天津南开中学2015届高三第五次月考数学理试题

1、天津市南开中学2015届高三第五次月考数学（理）试、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分.）21.复数z=3L的共腕复数所对应的点位于复平面的（）.1-iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2 .函数f（x）=log1（x2-4）的单调递增区间是（）.2A.（0,+¥）B.（-¥,0）C.（2,+¥）D.（-?,2）3 .设a、P、y为平面，m、n、l为直线，则m_LP的一个充分条件是（）.A.:_:,:f:=l,m_lB.n_:,n_：,m_:C.:_，:,m_:D.=f=m,：-,-4 .已知圆Ci

2、:x2+y210x10y=0和圆C2:x2+y2+6x+2y_40=0相交于A、B两点，则公共弦AB的长为（）.A.5B.5.2C.5.3D.105 .若抛物线C-y2=2px（p>0）的焦点F恰好是双曲22C2：与-4=1（aQb>0）的右焦点，且它们的交点的连线过点F,则双曲线ab的离心率为（）.B.n十72D五十1一，.11.一.，.一6 .已知x：>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则+的最小值是（）.x3yA.2B.2V2C.273D,47.若函数y=f(x)(xwR)满足f(x+2)=f(x,且xw1时，f(x)=1x2.函数g(x)=«1,

3、则函数h()=x2|,x<0的零点个数为().A.6B.7C.8 .已知a,b,c,d均为实数，函数f(x)=ax33点Xi,x2(x<x2),满足f%)=Xi.则关于a,f(x+bf(x)+c=0的实根个数为(A.0B.2C.II卷(将答案写在答题纸上，在试二、填空题：(每小题5分，共30分.)129 .一个几何体的二视图如所小，1则这个几何体的表面积为.(产f(x)g(x)在区间-5,5内8D.9b2+x+cx+d(a<0)后两个极值实数x的方程).3D.4卷上作答尢效.)：22：'-r(：r*11正视图侧视图1gx,x01俯视图10.如图，设D是图中边长为4的正

4、方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点(图中阴影部分)构成的区域在D中随机取一点，则该点在E中的概率为11.二项式''x-的展开式中的常数项是23x.(用数字作答)12.已知数列Q>满足：a1=2,an由=a；-网+1,令bn=1,则数列(bjanan1的前10项和为.13 .函数y=f(x)为定义在R上的减函数，函数y=f(x1)的图象关于点(1,0)对称，x,y满足不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)<0,M(1,2),N(x,y),O为坐标原点，则当1MxM4时，OMON的取值范围为.14 .关于实数x的不等式x2+25+|x3-5x2巨ax在口,12

5、上恒成立，则实数a的取值范围是.三、解答题：(1518每小题13分，1920每小题14分，共80分.)15 .从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每次不放回地摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束.(I)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；(H)记试验次数为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).16 .已知函数f(x)nsinx-2sin22x(0A0)的最小正周期为3.2(I)求函数f(x)在区间上巴里上的最大值和最小值；_4(II)在AABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且a<b<c,73a=2csinA,求角C的大小；(m)在(

6、II)的条件下，若f(3A+土)=U,求cosB的化2213/ABC=60：侧面PAB是17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，边长为2的正三角形，侧面PAB_L底面ABCD.(I)设AB的中点为Q,求证：PQ_L平面ABCD；(II)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；(m)若在侧棱pc上存在一点m,使得二面角MBDC的大小为60°,求CM的值.CP18.22如图，已知椭圆E:二+'=1(a>b>0)的离心a2b2率为,E的左顶点为A、上顶点为B,点P2在椭圆上，且”52的周长为4+2百.(I)求椭圆的方程;(H)设C,D是椭圆E上两不同点，CD

7、/AB,直线CD与x轴、y轴分别交于M,N两点，且MC=zCN,MdI=nDN,求人+N的取值范围.19.已知数列Q满足a=1包=3a+=4an3anjnwN*,n±2),(I)证明：数列an+-4是等比数列，并求出4的通项公式；(H)设数列收的前n项和为Sn，且对任意nWN*，有卜+旦+川+旦=2n+1a12a2nan成立，求Sn.20.已知函数f(x)=ln(1+x)*+£/(1<20,且k#1).(I)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(i,f(i)处的切线方程；(H)求f(x)的单调递减区问；(m)当k=0时，设f(x)在区间10,n(nWN*)上的最小值为b

8、n,令an=ln(1+n)bn,证明：亘十嗯十I十a1a3父721(nwN*).a?a2a4a2a4HIa2n天津南开中学2015届高三理科数学第五次月考试卷参考答案、选择题:12345678CDBDADCC9"10/11,12113P1”2/十1一435P120.12卜(-wJ0p三、解答题：21. 15.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每次不放回地摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球，则试验结束.22. (I)求第一次试验恰摸到一个红球和一个白球概率；23. (II)记试验次数为随机变量X,求X的分布列及数学期望E(X).解：(I)设“第一次试验恰摸到一个红球和

9、一个白球”为事件A,贝UP(A)二驾1=3C87(11) X的可能取值为12,3,4.5”等口型.)=鲁空/-928广W广。广1广14-r2c广。0口产(尤=3)=4=5">二乙产34):容工ClC；28C；CjC：2816.已知函数f(x)=J3sinx2sin2注(8>0)的最小正周期为3,2(I)求函数f(x)在区间n,9l上的最大值和最小值;(II)在AABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且acb<c,揭=2csinA,求角C的大小；311(m)在(II)的条件下，若f(A+)=,求cosB的化2213一1一cosx二斛(I)f(x)=>/

10、3sinox-2=2sin(0x+石)一1由函数f(x)的最小正周期为3n，即空=3巴解得切=2.32二ji，-1<sin(|x+-)<1,36f(x)=2sin(-x)-1所以x=-冗时，f(x)的最小值是-3/ABC=60：侧面PABPnr,一，x=5时，f(x)的取大值是1.(II)由已知73a=2csinA,由正弦定理，有=2sjnA=sinAc、3sinC又sinA=0sinC=3,22二又因为a<b<c,C=一.3(田)由f(3A+'=U得cosA/.2213132-5-2二*0<A<一,二sinA=巾一cosA=.由C=知A+B=一,3

11、1333125.324. cosB=cos(A)=coscosAsinsinA=.3332625.26.27.28.17.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,是边长为2的正三角形，侧面PAB_L底面ABCD.(I)设AB的中点为Q,求证：PQ_L平面ABCD;(II)求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；(m)若在侧棱pc上存在一点m,使得二面角MBDC的大小为60°,求CM的值.CP29.(I)证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q,所以PQ_LAB,因为侧面PAB，底面ABCD,侧面PABA底面ABCD=AB,PQ匚侧面PAB,所以PQ_L平面ABCD.(H)

12、连结AC,设ACCbD=O,建立空间直角坐标系O-xyz,一3则0(0,0,0),B(V3,0,0),C(0,1,0),D(T3,0,0),P(二2一-，.3).23V31PD=(二,3),平面ABCD的法向量m=(0,0,1),22设斜线PD与平面ABCD所成角的为a,皿mPD贝Usin：-cos：m,PD|=|=|m|PD|3271工3,443010(m)设CM=tCP=(y-t-|t,V3t)(0t<1),则M33CF，3t)，BM=(3t73,t+1,v3t),DB=2v3(1,0,0),2设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),则S_LDBunDB=0=x-0,33n_LMB

13、unMB=0u(t一43)x+(t+1)y+、3tz=0,22Mz=33,得n=(0,-6,J3),又平面ABCD的法向量m=(0,0,1)3t-2所以|Tn1|=|cos<m,n>Hcos601,所以一f|m|n|,3(6t了2，3t-2)解得t=2(舍去)或t=2.所以，止匕时幽=25CP5x2y218.如图，已知椭圆E:丁+4=1(a>b>abE的左顶点为A、上顶点为B,点P在椭圆上，且APFE的周长为42.3.(i)求椭圆的方程；(H)设C,D是椭圆E上两不同点，CD/AB,直线CD与x轴、y轴分别交于M,N两点，且MC=九CN,MD=NDN,求九十N的取值范围

14、.解:2a2c=42,3c氐e=a219.一a2解得b2二4',所以椭圆的方程为=1,2X+41(H)又A(2,0),B(0,1),所以k1.2由CD/AB,可设直线CD的方程为y由已知得M(-2m,0),N(0,m),设C(x1,y1)D(x,»b£+y2=1由4，得：x2+2mx+2m22=01y二一xm2f-(2m)2-4(2m2-2)0=m2:二2,2-X 二-2m,x1x2=2m2,T/=%CN得(x1+2m,y1)=凝-x1,m-y1)所以x1+2m=->.x1即九=1生，同理，由MD=NDN'得N=一1一XI2mx22所以九+N=-2-2

15、m(+,)=22mMx1x2=2+-2XiX2X1X2m2-1m2-130.由m2<2=一(-°°,-2U(2,+),m-131.又m¥0,九<0,N<0,所以九+Rw(-,-2).32.已知数列an满足a1=1,a2=3,andt=4an-3an(nwN*,n之2),(I)证明：数列an书-an是等比数列，并求出斗的通项公式(R)设数列>的前n项和为&,且对任意nWN*,有必+且十|l|+-b=2n+1a12a2nan成立，求Sn.解：(I)由an由=4an3an.可得an书an=3(anani)e2a1=2,二匕川-aj是以2为

16、首项，3为公比的等比数列.an三注-an-ani-anNIHa2-ai-ai1=3(U)n=1时，=3,6=35=3ain之2时-bn-=2n+1(2n1)=2,bn=2nan=2nM3nnanSn=32232332|2n3nJ=2130231332111n3n1设x=130231332|n3nln)3-1贝U3x-131232333IIIn-13nn3n2x=n3n-3n,3T30=n3nSn-23nl=n43n1-33.20.已知函数f(x)=ln(1+x)x+'x2(k之0,且k01).34. (I)当k=2时，求曲线丫=£卜)在点(1«1»处的切线

17、方程；35. (H)求f(x)的单调递减区间；36. (m)当k=0时，设f(x)在区间hn】(nWN*)上的最小值为bn,令an=ln(1+n)-6,证明:a_a曳川a2a?a42224”匕加<j2an+1TN*).137. (I)解：当k=2时，f(x)=ln(1+x)_x+x2,f(x)=1+2x,1x338. .f1=ln2,f1kg.39. 曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-ln2=1(x-1),即3x-2y2ln2-3=0.40. (H)解：f7x=1-1+kx=xkx+k-1x(_1>c1x1x当k=0时，f7x)=,令fx)<0,贝Ux>0,1x41. Af(x)的单调递减区间是(0,二);_.1_k.1-k当>0,即0<k<1时，令f'(x)<0,贝u0<x<kk，f(x)的单调递减区间是,0,11；,k当上k>0,即k>1时，令f'(x)<0,贝U上K&