m,则 a _L 3 ；若 1 _L m,则 a / 3 .其中正确的命题是（）A.与 B.与 C.与 D.与二、思维激活11 .如图所示， AB

11、C是直角三角形，AB是斜边，三个顶点在平面 a的同侧，它们在a内的射 影分别为 A' , B' , C',如果 A' B' C'是正三角形，且 AA' = 3cm, BB' =5cm,CC' =4cm, 则AA' B' C'的面积是A.D.第12题图12 .如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,当底面四边形 ABCD满足条件 时，有ACLB1D1（注:填上你认为正确的一种条件即可 ，不必考虑所有可能的情形）13 .如图所示，在三棱锥 V ABC中，当三条侧棱 VA、VB、VC之间满足条件

12、时，有VC±AB.（注：填上你认为正确的一种条件即可 ）三、能力提高14 .如图所示，三棱锥V-ABC中,AH，侧面VBC,且H是 VBC的垂心，BE是VC边上白高.（1）求证:VC，AB;第14题图（2）若二面角 EABC的大小为30°，求VC与平面 ABC 所成角的大小.15 .如图所示，PA，矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN /平面PAD.(2)求证：MNLCD.今若/PDA = 45° ,求证：MNL平面 PCD.第15题图16 .如图所示，在四棱锥 P-ABCD中，底面 ABCD是平行四边形，/ BAD = 60

13、76; , AB =4, AD=2,侧棱PB=石5 , PD=百.(1)求证：BDL平面PAD.(2)若PD与底面ABCD成60°的角，试求二面角 P-BC-A的大小.第16题图17 .已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ZACB=90° ,ZBAC=30° ,BC=1 , AA=后，M 是 CC1 的中点,求证：AB1±A1M,18 .如图所示，正方体 ABCDA' B' C' D'的棱长为a, M是AD的中点，N是BD '上一点, 且 D' N ： NB= 1 ： 2, MC 与 BD 交于 P.(

14、1)求证：NP，平面 ABCD.第18题图(2)求平面PNC与平面CC' D' D所成的角 (3)求点C到平面D' MB的距离.第4课线面垂直习题解答1 .A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行2 .C 由线面垂直的性质定理可知 .3 .A 折后 DP，PE,DP，PF, PEL PF.4 .D 过a上任一点作直线 b' / b,则a, b'确定的平面与直线 b平行.5 .A,m± 丫且mU a，则必有a ± y，又因为1= 3 n 丫则有l u 丫，而m± 丫则l，m,故选A.22

15、AC BC 26 .D P 作 PDAB 于 D,连 CD,则 CDAB, AB=4AC2+BC2 =U5 , CD =AB 5PD= J PC2 +CD2 =；1 4-=”. 557 .D 由定理及性质知三个命题均正确.8 .A 显然a与3不平行.9 .D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10 .B a / 3 , 1 ± a ,11 m11 .： cm2设正三角A' B' C'的边长为a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB 2 = a2+4,又 AC2+BC2=AB2,a2=2.c- 322Sa b c

16、 - - a = cm - 4212 .在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中当底面四边形ABCD满足条件ACLBD(或任何能推导出这个条件 的其它条件，例如 ABCD是正方形，菱形等)时，有A1CB1D1(注:填上你认为正确的一种条件即可 不必考虑所有可能的情形).点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一，要求思维应灵活13 .VCXVA, VCXAB.由 VCVA, VCLAB 知 VCL平面 VAB.14 .(1)证明：: H为 VBC的垂心，.VS BE,又 AH,平面 VBC, BE为斜线 AB在平面 VBC上的射影，ABVC.

17、(2)解:由(1)知 VC± AB,VC±BE, .VC,平面 ABE,在平面 ABE 上，作 ED, AB,又 ABLVC,AB±rn DEC.AB±CD,.Z EDC 为二面角 E-AB-C 的平面角， ，/EDC=30° J AB,平面 VCD,VC在底面 ABC上的射影为 CD. / VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角，又 VC±AB,VC±BE, .VS面 ABE,.-.VCIDE, ，/CED=90°，故 / ECD=60 ° , VC与面ABC所成角为60° .15.证明：(

18、1)如图所示，取 PD的中点E,连结AE, EN,则有 EN/ CD /AB/AM, EN= 1CD= 1AB = AM,故 AMNE 为平行四边形 22MN / AE. AE 平面 PAD, MN 平面 PAD,MN /平面 PAD.(2) PAL平面 ABCD, PAXAB.又 ADAB, . AB,平面 PAD. ABXAE,即 ABXMN.又 CD / AB, MN LCD.(3) .PA，平面 ABCD, PAXAD.又/PDA =45° , E为PD的中点. AEXPD,即 MN，PD.又MN，CD, .MN,平面 PCD.16.如图(1)证：由已知 AB = 4, AD

19、=2, / BAD = 60° ,故 BD2 = AD2+AB2-2AD - ABcos60° = 4+16-2 X2X4X 1=12.2又 AB2= AD2+BD2, .ABD是直角三角形，/ ADB=90° ,即 ADBD.在4PDB 中，PD = <3 , PB= 15 , BD= $12 ,PB2= PD2+BD2,故得 PDXBD.X PDAAD = D, .BD,平面 PAD.(2)由BD,平面PAD, BD鼻平面 ABCD. 平面 PAD，平面 ABCD.作 PEAD 于 E, 又PE平面PAD,第15题图解第16题图解PE，平面 ABCD,PDE是PD与底面 ABCD所成的角. ./PDE=60。,PE = PDsin60。= v;3 k-=-222作 EF，BC 于 F ,连 PF,贝U PFXBF, 丁./ PFE是二面角 PBCA的平面角.又 EF = BD= 122 ,在 RtA PEF 中,tan Z PFE =PEEF -2.3故二面角 P BCA的大小为arctan17.连结 ACi,ACCC1MCCi A RtA ACCiRtAMCiAi,