存在性问题专题

1、初二十班王文周存在性问题专题存在性问题专题一、概述1 .概述：存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高，是近几年来各地中考的“热点”。这类题目解法的一般思路是：假设存在一推理论证一得出结论。若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，导出矛盾，就做出不存在的判断。由于“存在性”问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能提出了较高要求，并具备较强的探索性，正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验。2 .分类

2、：存在性问题按定性可分为：肯定性存在问题(2)否定性存在问题(3)讨论性存在问题二、例题分析例1若关于x的一元二次方程x2-3(m+1)x+m2-9m+20=0有两个实数根，又已知a、b、c分别是ABC的/A、/B、/C的对边，/C=90°,且cosB=3,5b-a=3,是否存在整数m,使上述一元二次方程两个实数根的平方和等于RtABC的斜边c的平方？若存在，求出满足条件的m的值，若不存在，请说明理由。分析：这个题目题设较长，分析时要抓住关键，假设存在这样的m,满足的条件有m是整数，一元二次方程两个实数根的平方和等于RtMBC斜边c的平方，隐含条件判别式AR等，这时会发现先第1页共1

3、页存在性问题专题初二十班王文周抓彳±RtzBC的斜边为c这个突破口，利用题设条件，运用勾股定理并不难解决在RtAABC中，/C=90°，:cosB=3解：5.,设a=3k,c=5k,则由勾股定理有b=4k,b-a=3,：4k-3k=3,：k=3.a=9,b=12,c=15设一元二次方程x23(m+1)x+m29m+20=0的两个实数根为x1,x2则有：x1x2=3(m1),x1x2=m2-9m20x2x2=(x1x2)2-2x1x2=3(m1)2-2(m29m20)2=7m36m-31由x2x2=c2,c=15有7m236m-31-225,即7m236m-256=0,64.

4、m1=4,m2=7mu-64不是整数，应舍去，7当m=4时，>0存在整数m=4,使方程两个实数根的平方和等于RtzABC的斜边c的平方。如图：已知在同一坐标系中，直线y=kx+2-与y轴交于点P,抛物例2.2线y=x2-2(k+1)x+4k与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，C是抛物线的顶点第2页共2页初二十班王文周存在性问题专题(1)求二次函数的最小值(用含k的代数式表示)(2)若点A在点B的左侧，且x1x2<0当k取何值时，直线通过点B；是否存在实数k,使SABP=SMBC?如果存在，求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由。分析：本题存在探究性体现在第(2)问的后

5、半部分。认真观察图形，要使SzABP=SABC,由于AB=AB,因此，只需两个三角形同底上的高相等就可以。OP显然是zABP的高线，而4ABC的高线，需由C作AB的垂线段，在两个高的长中含有字母k,就不难找到满足条件的k值。解:(1).a=1>0,一y最小值434k-4(k1)242-(k-1)2(2)由y=x22(k+1)x+4k,得:y=(x-2)(x-2k)当y=0时，x1=2,x2=2k点A在点B左侧,.A(2k,0),B(2,0),x1<x2,又x1x2<0,x1<0,x2>0k.1k4将B(2,0)代入直线y=kx+2得：2k+2=0,：k=223:当

6、k=-4时，直线过B点3(2)过点C作CDLAB于点D则CD十(k-1)2|=(k-1)2kkk.直线y=kx+2-k父丫轴于P(0,2-),.OP=22221-1ko右54abp=SAabc,则-AB2OP=AB2CD-2=(k1)222.OP=CD2第3页共3页初二十班王文周存在性问题专题11解得：k1=_1，k2=2由图象知，k<0,.取k=22，1r,.当k=一'时，SAABP=SAABC此时,抛物线解析式为：y=x2-x-2例3.如图，在平面直角坐标系OXY中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A和

7、B,且12a+5c=0。(1)求抛物线的解析式；(2)如果点P由点A沿AB边以2cm/秒的速度向点B移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/秒的速度向点C移动，那么：移动开始后第t秒时，设S=PQ2(cm2),试写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；当S取最小值时，在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，i苛求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。解：(1)根据题意，A(0,-2),B(2,-2)5a=60.6-2=c-5根据题目：$2=4a+2b+c色=一一312a+5c=0c卜c=一2(2)移动开始后第t秒时，AP=2t,BQ=t.P(2t

8、,-2),Q(2,t-2).S=PQ2,.S=(2t2)2+(2t+2)2即S=5t2yR抛物线的解析式为：y=-x2-x-263-8t+4(0<t<1)第4页共4页初二十班王文周存在性问题专题当S取得最小值时，t=45.P(8,2),Q(2,-)55假设在抛物线上存在点R,使彳导以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形,若以PR为一条对角线，使四边形PBRQ为平行四边形BP=2-5 .22=512126 R(一，一一)，55经检验R(12,56)在抛物线上,5若为PB为一条对角线，使四边形PRBQ为平行四边形一4一 .BQ=t=-=PR5 .245141414),经检验R(8,

9、14-)不在抛物线上综上所述，当S最小时，抛物线上存在点R(空，-),使得以P、B、Q、R55为顶点的四边形是平行四边形例5如图：二次函物=x2+bx+c的图象与轴相交甘、B两点，点A在原点左边，点B在原点右边，点P(1,m)在抛物线上，AB=2,tan/PAO=2B/Hx5(1)求m的值;(2)求二次函数的解析式;第5页共5页初二十班王文周存在性问题专题(3)在x轴下方的抛物线上有一动点D,是否存在点D,使ADAO的面积等于4PAO的面积？若存在，求出D点坐标；若不存在，说明理由。解：(1)作PH±x轴于H,在RtzPAH中PHvtan/PAO=AH2vPH=m,AH55=_m2&

10、#39;P(1,m)在抛物线上，m=1+b+c设A(%,0),B(x2,0),.AB=2|x2x1|=2v(x1+x2)2-4x1x2=2令y=0,得：x2bxc=0x1x2;-b,x1x2;c,-b±xb2-4c-x二-b±2且x1<x2,x1-b-2-b2.OH=1,.AHAO=1vAH5=一m,AO=-x224由:得:254(2)yb=12,b2-4c252125b=-4(舍去)24254x52125假设在x轴下方的抛物线上存在点D(x0,y0)使SADAO=SAPAO|y0bSAPAO121Ao121PH1.|y0|=|PH|=m2425第6页共6页存在性问题专题初二十班王文周.y°=_24,代入y°=x2.4x021,得：255524212431X0-X0XiX2552