《圆和直线极坐标方程》

1、1. 圆的极坐标方程圆的极坐标方程1.极坐标系的建立：极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做极点。，叫做极点。引一条射线引一条射线OX，叫做极轴。，叫做极轴。再选定一个长度单位和角再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。这样就建立了一个极坐标系。XO复习回顾复习回顾2.极坐标系内一点的极坐标的规定极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点MM，用，用 表示线段表示线段OMOM的的长度，用长度，用 表示从表示从OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做点

2、叫做点MM的极径，的极径， 叫做点叫做点MM的极的极角，有序数对（角，有序数对（ ， ）就）就叫做叫做MM的极坐标。的极坐标。一般地一般地,不作特殊说明时不作特殊说明时,我们认为我们认为0,要取任意实数要取任意实数.3.极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,) x=cos, y=sin )0(tan,222 xxyyx 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 一、定义：如果曲线一、定义：如果曲线C上的点与方上的点与方程程f( , )=0有如下关系有如下关系 (1) 曲线曲线C上任一点的坐标上任一点的坐标(所有

3、坐标所有坐标中至少有一个中至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0； (2) 方程方程f( , )=0的所有解为坐标的的所有解为坐标的点都在曲线点都在曲线C上。上。 则曲线则曲线C的方程是的方程是f( , )=0。 新课讲授新课讲授 探究探究1 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标表示圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？xC(a,0)O 探究探究1 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐

4、标表示圆上任意一点的极坐标( , )满足满足的条件？的条件？MxC(a,0)OA 探究探究2 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标式表示圆上任意一点的极坐标( , )满满足的条件？足的条件？xC(a, 0)O 探究探究2 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆的圆的圆心坐标为心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标式表示圆上任意一点的极坐标( , )满满足的条件？足的条件？MxC(a, 0)OA 例例1 已知圆已知圆O的半径为的半径为r，建立怎，建立怎样的坐标系，可

5、以使圆的极坐标方程更样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？简单？题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2；(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a；(3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a；(3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)

6、中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a；题组练习题组练习1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程(1)中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； =2(2)中心在中心在C(a,0)，半径为，半径为a； =2acos (3)中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； =2asin 练习练习2 极坐标方程分别是极坐标方程分别是=cos和和=sin的两个圆的圆心距是多少的两个圆的圆心距是多少?22 练习练习3 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆为圆心，心，1为半径的圆的方程是为半径的圆的方程是)1sin(2.)1

7、cos(2.)4sin(2.)4cos(2. DCBAC2.直线的极坐标方程直线的极坐标方程1. 负极径的定义负极径的定义1. 负极径的定义负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。取负值。(?)1. 负极径的定义负极径的定义 说明：一般情况下，极径都是正说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。取负值。(?)对于点对于点M( ， )负极径时的规定：负极径时的规定：1 作射线作射线OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向的反向延长线上取一

8、点延长线上取一点M，使，使|OM|= | |2. 负极径的实例负极径的实例 在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M(3， /4)的位置的位置2. 负极径的实例负极径的实例 在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M(3， /4)的位置的位置 1 作射线作射线OP，使使 XOP= /4 2 在在OP的反向的反向延长线上取一点延长线上取一点M，使使|OM|= 3负极径小结：极径变为负，极角增加负极径小结：极径变为负，极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6， ）6答：（答：（6， +）6或（或（6， +）116特别强调：一般情况下（若不作特别特别强调：一般情况下（若不

9、作特别说明时），认为说明时），认为 0 。因为负极径只。因为负极径只在极少数情况用。在极少数情况用。.4,的极坐标方程的极坐标方程的射线的射线倾角为倾角为求过极点求过极点 例例1)0(4.,4,: 求直线的极坐标方程为求直线的极坐标方程为故所故所负数负数其极径可以取任意的非其极径可以取任意的非是是线上任一点的极角都线上任一点的极角都所求的射所求的射如图如图分析分析*新课讲授新课讲授* 2. 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的直线的直线的极坐标方程。的极坐标方程。*思考思考* 1. 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 45 2. 求过极点，倾角为求过极

10、点，倾角为 的直线的直线的极坐标方程。的极坐标方程。*思考思考* 1. 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 45 )0(45 易得易得 2. 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的直线的直线的极坐标方程。的极坐标方程。*思考思考* 1. 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 45 )0(45 易得易得 454 或或 和前面的直角坐标系里直线方程的和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。

11、原因在哪？而成。原因在哪？ 和前面的直角坐标系里直线方程的和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？而成。原因在哪？ 0 和前面的直角坐标系里直线方程的和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？而成。原因在哪？ 0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极径可以取

12、全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为极坐标方程可以表示为)(45)(4RR 或或 例例2 求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。 例例2 求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于，且垂直于极轴的直线极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点M( , )为直线为直线L上除点上除点A外的外的任意一点，连接任意一点，连接OM在在Rt MOA中有中有|OM|cos MOA=|OA|即即 cos =a可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式的坐标也满足上式.求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图；根据题意画出草图； 2. 设点设点M( , )是直线上任意一点是直线上任意一点; 3. 连接连接MO； 4. 根据几何条件建立关于根据几何条件建立关于 , 的方程的方程,并化简；并化简； 5. 检验并确认所得的方程即为所求检验并确认所得的方程即为所求. 例例3 设点设点P的极坐标为的极坐标为( 1, 1)，直，直线线l过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为