小学奥数教程-分数裂项计算教师版全国通用含答案

1、1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page1of18目W W蚱教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。型运算将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项

2、的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即，形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab,ab那么有，(I1)abbaab(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:形式的，我们有:n(n1)(n2)(n3)11r11in(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)111n(n1)(n2)(n3)3n(n1)(n2)裂差型裂项的三大关键特征：(1)分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x

3、为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。(2)分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”(3)分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:分数裂项计算且班1 1住知识点拨1n(n1)(n2)1(n1)(n2)(n3)【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的1(11)1原式例31011(1)abab1abababb22(2)a_b_ab2baabb裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核

4、心环节是“两两抵消达到简化的目的”同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。,裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,例1122【考点】分数裂项【关键词】美国长岛,一，1【解析】原式11例题精讲113-4T-55【难度】小学数学竞赛提醒学生注意要乘以（分母差巩固1011【考点】分数裂项11112原式12109【考点】分数裂项III原式110例2715【考点】分数裂项162星）分之一,如改为:【题型】计算111335，计算过程就要变为:577915960【难度】1石）2:43【难度】9日2星1(59【题型】计算111106012【题型】计算21-13107_15100【难度】3M【题型】计

5、算问题。此类问题需要从最简单(12)2mmIII991011-2-2-1.分数裂项.题库100101教师版(11、200.99)1-101101101page2of18【考点】分数裂项【解析工工1335【答案】5010115T1III计算:25【难度】2星991012(1【题型】计算1111_359910150101【考点】分数裂项【关键词】迎春杯,二川【难度】2星2325【题型】计算原式25初赛,1I2六年级11325125-2252524c12251225148【考点】分数裂项【关键词】台湾，2518122511216III251251200020042004原式211532计算:【难度】

6、2星小学数学竞赛，初赛2008【题型】计算251162511625116【考点】分数裂项原式例41250150250132六III,2115-327115111650015015011502III15011502162272229129【难度】3星1111711111616【题型】计算1111222229292计算:11111824488012011681224【考点】分数裂项【关键词】101中学【难度】2星1)128288【题型】计算解析原式III-)12824466816181/111122446III1161、一)128189644289【巩固】12工工工工工工6122030425672

7、90【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算1-2-2-1,分数裂项.题库教师版page3of18【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】根据裂项性质进行拆分为：11111111612203042567290111111112-34T5566y7-889910_11_221051(2110110【巩固】工工工，104088154238【考点】分数裂项【难度】3星5【巩固】1111L工工3610152128【考点】分数裂项【难度】6星【关键词】走美杯，6年级，决赛【题型】计算【解析】原式1112III11112-2233III【巩固】计算：112612203042567290【考点】分数裂项【难度

8、】3星【关键词】走美杯，6年级，决赛【题型】计算111111111、解析】原式()223344556677889910111112(2334III【解析】原式111811111414171-2-2-1,分数裂项.题库教师版page4of18【题型】计算【答案】534【例5】计算:III1200120032005【考点】分数裂项【题型】计算【关键词】华杯赛，总决赛，二试一，1【解析】原式141135III2001200320032005100400320032005120480451004003120480454.506例6区113-3.753.23【考点】分数裂项【关键词】仁华学校1工工二31

9、53563【难度】3星【解析】原式1821619011331.253714611213-12230.8【题型】计算111355779117946318_232442936【例7】计算：112126【考点】分数裂项【关键词】小数报，初赛1134-1220【难度】【题型】计算【解析】原式123Ml201111L2612204202102102102021021111122331212021021III120212021【巩固】计算：200812009201011201112012=1854108180270【考点】分数裂项【难度】2星【题型】 计算【答案】1-2-2-1.分数裂项.题库教师版pag

10、e5of18【关键词】学而思杯，6年级，1试11【解析】原式20082009201020112012366911111.112010591223561005054【答案】10050&54【巩固】计算：11A。26153577【考点】分数裂项【难度】2星【题型】计算【关键词】学而思杯，6年级解析原式1325272261535771111111112233557711110III 11【巩固】计算：1工工工工工工315356399143195【考点】分数裂项【难度】3星【解析】分析这个算式各项的分母，可以发现它们可以表示为：322113,1542135,19514211315,所以原式一1

11、1112131112115【答案】-15【巩固】计算：1526【考点】分数裂项【关键词】四中1【解析】原式11299-19919911_1_1_335577991111123521371511192997011220309702【难度】3星161112III223991001111工2239910011001-2-2-1,分数裂项.题库11111111313151159899.9900【题型】计算9900教师版page6of1811912121511518【题型】计算11n1n11112n1nn12n1nnn1原式1212231112128935144【答案】里144494919800【解析原

12、式=1+1+1+1+113535719212324620222428160+1046534003234003238625340032【答案】港534003244939597959799【难度】3星【题型】计算解析()()1335355711320011111()()93959597959797991397999603100例8198100123【考点】分数裂项【题型】计算【巩固】计算：一1一123【考点】分数裂项【解析】原式1（二212/HI【难度】112323198991003星113434【题型】计算19899991001494949492990019800【解析】首先分析出11788-9

13、【巩固】计算:135【考点】分数裂项III1202224【题型】计算.)+1(，2123424-)222440+654832112巩固135【考点】分数裂项1-2-2-1,分数裂项.题库教师版page7of18例9IIIII1234【考点】分数裂项【解析】原式1-311111678978910【题型】计算23453456【难度】3星III11223423432009603巩固99123【考点】 分数裂项解析99123982349734519897123434599100101【难度】3星【题型】计算1001=100_1=100112312323123231002=1002100_1234234

14、2 342343 41003=1003100_13453453 4534545100991910099100101245110199100101991001019910010199100101100101100100100123234345100991001011)10010111100(22110100)11()2101245110134578989101111193123891021601192160【例10】计算:【考点】分数裂项【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目.但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2.相比较于2,4,6,这一公

15、差为2的等差数歹U（该数列的第n个数恰好为n的2倍），原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3,所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算.原式III3168910III1-2-2-1,分数裂项.题库8910III88910教师版page8of18巩固3-12342171819203星【题型】计算【解析】原式111113c(3123234234345113192011139171819181920)123【题型】计算【考点】分数裂项6840181920181920【答案】但68401127-22III89910211.I，123491012910III119101122901

16、102346015也可以直接进行通项归纳.根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n3nn1n2n13一.一一,再将每一项的n2nn1n2-分别加在一起进行裂项.后面的过程与前面的方法相同.1n2【答案】竺15【巩固】计算:/51155(III1710【考点】分数裂项【难度】3星【关键词】迎春杯，初赛，五年级-）91011【题型】计算【解析】本题的重点在于计算括号内的算式:III178910一-一.这个算式不同91011于我们常见的分数裂项的地方在于每一项的分子依次成等差数列，而非常见的分子相同、或分子是分母的差或和的情况.观察可知523,所以应当对分子进行适当的变形，使之转化成我们熟悉的形

17、式.34,即每一项的分子都等于分母中前两个乘数的和，所以523423231341HI171989109109101143124145III91HI10III111101111111011111131311所以原式川11011111115521031311833158331113155一651.55（法二）上面的方法是最直观的转化方法，但不是唯一的转化方法.由于分子成等差数列,通项公式为and,其中d为公差.如果能把分子变成这样的形式，再将变成两个分数，接下来就可以裂项了.而等差数列的a与nd分开，每一项都523412223413V7HI132I345I22III1789101821991011

18、192891091011IIIIII1-2-2-1,分数裂项.题库891028910910118910910113445教师版III9109101121011page9of181112-3-4III910101112231011111122341220311422031一,55所以原式115531651.55（法三）本题不对分子进行转化也是可以进行计算的:451341719891091011III17万万18919万万910101113-4III1917万万万万191910210113445119311991021011123所以原式1022055311155651.55（法四）对于这类变化较

19、多的式子，最基本的方法就是通项归纳.先找每一项的通项公式:2n1ann(n1)(n如果将分子2n【答案】651(n2,3,，9)2）1分成2n和1,就是上面的法二；如果将分子分成n和n1,就是上面的法【巩固】计算：3124【考点】分数裂项5人m【难度】3星【题型】计算【解析】观察可知原式每一项的分母中如果补上分子中的数，就会是将每一项的分子、分母都乘以分子中的数.即：5个连续自然数的乘积，所以可以先原式324252123452345634567Ml1221011121314现在进行裂项的话无法全部相消，需要对分子进行分拆，考虑到每一项中分子、分母的对称性,可以用平方差公式:原式3232154,

20、4242-2264,55212345154123451234562642345611234345456122it1112131234523456345671011121314101441011121314II10111；131411121213123423452345345610111213111213141-2-2-1,分数裂项.题库教师版page10of18616【例iii1111122312131 2341112131411111771111175122121324111213148111213148211148308616223【考点】分数裂项【解析】原式122212112【难度】4星

21、1-2答案3628799口水362880031212141334M91023436287993628800III101III【例12,2121233123410题型】计算92341H1010134UI91234口|910【考点】分数裂项【解析】原式1215039504015040【难度】4星415123456【题型】计算61503950401III2345612345671【巩固】计算：23M幽.3!4!100!【考点】分数裂项【难度】4星【题型】计算【解析】原式为阶乘的形式，较难进行分析，但是如果将其写成连乘积的形式，题目就豁然开朗了.原式23123123431411231234111III

22、III121231231112123100199123UI1001001123UI100111234123M991JL2100!1123|100【例132100!1(12)3(12)(123)4HI50(123)(1234)(123|49)(12|50)1-2-2-1,分数裂项.题库教师版page11of18【考点】分数裂项【难度】3星【题型】计算【解析】 原式=127412751(12)【考点】分数裂项21(12)3)(12)(11121004610+101523)【难度】(123)3星3(12)(123)(12I99)(12I1100)原式1-111505012川1005049505050

23、495050211(12)(132)(123)III【考点】分数裂项【难度】2星【解析】原II1551555012251275122512741275(1234)100299)(12*100)1299【题型】计算12311201，所以100(1234555145；15510|9)(123m10)【题型】计算【例1431【考点】分数裂项【关键词】仁华学校152117211921【难度】111213星11321【题型】计算这题是利用平方差公式进行裂项:b21(2(2314)()(4466111114-)14668314计算:(1122)1(12)3(1【考点】分数裂项1-

24、2-2-1,分数裂项.题库-)8110(8101(a1b)101101212-)1211(ab),1(-1212一)14(1III(114?)(1【难度】3星【题型】计算教师版page12of18111111132435981001999900【解析】1(12)i(12)(113)(13)所以,原式III48504949504925492549【巩固】计算：12【考点】分数裂项22【解析】原式22!122222222233478【难度】3星222222324387222TZT2722-2233478【题型】计算2【巩固】计算：331【考点】分数裂项22225171199311995152172

25、1199321199521【难度】3星【题型】计算一一，22【解析】原式1二1二-315121995【答案】9979979979979971996计算:12224246III2199419961112m2446I112199699711994119969971996【考点】分数裂项2Q2【解析21103-2.2_22435321421【难度】3星-2,2222420352)23184198210029921【题型】计算3415由于？42320434一,一81515可见原式422142-31III29912984243598100198475149501-2-2-1,分数裂项.题库教师版page

26、13of181961962111299100196292Q22巩固计算考点】分数裂项【解析】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大,【题型】计算但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为【答案】12更1013573445475667222,1001,可以发现如果分母都加上1,那么恰好都是分子的4倍,所以可以先将原式乘以4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了.原式1224262川1002422142162110021111212122142111002111150133557口9910199101150211-101150504101C63121011-2-2

27、-1,分数裂项.题库【难度】3星【例15】5656【考点】分数裂项99107889910【难度】3星解析u口su56677889910【答案】-10【题型】计算1111(-)-(-)91011510旦10【巩固】3651包U史57612203042【考点】分数裂项【难度】3星【关键词】第三届，祖冲之杯，人大附中解析原式=36Q-U35723344556【答案】4【题型】计算673611116757233411.=467【巩固】计算:【考点】分数裂项1325791011193457820212435【难度】3星【题型】计算【解析】原式1925731111322111115345784537791

28、117251220283042【考点】分数裂项【解析】原式【难度】3星123111111【题型】计算13教师版page14of1811112123131113366555777444【巩固】3549637791W561220304256【巩固】11L工工巴上空巴233031415111912012327【考点】分数裂项【解析】原式【难度】3星11111111124【题型】计算3303141311111117217717430341431【考点】分数裂项【解析】原式【难度】3星57911131561220304256【题型】计算371-88111111rlic78233478811282111【答案】1011788810【巩固】计算：156【考点】分数裂项79111315171912203042567290【难度】3星【解析】原式1U3U233445566711111111()()()(-233445561132105【题型】计算7889910788991011111111)()()()()677889910【考点】分数裂项【解析】原式21【例1617981751220153012【难度】3星【题型】计算1111111121114531外1一5一56222【考点】分数裂项22221