差分方程的法

1、差分方程常用解法1、常系数线性差分方程的解(1)方程a0Xnka1Xnk1.akXnb(n)其中8问,.,孔为常数，称方程（1）为常系数线性方程。(2)称方不呈a0Xnka1Xnk1akxn0为方程（1）对应的齐次方程。如果（2）有形如Xnn的解,代入方程中可得:kk1a0a1.ak1ak0(3)称方程（3）为方程（1）、（2）的特征方程。显然，如果能求出方程（3）的根，则可以得到方程（2）的解。基本结果如下:（1）若（3）有k个不同的实根，则（2）有通解:nnnXnC11C22.Ckk（2）若（3）有m重根（即m个根均为），则通解中有构成项:mm«m1.(Gc2n.Cmn)(3)若

2、(3)有一对单复根22,arctan，则(2)nn.CicosnC2sinn(4)若有m重复根：1,成项：m1n_(c1c2n.cmn)cosn综上所述，由于方程(3)I的通解中有构成项:丁，则(2)的通项中有构m1n_(cm1cm2n.c2mn)sinn有k个根，从而构成方程(2)的通解中必有k个独立的任意常数。通解可记为：xn如果能得到方程(1)的一个特解：右，则(1)必有通解:*(4)xnxn+xn方程(4)的特解可通过待定系数法来确定。例如：如果b(n)bnPm(n)，pm(n)为n的m次多项式，则当b不是特征根时，可设成形如bnqm(n)形式的特解，其中qm(n)为n的m次多项式；如

3、果b是r重特征根时，可设特解：bnnrqm(n)5将其代入(1)中确定出系数即可。2、差分方程的z变换解法（复变函数和几分变换）对差分方程两边关于4取Z变换，利用。的Z变换F（Z）来表示出卜的Z变换，然后通过解代数方程求出F（Z）,并把F（z）在z=0的解析圆环域中展开成洛朗级数，其系数就是所要求的Xn例1设差分方程*23xn1240，&0，X11,求。解：解法1：特征方程为232。，有根：11，22故：Xnc1(1)nc2（2）为方程的解。由条件X。QX11得：Xn（炉（2厂解法2:设F(z)=Z(Xn),方程两边取变换可得:21z2(F(z)X0X1-)3z(F(z)X。)2F(z

4、)0z由条件X00,X11得F(z)z23z2由F在z2中解析，有11F(z)z(-)-z1z219k,/、4/、k,/k、k(1)(1)(12)z所以，Xn(2)n3、二阶线性差分方程组xa(n)A(设z(n)yn,cbd)形成向量方程组z(n1)Az(n)z(n1)Anz(1)(6)(6)即为(5)的解为了具体求出解(6),需要求出An,这可以用线性代数的方法计算。常用的方法有:(1)如果A为正规矩阵，则A必可相似于对角矩阵，对角线上的元素就是A的特征值，相似变换矩阵由A的特征向量构成：Ap1p,Anp1np,z(n1)(p1np)z(1)o(2)将A分解成A'一为列向量，则有k0zk0An(/)n/./(/)n1A(.).().卜从而，z(n1)Anz(1)(/)n1.Az(1)(3)或者将A相似于约旦标准形的形式，通过讨论A的特征值的性态,找出An的内在构造规律，进而分析解z(n)的变化规律，获得它的基本性质。4、关于差分方程稳定性的几个结果(1) k阶常系数线性差分方程(1)的解稳定的充分必要条件是它对应的特征方程(3)所有的特征根小12.k满足i1(2) 一阶非线性差分方程Xn1f(Xn)(7)的平衡点x由方程xf(x)决定，将”)在点X处展开为泰勒