第6章时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法

1、第六章 时域离散系统的基本网络结构与状态变量分析法主要内容46.1 引言46.2 用信号流图表示网络结构46.3 无限冲击响应基本网络结构46.4 有限冲击响应基本网络结构46.5 状态变量分析法46.6 结束语6.1 引言(1)离散系统或网络的表示:差分方程，脉冲响应及系统函数。 离散系统对应确定的数字信号处理算法：差分方程比较直接，系统函数就不明显。用网络结构-信号流图也可以地表示算法。(2)为什么要研究网络结构 一个差分方程表示的离散系统有许多不同的网络结构或算法。不同算法的运算误差、运算速度以及系统复杂性和成本不同。网络结构表示的运算过程清楚，容易分析网络结构特点或研究算法性能。(3)

2、网络结构的表示：方框图、信号流图)()()(5 . 0113 . 011)(5 . 015 . 23 . 015 . 1)(15. 08 . 011)(123113112211zHzHzHzzzHzzzHzzzH可证明：MiiNiiinxbinyany01)()()(kNkkMkkkzazbzXzYzH101)()()(6.2 用信号流图表示网络结构(1)(1)数字信号处理中的三种基本算法 支路：线段,支路增益,延迟。节点：圆点,输入输出节点x(n)y(n)。节点变量:和。(2)基本信号流图：是一种确定的结构或算法。 支路是基本的：支路增益是常数或z-1。 流图环路中必须存在延迟支路。 节点和

3、支路数目有限。(3)学习要求 确定系统函数；画基本信号流图；掌握各种网络结构的特点和算法性能。 x2(n) x(n-1) x(n) z-1 x1(n) x2(n) x1(n)+ x2(n) x(n) ax(n) a x1(n)+ x2(n) x(n-1) x(n) x1(n) ax(n) x(n) a z-1 三种基本运算的流图 )()()()()()()()() 1()() 1()(202112122122221nwbnwbnwbnynwanwanxnwnwnwnwnw节点变量方程： z-1 z-1 -a1 -a2 b0 b1 b2 y(n) w1 w2 y(n) x(n) H(z) x(n

4、) w2 基本信号流图和非基本信号流图 6.2 用信号流图表示网络结构(2)(4)由信号流图求系统函数：设节点变量,列出方程，求解方程，推导输入输出关系。 (5)离散系统分类（按性质）（由H(z)画流图，按照系统特点画流图） 无限冲击响应系统(IIR：Infinite Impulse Response)，h(n)无限长。 有限冲击响应系统(FIR：Finite Impulse Response)，h(n)有限长。 注意：IIR用递归结构实现（存在反馈支路或环路）。FIR可用递归结构和非递归结构实现（无反馈支路）。)()()()()()()()() 1()() 1()(2021121221222

5、21nwbnwbnwbnynwanwanxnwnwnwnwnw节点变量方程：)()()()()()()()()()()()(20211212212122121zWbzWbzWbzYzWazWazXzWzzwzWzzWzWz变换：进行2211221101)()()(:zazazbzbbzXzYzH联立求解2021)()()(:iiiiinxbinyany差分方程 z-1 z-1 -a1 -a2 b0 b1 b2 y(n) w1 w2 x(n) w2 基本信号流图 6.3无限冲击响应基本网络结构(1) IIR系统的3种基本网络结构：直接型、级联型、并联型（由H(z)画流图问题）(1)直接型 画信号

6、流图：由系统函数求差分方程；画信号流图；结构优化。 特点：阶次高，反馈强，运算误差积累大，噪声大。MiiNiiinxbinyany01)()()(kNkkMkkkzazbzH101)()2() 1()()2() 1()(21021nxbnxbnxbnyanyany例如： b) H(z) z-1 z-1 z-1 z-1 x(n) y(n) a2 a1 b0 b1 H2(z) z-1 H2(z) y(n) z-1 z-1 z-1 b1 a) z-1 a1 a2 b0 b2 y(n) x(n) H1(z) x(n) IIR 网络的直接型结构 b1 b0 b2 b2 z-1 a1 a2 H1(z) c

7、) 6.3无限冲击响应基本网络结构(2)(2)级联型 特点：调整容易，一阶网络决定1个零极点，二阶网络决定一对零极点；阶次低，反馈弱，运算误差积累相对直接型大，噪声小。是极点。是零点，是常数，因式分解：iiNiiMiikNkkMkkkdcAzdzcAzazbzH,)1 ()1 (1)(111110实数。、，网络：共轭零极点合并成二阶络：实数零极点形成一阶网jjjjjjjjjjjjjjjzzzzzHzzzH21210221122110111101)(1)()().()()(21zHzHzHzHIIRk网络的级联形式：系统分解成一阶、二阶 12 22 12 02 01 11 z-1 A z-1 z

8、-1 y(n) 22 11 H2(z) H1(z) x(n) IIR 网络的级联型结构 6.3无限冲击响应基本网络结构(3)(3)并联型 特点：调整容易，一阶网络决定1个极点，二阶网络决定一对极点；阶次低，各并联网络互不影响，运算误差积累很小，噪声小；同时对输入信号计算，运算速度高。实数。、，二阶网络：一阶网络：jjjjjjjjjjjjjjjzzzzzHzzzH21210221122110111101)(1)(是一阶或二阶网络。，其中开就是并联型：将级联形式部分分式展)()(.)()()(21zHzHzHzHzHjk)()(.)()()()()(21zXzHzXzHzXzHzYk并联型网络输出

9、： IIR 网络的并联型结构 y(n) 12 22 12 02 01 11 z-1 A z-1 z-1 22 11 x(n) 6.4有限冲击响应基本网络结构(1) FIR系统的4种基本网络结构：直接型、级联型、频率取样型、线性相位型(1)直接型结构（卷积型结构）(2)级联型结构 说明：普遍采用直接型结构。级联型调整零点方便；但乘法器比直接型多。其它冲击响应：系统的差分方程：, 01,.,1 , 0,)()()(10NnbnhinxbnyFIRnNii1010)()()()()(系统函数：系统的响应：NnnNmznhzHmnxmhnyFIR h(N-1) h(N-2) z-1 h(2) h(1)

10、 z-1 z-1 y(n) h(0) x(n) FIR 网络的直接型结构 )().()()(21zHzHzHzHFIRk网络的级联形式：系统分解成一阶、二阶 22 12 02 01 11 z-1 A z-1 z-1 y(n) H2(z) H1(z) x(n) FIR 网络的级联型结构 ., )1 ()(110是零点因式分解：iMiiMkkkczcAzbzH22110110)()(zzzHzzHjjjjjjj络：共轭零点合并成二阶网：实数零点形成一阶网络6.4有限冲击响应基本网络结构(2)(3)频率取样型结构 基本结构：基于ZT与DFT的关系。FIR系统有限长，冲击响应为h(n),n=0,M-1

11、，频率响应可用抽样点H(k)，k=0,N-1精确表示，NM。当FIR系统用H(k)表示时，由内差关系，系统函数为 特点 调整频率响应容易。调整系数H(k)。 对任何频率响应，网络结构不变。 对于窄带系统，大部分H(k)为0，一阶网络数减少，比直接型结构运算量小。 不稳定问题。极点在单位圆上，量化误差容易使零极点不能对消。 乘法器系数H(k)和W因子一般为复数，做复数乘法硬件实现不方便。 1/N H(N-1) H(1) W-1N W0N H(0) z-1 -z-N z-1 y(n) x(n) FIR 网络的频率抽样型结构 W-N+1N z-1 分布在单位圆上。零、极点相同，等间隔，零、极点：组成

12、。个一阶网络并联的级联波器和构，它由梳状滤这种结构称频率抽样结1,.,2 , 1 , 0,1)(1)1 (11)(1)(101101NkWzNWzkHNzWzzkHNzHkNkNkkNNNkkNN6.4有限冲击响应基本网络结构(3) 改进的频率取样型结构圆上。，等间隔分布在零、极点：圆上的等间隔抽样。在是系统函数为圆上抽样，则：在方法rNkrWzrzHkHWrzkHNzrzHWrekHNereHrkNkrNkkNrNNNkkNjrNjNj1,.,2 , 1 , 0,)()(1)(1)1 ()(:1)(1)1 ()(110110 rN 1/N H(N-1) H(1) rW-1N rW0N H(0

13、) z-1 -z-N z-1 y(n) x(n) 改进的频率抽样型结构 rW-N+1N z-1 6.4有限冲击响应基本网络结构(4) y(n) HN/2-1(z) rN x(n) a1k a0k z-1 -r2 z-1 1/N H(N/2) H1(z) r H(0) z-1 2rcos() y(n) x(n) FIR 网络的频率抽样型修正结构 -r z-1 -z-N )2cos(211)0(1)1 ()() 1(),.21(),1 (),0(,)2cos(211)2/(1)0(1)1 ()() 1(),.2(),1 (),0(,12,.,2 , 1,)(Re2)(Re2)2cos(211)(1

14、)()()()()(,1)()()()()(22/ ) 1(1221110112/1221110111010221110)(111：奇数：偶数为实数。、，其中：，那么合并成二阶网络，记和将令。，且是实数，则：方法NkkkNNNkkkNNkkkNkkkkkNNkNkkkNkkNkkNNkNzrzkNrzrzHNzrzHNHNHHHNzrzkNrzrzNHrzHNzrzHNHNHHHNNkWkrHkHzrzkNrzWrzkNHWrzkHzHzHzHzHWrzkHzHWWkNHkHnh6.5 状态变量分析法(1)(1)状态方程和输出方程 特点：内部特性分析。 用途：系统内部结构研究；多输入多输出分析

15、；寻找特殊网络，克服缺点。 状态变量：一组最少的节点变量，可确定其它节点变量和输出信号。一般选在基本信号流图中单位延迟支路输出节点处。 结论：状态方程是状态变量和输入的关系。 输出方程是输出和状态变量的关系。 方法：在单位延迟支路的输出节点建立状态变量wi(n)，输入端为wi(n+1)；列出所有节点变量方程，化简为状态方程和输出方程。 z-1 z-1 -a1 -a2 b0 b1 b2 y(n) w1 w2 x(n) w2 二阶网络的基本信号流图 )()()()()()()()()()() 1()()()() 1() 1()(1020111022202112212112222nxbnwbabnw

16、babnwbnwbnwbnynwnwnxnwanwanwnwnw解：和输入输出方程。：二阶网络的状态方程例)()()()()(10)()(10) 1() 1(021011022211221nxbnwnwbabbabnynxnwnwaanwnwT整理成矩阵形式：6.5 状态变量分析法(2) 结论：状态方程和输出方程可用矩阵表示。 a12 a21 w2 w2(n) z-1 a11 c1 c2 b1 b2 y(n) w1(n) x(n) w1 一般二阶网络的基本信号流图 z-1 a22 )()()()()()()() 1() 1()()()()() 1() 1()(22211222212122212

17、12111111ndxnwcnwcnynxbnwanwanwnwnwnxbnwanwanwnwnw解：程。状态方程和输入输出方：更一般的二阶网络的例)()()()()()()() 1() 1(212121212221121121ndxnwnwccnynxbbnwnwaaaanwnwT整理成矩阵形式：)()()()()() 1(212122211211dccbbaaaanxnnynxnnTDCBADCWBAWW，其中：整理成矩阵形式：6.5 状态变量分析法(3) 状态方程和输出方程的一般形式 单输入单输出系统的两个方程的信号流图 B是列向量，C是行向量，D是标量。 参数A、B、C、D的含义： a

18、ij是节点wj(n)到节点wi(n+1)的支路增益。 bij是输入节点(j=1)到节点wi(n+1)的支路增益。 cij节点wj(n)到输出节点(i=1)的支路增益。 dij=d输入节点到输出节点的支路增益。了两个方程。称参数矩阵，它们确定、，其中输出方程为个输出，则状态方程和个输入，个单位延迟支路，设系统有DCBADCBAYXWDXCWYBXAWW、dddddddddcccccccccbbbbbbbbbaaaaaaaaanynynynnxnxnxnnwnwnwnnnnnnnLMNLMLLMMLNLLNNNMNNMMNNNNNNTLTMTN.)(.)()()()(.)()()()(.)()()

19、(:)()()()()() 1(212222111211212222111211212222111211212222111211212121 B z-1 A d C y(n) W(n) W(n+1) x(n) 单输入单输出系统的两个方程的信号流图 6.5 状态变量分析法(4)(2)离散系统的状态变量分析法 系统表示：建立状态变量、两个方程。方法：在单位延迟支路的输出节点建立状态变量wi(n)，输入端为wi(n+1)；列出所有节点变量方程，化简两个方程。 系统分析：求解两个方程。 解线性方程组求解析解。递推法进行实时处理。 a1 w2(n) w1(n) w1(n+1) b0 b1 z-1 z-1

20、 y(n) b2 a1 x(n) 已知网络的信号流图 0022011210022201112122212121112121222112110101; 0101.2dbabbabaaddbabcbabcbbaaaaaadccbbaaaaTTDCBADCBAABCD，因此：；，；，解：。写出：由参数矩阵含义直接例)()() 1()()() 1()()()() 1(12211101222111nwbnwbnwbnynwnwnxnwanwanw解：方程和输入输出方程。：建立离散系统的状态例)()()()()(01)()(01) 1() 1(021202101212121nxbnwnwbbabbanyn

21、xnwnwaanwnwT整理成矩阵形式： B z-1 A d C y(n) W(n) W(n+1) x(n) 离散系统的状态变量分析法 6.5 状态变量分析法(5)(3)由状态变量分析法转换到输入输出分析法：求系统函数及单位脉冲响应。 )()()()()() 1(ndxnnynxnnCWBAWW程和输出方程：单输入单输出的状态方由参数矩阵确定。结论：的特征值。的根，即极点：特征多项式系统函数：)()det()()()()(1zHzzAdzzXzYzHAAIBAIC参数矩阵确定。结论：单位脉冲响应由脉冲响应：响应。响应，第二项是零状态结论：第一项是零输入归纳：递推：时域递推法求解。脉冲响应由状态方程的)()()()()()()()()()() 1(1111000ndlnndxnnhlnxnnnxnnnllnnllnnBACCWBAWAWBAWW)()()()()()()()()()()(11zdXzXzzYzXzzzdXzzYzXzzzzBAICBAIWCWBAWW变换：做 B z-1 A d