第一章电磁场的普遍规律

1、121767年，普利司特利（英国）第一次提出r-2成正比；1769年，罗比生（苏格兰）验证吸引力n略小于2，排斥力n=2.06；1772-1773，卡文迪许验证平方反比定律；1785年，库仑发表电力平方反比定律.牛顿把电力、磁力和引力列为一组，称这三位一体的力为“长程力”；把光与物理的相互作用、聚合力和发酵力称为“短程力”。1.1 电荷与电场电荷与电场关于静电力理论的发展31R2R卡文迪许静电学实验卡文迪许静电学实验 先给外球充电； 取下外球后，测量内球带电为零； 给内球充一部分电，反复充放电，直至电位计刚好不偏转，此时的充电量为误差电量.理论依据：如果粒子间的吸引力随着它们之间的距离平方成反

2、比，那么一个质量分布均匀的空心球壳对其内部的任意一质点引力合力为零（牛顿）。结论：内球带电量不会超过外球的1/60.2 1/501Fr+表示内球为正电，-表示为负电.4卡文迪许生前未发表的电学手稿：卡文迪许生前未发表的电学手稿： 关于电作用定律和电荷沿导体表面分布； 关于电容量的确定和表示； 关于电介常数的测定；关于导电能力的研究。5库仑定律是描写真空中两个静止的点电荷q和q之间相互作用力的定律。2014qqFrFr zxyoxxrqqg库仑定律库仑定律6现代物理实验证实：以下定理与r-2密切相关：高斯定理光子的静止质量为零导体内部没有净电荷21/Fr精确程度：如果把库仑定律写成：适用尺度：r

3、 10-16m时，Fr-2成立；r10-16m时，Fr-2有偏差，原因：电子和质子不再是点电荷.参见费曼、7讨论：库仑力 强度：如果两个人有1%的电荷不平衡，相距1m，他们之间的作用力多大？（1026N） 原子的稳定性：电子为何不落入原子核（后叙） 原子核的稳定性：核力短程力，下降比1/r2更急剧. 如果核子数过多，原子核变成不稳定。“核能”是电力足以克服核力而释放出来的“电”能. 电子的稳定性：电子各个部分相互排斥（自能），如果保持在一起？（不存在核力了） 表现形式：摩擦力、肌肉张力、化学力8若空间存在n个电荷q1, q2qn，任意qj，受到的作用力为31014njijjiijiq qFrr

4、9( )FqE x是点电荷q所在的位置矢量x作用在电荷q上的力仅与该电荷的电量q及其位置有关，即。与Coulombs law比较：310()1( )4|niiiiq xxE xxx10201( )( )4VxE xrdr电荷连续分布时zP(x,y,z)yoxxxrd:x:x场点P的位置矢量源点 的位置矢量( )x d11四、电势baWF dl baWE dl unit1L2LabdlFq移动点电荷ab，外力做功：单位电荷问题：静电场中，沿不同路径做功一样吗？设沿L1电场力做功（正）大，沿L2做功（负）小，12,LLaba 则额外得到能量.违反能量守恒原理.0LE dl因此：12babaaaWE

5、 dl unit0014qr习惯上：点电荷取无穷远为电势零点014niiiqr多个点电荷连续分布： 014rdVraabgr电势差：2001144baabqdrqrrr 单位电荷势能之差.点电荷的电势13五、静电场的旋度设：沿x轴移动单位电荷x, xx电势差：unitxWE dlEx 外力做功：xEx 可得0静电场的基本方程0E由于标量梯度的旋度恒为零同理, yzEEyz E 因此unit ,W14数学证明301( )( )4Vx rE xdr 根据31rrr 0011( )( )()411( )4( )VVE xxdrxdrx 01( )( )4Vxxdr因此：0E15讨论：对于静电场以下的

6、表述是等价的移动电荷做功与路径无关；可用一个标量场来表示；闭合回路旋度0LE dl0E()0LSE dlEdsStokes theoremE 这些结果是基于径向力这一事实，而不依赖于1/r2的事实.aabgr有相似规律的例子：静电力和万有引力（F1/r2）、三维谐振子（Fr2）16六、高斯定理、静电场的散度s考虑可以朝各个方向发射子弹的枪，不管曲面半径多大，从曲面射出的子弹数守恒。问题：如何用数学公式表示这种守恒？可以导出N1/r2的关系.定义物理量：单位时间单位面积的子弹数量N，方向沿径向.SN dsc17如果将E矢量想像成发射的子弹，电荷想像成发射子弹的枪，也应该有某种守恒？考虑点电荷附近

7、的闭合曲面21/,Er如果由于2sr0SE ds结论：不包含电荷的闭合曲面电通量为零。依旧成立0SE ds如果曲面与径向有一个倾角，面积增加 ，而En减少coscos18曲面包含点电荷时设想一个球形曲面S，那么在S和S之间围成的曲面内，电通量为零.SSE dsE ds204qErr220044SqqE dsrr如果结论：00 / SqSE dsqqS在 外面在 里面19根据高斯公式01SVVE dsEdVdV0E微分形式 空间任一点E的散度仅仅决定于该点的电荷密度，而E描述场源的性质（有检源作用）； 高斯定理是基于库仑定律的r-2的事实基础上的；20数学证明：301( )( )4Vx rE x

8、dr 根据3300201( )1( )( )4411( )4VVVx rrE xdxdrrxdr 31rrr 0001( )4()41( ) ()1( )VVxxxdxxx dx 01E21静电场是有源无旋场，电力线不闭合，从正电荷出发到负电荷终止，有头有尾。 静电场可表示为标量函数的负梯度，即 因此，它是保守场，电荷在场中沿闭合曲线运动一周电场力做功为零。( )E x 静电场的结论00EE静电场的数学表示22qqqq忽略重力1231F2F3F问题：处于正三角形中点的q是否能稳定？0P包围P0的想象曲面q不能处于稳定的平衡.问题：静电场中点电荷能否处于稳定平衡？P0为在放置电荷前的位置.要想稳

9、定，当放置电荷时，电荷受到的电场力（恢复力）方向处处指向P0.结论：任一静电场中电荷不存在稳定的平衡点.七、高斯定理的应用23原子的稳定性汤姆孙模型失败的理由：电荷的静止组态是不存在的。24原子模型与行星模型的比较122q qFkrr122m mFGrr25原子稳定性原子中的电子 绕核运动 （加速）辐射电磁波 E减少 r减小（原子的“坍塌”）原因：根据不确定关系： ，如果r减少，必定引起p增加，从而引起能量的增加，抵抗静电引力，使得电子离开原子核（电子质量比较小的缘故）.r p 26 原子再生性：在太阳系中，一旦受到与太阳质量相当恒星的撞击，太阳系将崩溃，永远不可能再恢复到原来的状态。而原子受

10、到质量相当的原子撞击后，一旦外来原子远离，原子马上恢复到原来的状面。原因：原子的再生能力主要来自原子的核力，一种到目前为止，我们还没有完全了解的力，没有人能够写出两个原子核之间的作用力。 原子同一性：按照经典力学，太阳系是由当初形成时宇宙的初始条件决定的，初始条件不同则不可能形成相同的结果，因此不可想象还存在着第二个完全一样的太阳系。然而，却可以轻而易举地找到相同的原子。原因：经典粒子没有全同粒子271.2 1.2 电流和磁场电流和磁场电流密度j：单位面积在单位时间内通过的电荷量.电流强度I：单位时间内垂直穿过导线横截面的电量.一、电荷守恒定律qjns tSIj ds电荷守恒大量的实验证明，对

11、于封闭系统，总电荷保持不变。即一处电荷增加了，另一处的电荷必然减少，而且增加和减少的量值相等。28在通有电流的导体内部，任意找出一个小体积V，包围这个体积的闭合曲面为S.V单位时间内穿过S曲面流出去的电量为：SQj dsS内电荷在单位时间内的减少量：Vdddt 所以SVdj dsddt 0jt电荷守恒定律的数学表达电荷守恒定律的数学表达式式, ,也称也称连续性方程。连续性方程。SVj dsjd 高斯公式29注意：在稳定电流的情况下，由于 ，所以 这表示稳定电流线是闭合的。0t对于全空间V，S为无穷远界面，由于S面上没有电流流出，即 ，从而得到 表示全空间的总电荷守恒。0Vddvdt0j0j d

12、s30二、安培定律电流元：类似于牛顿把质量化为粒子的方法，把电流当成电流元的集合。第一个“零点实验”II123现象：1、2电流对3电动力为零。结论：不用再考虑吸引力和排斥力是否相等的问题，可用一个统一公式表示.jd线电流分布电流元jdjs dlIdl31nIdl I dlFr 第二个“零点实验”r23r1III设：两个电流元的作用力为：为电流元之间夹角的函数现象：1、2电流对3作用力为零。结论：与一般矢量一样，电流元完全可以进行空间投影.32第三个“零点实验”现象：A、C电流对B作用力为零。结论：距离平方成反比n=2.rmr2m r固定固定IIILmLABC33安培定律(Amperes law

13、)同理， 受到 的作用力 为：若真空中有两个稳定的电流元 和 ，则电流元 受到电流元 的作用力 为：11j d22j d11j d22j d011221212212()4j dj drdFr022112121221()4j dj drdFr11j d22j d12dF21dF34在线电流分布的情况下，jdIdl011221212212();4I dlI dlrdFr022112121221() 4I dlI dlrdFr因此问题：电流元之间的相互作用力不满足Newton第三定律.11I dlr22I dl12dF21dF35考虑两个闭合回路01122121221212()4I dlI dlrF

14、r ()()()ABCA C BA B C 011121122122212221212120112121 221222121212()()44I dl rI dlI dlFI dlrrrdl rdl dlI Idlrrr 两个电流元对称036第一项：121121212222121121212222112cos(,)rdlrdldldldlrrdrdlr因为210LLdrdrr 因此012121 23121202121121 23122121()4()4dl dlFI IrdldlFI Irrr 1221FF 12 r11I dl22I dl12dr37几个力定理比较：万有引力库仑力安培力作用基

15、元质点（存在孤立）点电荷（存在孤立）电流源（不存在孤立）基元性质标量标量矢量距离关系平方反比律平方反比律平方反比律力的方向向心向心非向心德国的格拉斯曼：没有任何先验的理由把“电流元”当成粒子一类的实体。对有限元积分后，作用力与距离成反比。安培：既然“电流元”不存在，“电流元”的相互作用在自然界中就不可能成为一个独立现象，无需解释自然以外的事实.38三、磁场（三、磁场（magnetic field)类似于两个点电荷之间作用力通过静电场进行的，两个电流元之间的作用力则是通过磁场进行的。一个电流元 在磁场中所受到的力可以写为：11j d111( )( )( )dF xj x dB x0122312(

16、 )( )4rB xjx dr与Amperes law 比较：根据叠加原理：03( )( )4VrB xj x dr对于线电流：毕奥萨伐尔定律03( )4LI dlrB xr 3903( )( )4Vj xrB xdr 毕奥萨伐尔定律Br没有径向分量闭合曲面的磁通量=00B稳恒电流所激发的磁感应强度是一个无源矢量场，即B线是一个闭合曲线。40数学证明数学证明0030( )1( )( )44( )4VVVj xrB xdj xdrrj xdr 对场点 微分x31rrr因为积分是对 函数的，所以可以提到积分号外x 0( )( )4Vj xB xdr令：0( )( )4Vj xA xdr( )( )

17、B xA x()0BA 静磁场基本方程41( )( )B xA x ( )( )B xA x 第一项2()AA ()()()AB CB A CA B C 00( )1( )( )44VVj xA xdj x drr对场点 微分x11rr 001()( )4( )1( )4VVj x drj xdj xdrr 稳恒=04200( )( )4( )4VSj xA xdrj xdSr 因此由于电流应全部包含在积分区域内，因而在边界面上电流密度的法向分量应为零，即得到：( )0A x物理意义：表示A是由稳恒电流（j = 0）产生的矢势.无源43第二项?2 A22020( )( )41( )4VVj x

18、A xdrj xdr214( )4()rxxr 00( )4()4( )Vj xxxdj x 0( )( )B xj x静磁场的两个基本方程：0( )0( )( )B xB xj x44磁场是无源有旋场，磁力线是闭合的。磁场是非保守场，电流激发的磁场是以涡旋形式出现的，与静电场截然不同， 表示：B和是j同一点函数，它描述了电流的分布情况， 起检源作用。磁感应强度B可表示为矢量A的旋度，A为矢势，稳恒电流激发的磁场的矢势满足如下方程：0( )( )B xj xB20( )( ) , ( )0A xj xA x 且静磁场特性45 0vq0vv0vrIS固定在导体上六、一个佯谬：电荷如何运动？BF

19、vq0v 0vv IS固定在电荷上r0v B洛伦茨力fqvB 是对那个参照系的速度？v 对于固定在导体上的参照系S电荷受到磁场力，将作类似平抛运动，离导线越来越近. 对于固定在电荷上的参照系S电荷没有受到磁场力，与导线距离保持不变.4600000EBEtBEBjt 实验定律实验定律库仑定律安培定律法拉第电磁感应定律假说假说位移电流47从1820年奥斯特发现电流的磁效应，到1925年安培完整用数学表示出电流的磁现象，物理学家认为这就是电与磁全部内容。按照安培的观点：静止的电荷会对电荷产生作用，运动的电荷会对磁铁产生作用，磁的本质也是一种电流，磁力是电流对电流的一种电动力。至此，人们关于电和磁的知

20、识具备完备性。一、电磁感应定律的发现可利用电磁力制备电表，获得机械能48对称思维方法：如果自然界有某一现象，一定存在这一现象对称的现象。在法拉第看来，电和磁是一对和谐的对称现象，如果把其中一种实体约化为另一种实体的某种特殊形式，就破坏了自然的对称性。法拉第：既然磁是电流产生的，按照对称性，电流也应该是磁产生的。49法拉弟电磁感应定律实验总结：闭合线圈中的感应电动势与通过该线圈内部的磁通量变化率成正比。mSddB dsdtdt LEdl感电动势：单位电荷受到的力沿切线方向对环路的累积.LSBEdldst 感()0SBEdst感LSE dlE dsBEt 感电源对单位电荷的功500 EBEt 感感

21、横场电场由两部分组成：EEE静感0 0EE静静纵场0( )( )( )( )xE xB xE xt 电场基本方程51 I塑料圆盘线圈带电小球 塑料圆盘线圈电池带电小球E二、佯谬：圆盘转动吗？ 电流I磁场减少产生E小球受力圆盘转动；当某种原因，电池供电断电（或超导的温度升高超过临界温度），电流停止，圆盘会转动吗？ 整个系统合力矩为零，角动量为守恒量圆盘不动.52三、位移电流电磁现象的基本实验定律：00 0 EBEtBBj jt 在恒定电流情况下：0j00jjtt 在非恒定电流情况下：0()0Bj 由式：因此Amperes law必须作修改.矛盾53麦克斯韦首先看到了这个问题，并从理论上巧妙地解决

22、了，若将式0E代入 电荷守恒定律，则：00()()0jjEttEjt只要把安培定理中的 用 代替，矛盾就迎刃而解.0Ejtj安培定理修改为：00()EBjt540DEjt位移电流的引入从另一个侧面深刻揭示了电场和磁场之间的联系：不仅变化的磁场激发电场，变化着的电场激发磁场，两者都以涡旋形式激发。 位移电流电磁规律的普通形式为（真空中的麦克斯韦方程组）：0000 0EBEtBEBjt 550IELKdI1S麦克斯韦在式中增加了一项，将带来巨大的变化000EBjt 000LSEB dljdst 写成积分形式100LSB dlj dsI充电得平行板电容器考虑S1曲面（E0）：560ILKdIE222

23、00000000LSSSEB dldsndsttqdsItt 2S考虑S2曲面（j0）：0En无限大平面电场强度似乎位移电流仅仅将方程组合得和我们的预期相同，并没有增加新鲜的东西。（后叙）与S1相同57四、洛仑兹力（Lorentz force)点电荷q在电场E中所受的力(Coulombs force)为：eFqE如果该点电荷是运动的，并存在磁场，则还要受到磁场力的作用（Amperes force)mdFjdBjne由于mdFne dB mFqB()emFFFq EBLorentz力58如果把它写成力密度的形式：()fEjBEB因此，一个带电粒子受电磁场的作用力：()fe EB59真真实；善给人

24、类带来福利；美带来愉悦的心情.60引力力的定律电磁力麦克斯韦方程组00000EBEtBEBjt ()Fq EvBdpFdt221/mvpvc其中 122rm mFGer表1. 经典物理学基本定律1905年之前所有物理学定律仅仅在一个表格中，只剩下另外一个高峰量子力学611.4 介质的电磁性质介质的电磁性质将介质（绝缘体）放入电磁场中，是否对电磁场有影响？介质在电磁场的作用下，将被极化和磁化，出现附加电荷和电流，这些附加的电荷和电流也要激发电磁场，使原来的宏观电磁场有所改变。法拉第实验发现：在电容器中加入电介质，电容器的容量增加了。62在电场的作用下，介质中的正负电荷分别受到方向相反的作用力，正

25、负电荷间的距离拉开了。另外，有极分子在电场作用下按一定方向有序排列。极化强度矢量：/iiPp V只有穿过高斯面的分子偶极矩对高斯面的净电荷有贡献。从里面跑出去的电荷 ：dQqnl dsP ds单位体积的电偶极矩63通过封闭曲面跑出去的总电荷为：SQP ds闭合曲面内的净电荷为：pSQQP ds 所以pVVSdP dsPd pP 微分形式非均匀介质极化后在整个介质内部都出现束缚电荷；均匀介质内，束缚电荷只出现在自由电荷和介质界面处。64极化电流密度与极化强度的关系极化电流：当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的相对位移也将随时间改变。极化电流和极化电荷也满足连续性方程：0ppjtppPjPtt

26、t pPjt 极化电流密度65极化电荷面密度与极化强度的关系在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。通过薄层进入介质2的正电荷为 ，由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 . 因此薄层出现的净余电荷为：2P ds1P ds21()pdQPPds 极化电荷面密度p21()pdsPPds 21()pnPP 66磁化现象：在外磁场作用下，环形电流出现有规则取向。磁化强度矢量 ：单位体积内的磁偶极子数.iimMV是第i 个环形电流的磁偶极子im, iiiimiaa为分子环流的面积.磁化电流密度与磁化强度的关系设S为介质内部一个曲面，边界L，只有通过一次的环流，如4、5、6、7，这种电流环对总电流有

27、贡献，L87612345S67l da在L上取一线元dl，电流圈面积为a .被边界线L穿过的环形电流数目：Lna dln为单位体积分子数总磁化电流：mLLIina dlM dl()mSLSjdSM dlMds磁化电流密度 ：mj()0mSjMdSmjM0mj说明磁化电流不引起电荷的积累，不存在磁化电流的源头。68均匀介质，磁化后介质内部的M为一常矢量.0mjM介质内部无磁化电流，分布在表面上. n t l 方向：为该点电流的方向。大小：为垂直通过单位横截面（现在为线）的电流；面（线）电流密度 ：Il 69两介质交界面上的磁化电流分布情况。mLM dlI21() LM dlMMlt()mmmIl

28、Nl nt n t 介质1介质2l 1M2M N 21()()mntMMt()()()AB CBCACA B21()()mtnMMt21()mnMM21()mnMM70介质存在时，空间电荷包括自由电荷和极化电荷fpfP介质中出现的电流有自由电流、极化电流、磁化电流fpmfPjjjjjMt00001()0()ffEPBEtBPEBjMtt 0ffDBEtBDHjt 00DEPBHM71宏观Maxwells 方程是包含有E, D, B, H四个场量。在E, D, B, H之间的关系尚未确定之前是无法求出方程组的解。这些关系隐含在00, BDEPHM( , ), ( , )DD E BHH E B

29、介质的电磁性质方程：大多数物质在场强不是很强时，介质对场的反应是线性的。0, , mPxEDEMx HBH极化率、 介电常数磁化率、 导磁系数xmx72在导电物质中，有jE, , DEBHjE在高频情况下，由于场变化很快，极化电荷和磁化电流跟不上场的变化，极化率和磁化率是场变化频率的函数，即：( ) , ( ) 在铁电和铁磁物质或强场情况下，P与E，M与H之间不再是齐次线性关系。另外，对于各向异性的介质来说，介电常数和导磁系数与场强的方向有关，是张量. , , ,1,2,3iijjiijjDEBHi j电磁性质方程73边值关系：两种不同介质的分界面上麦氏方程组 的形式.n2E1Et介质2介质1

30、hl 0fSVLSSLSSD dsdvE dlB dstB dsH dlj dsD dst 00fSVLSLSD dsdvE dlB dsH dlj ds积分面积0，而场值有限0一、边值关系74n2E1Et介质2介质1hl 00fSVLSLSD dsdvE dlB dsH dlj ds式：左边面积分（法向），右边体积分21()fnDD式：切向21()0nEE式：法向21()0nBB式：左边面积分（切向） ，右边体积分21()fnHH75严格数学证明n2dsh1D介质1介质22D2n1n1dsdsnfSD dsQ根据1211221122 ()SSSSD dsD dsDdsDdsD nDn ds侧

31、侧0,0h 由于12 , nnnn 1122()fD nDn dsds21()fnDD76根据fLSdH dlID dlsdt112221()LH dlHtlHtlHHtl ffffIj Sj h ll 为自由电流线密度ff n t 介质1介质2l 1H2H N 左边右边由于h0，而 为有限值，则Dt 0SdD dsdt21()fHHt 21()fnHH或77电磁场的边值关系为21212121()()0()0()ffnDDnEEnBBnHH 只有径向分量只有切向分量在考虑边值关系时，因为面积趋近于零，可忽略场量变化的影响，仅考虑电荷和电流的影响78二、进一步探究边值关系0fEP边值关系是渐变的

32、近似0yyxxzzfEPEPEPxyzxyz只有沿x方向的微分才会出现大的数值0 xxfEPxx02121xxfxxEExPP 0f 时79 022011xxxxfEPEPx21nnfDDBEt yxzyxzyxzEBEyztBEEzxtEEBxyt 只有x的微分才可能出现大的数值没有出现新鲜的东西0zEx21zzEE21yyEE800yxzBBBxyz0BfDHjt0 xBx21xxBB设电流沿y方向yxzyxzyxzHDHyztDHHjzxtHHDxyt没有出现新鲜的东西zHjx 21zzHH 0yHx210yyHH面电流密度811.7 1.7 电磁场的能量和能流电磁场的能量和能流电荷守恒定律jt 能量也应该有类似的规律：St 能流密度S：单位面积单位时间流过的能量；能量密度：单位体积的能量.VSddWdS dsdtdt 上