二次函数在实际生活中的应用

1、7二次函数在实际生活中的应用【经典母题】某超市销售一种饮料，每瓶进价为 9元，经市场调查表明，当售价在10元到 14元之间（含10元，14元）浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40 瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶.问销售价格定为每瓶多少元 时，所得日均毛利润（每瓶毛利润=每瓶售价-每瓶进价）最大？最大日均毛利 润为多少元？解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为40040（x12）65 = 1 360 80x,y=（x9）（1 360- 80x）=80x2+2 080x-12 240（1g x< 14）._2 080= 132a 2X （

2、80）'v10<13< 14, .当 x=13 时,y 取最大值,y 最大=80X 132+2 080X 13-12 240=1 280（元）.答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元.【思想方法】 本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内,需了解函数的性质（最大最小值,变化情况，对称性，特殊点等）和图象，然后依据这些性质作出结论.【中考变形】1. 2017锦州某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价 提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基

3、础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少.销t>（n）400300图 Z8-1售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图Z8-1所示.图中点P所表示的实际意义是 当售价定为35元 /件时、销售量为300件;销售单价每提高1元时, 销售量相应减少_20件；（2）请直接写出y与x之间的函数表达式：_y= 20x+ 1 000 ;自变量x的取值范围为 30& x&50 ;（3）第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300 件；第一个月的该商品的售价为20X（1+

4、50%） = 30（元），销售单价每提高1元时， 销售量相应减少数量为（400 300）中35 30） = 20（件）.解得,'k= 20,、b= 1 000,（2）设y与x之间的函数表达式为 y= kx+ b,将点（30, 400）, （35, 300）代入，400=30k+ b, 得、300=35k+ b,；y与x之间的函数表达式为y= - 20x+ 1 000.当 y= 0 时，x=50,自变量x的取值范围为30<x< 50.（3）设第二个月的利润为W元，由已知得 W= （x 20）y=（x 20）（ 20x+1 000）= 20x2+ 1 400x- 20 000=

5、 20（x35）2+4 500,v-20<0, .当 x=35 时,W取最大值 4 500.答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润，最大利润是 4 500 元.2. 2016宁波一模大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商 品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间存在 一次函数关系，如下表所示：销售价x（元/件）110115120125130销售量y（件）5045403530若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡（即 支出=商品成本+员工工资+应支付的其他费用 ）.已知员工的工资为每人每 天100元，每天

6、还应支付其他费用200元（不包括集资款）.求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；（2）该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天 的毛利润最大（毛利润=销售收入一商品成本一员工工资一应支付的其他费用)；(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少大(取整数)才能还清集资 款？解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y=kx+ b,将 x= 110, y= 50; x=115, y=45 分另1J代入，解得、b= 160f110k+ b=50, 得k115k+ b=45, .y

7、= x+ 160(0< x< 160);(2)由已知可得 50X110= 50a+3X 100+ 200,解得a= 100.设每天的毛利润为 W元，则 W= (x-100)(-x+ 160)-2X 100-2002=x2 + 260x16 400=(x130)2 + 500,当x=130时，W取最大值500.答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛禾I润为500元；(3)设需t天才能还清集资款，则 500t>50 000+ 0.000 2X 50 000t,解得 t>102-2. 49.t为整数，t的最小值为103天.答：该店最少需要103天

8、才能还清集资款.3. 2017青岛青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000价格比淡季上涨1.下表是去年该酒店豪华问某两天的相关记录：31(1)该酒店豪华间有多少问？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的问数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元, 每天未入住房间数增加1间.不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨(注：上涨价格多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元?需为25的倍数)解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得

9、40000x1 + 324 000x+ 10,解得x = 600,酒店豪华间有40 00040 000600X 1+3）50（间）,旺季每间价格为x+ 1x= 600+1X 600= 800（元）. 33答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元;(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，y = (800+ x) ,0 25 )= 25(x 225)2 + 42 025,当x = 225时，y取最大值42 025.答：该酒店将豪华间的价格上涨 225元时，豪华间的日总收入最高，最高日 总收入是42 025元.4.某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成 A

10、, B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售. A类杨梅的包装成本为1万元/t,根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x>2)(t) 之间的函数关系式如图Z82, B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s= 12 +3t,平均销售价格为9万元/t.(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；(2)第一次该公司收购了 20 t杨梅，其中A类杨梅x t,经营这批杨梅所获得的 毛利润为W万元(毛利润=销售总收入一经营总成本).求W关于x的函数关系式；若该公司获得了 30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨

11、梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得 最大毛利润，并求出最大毛利润.解：(1)y=x+ 14 (2<x<8), £ (x>8);(2)二销售A类杨梅x t,则销售B类杨梅(20 x)t.当20x<8时，W= x(-x+ 14) + 9(20x) 3X 20x 12 + 3(20 x) = x2 + 7x + 48, 当 x>8 时，W= 6x+9(20-x)-3X20-x- 12+3(20 x) = x + 48,函数表达式为W='x2 + 7x+ 48 (2<x<8), x+ 48

12、(x>8);当 20x<8 时，一x2+7x+ 48=30,解得 x1=9, x2= 2,均不合题意, 当 x>8 时，x+48 = 30,解得 x= 18.答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18 t;设该公司用132万元共购买m t杨梅，其中A类杨梅为x t, B类杨梅为(m x)t,购买费用为3m万元.由题意，得 3m+x+ 12+3(mx) = 132,化简，得3m=x+ 60.当 20x<8 时，W= x(-x+14) + 9(m-x)-132,把 3m=x+ 60 代入，得W= (x 4)2 + 64,当x= 4时，有最大毛利润64万元.此时，m

13、=64 mx=5；当 x>8 时，W= 6x+9(m-x)-132,由 3m=x+60,得 W= 48,当 x>8 时, 毛利润总为48万元.答：综上所述，购买杨梅共64 t,且其中直销A类杨梅4 t, B类杨梅52 t公司能获得最大毛利润64万元.【中考预测】某衬衣店将进价为 30 元的一种衬衣以 40 元售出，平均每月能售出 600 件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1 元，其销售量将减少10 件(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下， 使月销售利润达到 10 000元，销售价应定为多少？(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润解：(1)由题意可得月销售利润y 与售价之间的函数关系式为y=(x30)600 10(x 40) = 10x2+ 1 300x 30 000;(2)当 x=45 时，60010(x 40) = 550(件)，y = 10 X 452 + 1 300X 45-30 000= 8 250(元)；(3)令y=10 000,代入(1