工程数学(16)复化求积法

1、工程数学工程数学工程数学工程数学第第 二二 节节 复化求积公式复化求积公式复化求积公式的基本思想：复化求积公式的基本思想： 将区间将区间 a , ba , b 分为若干个小子区间，在每个分为若干个小子区间，在每个小子区间上使用低阶的小子区间上使用低阶的Newton-CotesNewton-Cotes公式。然后公式。然后把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。把它们加起来，作为整个区间上的求积公式。 一、一、复化求积公式复化求积公式工程数学工程数学工程数学工程数学 1、复化梯形公式复化梯形公式 1, (0,1, ),0,1,1kkka b nbahxakhknnxxkn 将将区区间间等等分分,

2、,在在每每个个小小区区间间, ,（）上上用用梯梯形形公公式式: :1( ()()0,1,12kkkhTf xf xkn 1101( ( )( )()2nnnkkkkhTTf af bhf x 复化梯形公式复化梯形公式为为工程数学工程数学工程数学工程数学截断误差分析：截断误差分析： 311,(),12kkkkkkkhxxRfxx 在在区区间间上上， 101()( ),nkkbahffa bnn 利利用用和和22()( )()12nbaR Th fO h 得得到到复复化化梯梯形形公公式式的的截截断断误误差差是是：31100()()12nnnkkkkhRRf 整整体体误误差差为为工程数学工程数学工程

3、数学工程数学2 2、复化、复化SimpsonSimpson公式公式 1112,( () 4 ()()6kkkkkkxxSimpsonhSf xf xf x 在在每每个个小小区区间间上上用用公公式式11110012110221( ( )( )()()63312()33nnnnkkkkkknnnnkkhSSf af bhf xhf xTHHhf x , ,其其中中复化复化SimpsonSimpson公式的截断误差为公式的截断误差为 4(4)4()()( )(),2880nb aR Sh fO ha b 复化复化SimpsonSimpson公式公式为为工程数学工程数学工程数学工程数学1012xe d

4、x - -4 4当当用用复复化化梯梯形形公公式式与与复复化化辛辛卜卜生生公公式式计计算算积积分分的的近近似似例例：值值时时，若若要要求求误误差差不不超超过过1 10 0 ，问问至至少少各各取取多多少少个个节节点点？(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（1 1解解）由由得得2242()1|()| |( )| |( )|12121110122nbaR Th ffnen 67.3n 解解得得68169nn 用用复复化化梯梯形形公公式式 至至少少取取，节节点点至至少少取取个个。(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 工程数学工程数学工程数学工程数学1012xe

5、 dx - -4 4当当用用复复化化梯梯形形公公式式与与复复化化辛辛卜卜生生公公式式计计算算积积分分的的近近似似例例：值值时时，若若要要求求误误差差不不超超过过1 10 0 ，问问至至少少各各取取多多少少个个节节点点？4(4)(4)444()1|()| |( )| |( )|28802880111028802nbaR Sh ffnen 2.1n 解解得得317nn 用用复复化化辛辛卜卜生生公公式式 至至少少取取 ，节节点点至至少少取取2 2个个。(4)( ),( )( ),xxf xefxfxe：（2 2解解）由由得得(4)240101max( ),max( )xxfxeMfxeM 工程数学工

6、程数学工程数学工程数学二、变步长复化求积公式二、变步长复化求积公式变步长复化求积公式的基本思想：变步长复化求积公式的基本思想： 将区间将区间 a , b 逐次分半，建立递推公式，按递逐次分半，建立递推公式，按递推公式计算，直到满足精度要求。推公式计算，直到满足精度要求。1.1.变步长复化梯形公式变步长复化梯形公式11,( )( ( )( )2hnhbaTT hf af b，222, , 1,22na bTbahh 将将分分半半，用用复复化化梯梯形形公公式式得得，44214,24banThh 再再将将区区间间分分半半得得 ，22,nnnTTT 直直到到为为止止 将将作作为为积积分分的的近近似似值

7、值。工程数学工程数学工程数学工程数学下面推导由下面推导由n n到到2n2n的复化梯形公式的复化梯形公式,nbaa b nhn 给给出出误误差差限限 ，将将 , , 等等分分，步步长长用用复复化化梯梯形形公公式式：11111101,( ()()2 , ()( ( )( )()2nkkkkknnnnnknkkkhxxTf xf xa bhT hTTf af bhf x 在在 上上，在在上上，工程数学工程数学工程数学工程数学 111222112,2 ,2kkkkkkknnnnxxxxxxxhnn hh 将将原原 等等分分区区间间，再再次次分分半半，每每个个小小区区间间上上取取中中点点分分成成两两个个

8、区区间间和和，于于是是，。11221212122211112200,( ()()( ()()221()22, 11()()22222kknnkkkkknkknnnnnnknnkkkxxhhTf xf xf xf xhTf xa bhhHTTTTf xT 在在 上上，在在 上上, ,1102()nnnkkHhf x 记记工程数学工程数学工程数学工程数学2122nnnHTT 111102( ( )( )()2()nnnnkknnnkkhTf af bhf xHhf x 其其中中变步长复化梯形公式的递推公式变步长复化梯形公式的递推公式： （由由n n到到2n2n）1120 ( )( )21(21),

9、1,2,222nnnjbaTf af bbabaTTf ajnnn 实际计算中的递推公式为实际计算中的递推公式为22|nnnTTT 直直到到为为止止，作作为为积积分分的的近近似似值值。工程数学工程数学工程数学工程数学2|nnTT 用用事事后后误误差差分分析析法法说说明明，为为什什么么可可以以作作为为迭迭代代终终例例：止止条条件件？21222()()12()( )()122nnbaITh fbahITf 解解：12( ) , ,()()fxa bff 假假定定在在上上变变化化不不大大 即即有有，于于是是得得24nnITIT 222211()()33nnnnnnITTTITTT或或2213nnnT

10、TIT 当当时时，。工程数学工程数学工程数学工程数学变步长复化变步长复化梯形梯形求积公式的算法求积公式的算法 11111.,( )( )22.0,23.( ),3.15.*26.,7.,2bahba Tf af bhHxaHHf xxxhxbTThHTTITIhhTT 4 4. .若若，则则转转若若则则，输输出出 , ,停停机机。转转2 2. .1210 ( )( )211222(21)221,2,nnnnnjbaTf af bHTTTbabaf ajnnn 工程数学工程数学工程数学工程数学2.2.变步长复化变步长复化SimpsonSimpson公式公式2221233112212124333nnnnnnnnnnnnSTHTTHSTTTTT 已已知知又又有有两两式式联联立立解解得得：（） （）42242128421)4(312121hhTTSSSSHTTTTTTnnnnnn 实实际际计计算算过过程程如如下下：工程数