解析几何离心率专题突破

1、解析几何只离心率主题突破离心率的五种求法椭圆的离心率0e1双曲线的离心率e1抛物线的离心率e1一、直接求出a、c，求解e已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式e-来解2012年5月6日星期日决。a例1:已知双曲线2x2a1（a0）的一条准线与抛物线y26x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A.仝2B.解：抛物线y26x的准线是323D.2、一3x，即双曲线的右准线2a2c2-，则2c23c20，2第7页共7页解得c2，a.3，ec23，故选Da3变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F11,0、F23,0，则其离心率为（)1D.43A.42B.-31C.2解:由F11,0、F2

2、3,0知2c31，二c1,又椭圆过原点，ac1,ac3,ac1，所以离心率e-1.故选C.a2变式练习2:如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为（)3<63A.B.c.222解：由题设a2，2c6，则c3，e-a2，因此选C变式练习3：点P（-3,1）在椭圆2x2ab21（ab0）的左准线上，过点P且方向为a2,5的2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A仝1B-32C一23解:由题意知，入射光线为y1x3，关于y22af则3c解得a-.3,c1，则ec3,a35c50光线，经直线y、构造a、c的齐次式，解出eD-22的反射光线（对称关系）为5x2y50，故选

3、A根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率例2:已知F1、F2是双曲线e。x22a2詁1(a0,b0）的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MFi的中点在双曲线上,A.423B.31则双曲线的离心率是（C.亠2解：如图，设MFi的中点为P，P的横坐标为c-,由焦半径公式2PFiexp解得=$3舍去），故选2变式练习1:设双曲线笃ab）的半焦距为c，直线L过a,0,0,b两点.已知原点到3直线的距离为_2c,则双曲线的离心率为4A.2c.2解：由已知,直线L的方程为bxayab0,由点到直线的距离公式，得

4、abb2又c2b2,4ab.3c2,两边平方，得16a3c4，整理得3e416e2160,得e2e22c2ab2""2ab22a变式练习2:双曲线虚轴的一个端点为两个焦点为F1、F2F1MF21200，则双曲线的离心率为（）、;63解：如图所示，不妨设M0,b,F1c,0,F2c,0，则MFIMF2I叮c2b，又F1F22c,在F1MF2中，由余弦定理，得cosF1MF2|mf12mf22F1F222MF1mf212.22.2,2cbcb4c222cbb2b22a222ca2c2,e232、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解例3:设椭圆的两个焦点分别为Fi、F2，过F2作椭

5、圆长轴的垂线交椭圆于点P，若RPF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是解：e2c2c2c2a|PFj|PF2|22c2c.2i2i四、根据圆锥曲线的统一定义求解2例4：设椭圆笃a2占i(a0,b0）的右焦点为Fi，右准线为li，若过且垂直于x轴的弦的长等于点Fi到li的距离，则椭圆的离心率是解：如图所示，AB是过Fi且垂直于x轴的弦，ADli于D|AD为Fi到准线li的距离，根据椭圆的第二定义，e|AD|1AFi2ABAD变式练习：在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为离心率为（）.2，焦点到相应准线的距离为i，则该椭圆的b-2222五、构建关于e的不等式,求e的取值范围0，4，则二次曲线x

6、2coty2tani的离心率的取值范围为（1A.-2B.C.2I-,2D.2,另：由x2coty2tan，得a2tan,b2-c2a2b2tancot2c2atantan乩icotcot0,cot21,e22,e2，故选D4例6：如图，已知梯形ABCD中，|AB2CD，点E分有向线段AC所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点.当-33时，求双曲线离心率e的取值范围。解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图所示的直角坐标系xoy，则CDy轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称.依题意，记Ac,0,JD/cAtA1门BK1其中

7、c2-|AB为双曲线的半焦距,h是梯形的高.由定比分点坐标公式得Xo心率将点再将c22c21,yo，设双曲线的方程为12x2a21，则离ce，由点C、E在双曲线上,aE的坐标代入双曲线方程得2c4a2所以，将点c的坐标代入双曲线方程得2c4a2h2hb2、得ah2b2将式代入式,e2h2b1,h2e22整理得4兀，由题设3得:3，解得7e4.10，所以双曲线的离心率的取值范围为.7,10离心率的五种求法第13页共7页配套练习2x1.设双曲线a(a0,b0）的离心率为,3,且它的一条准线与抛物线y24x的准线重合,则此双曲线的方程为（22xyA.11224B.x2482乙1962xC.3D.x2

8、2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于D.三23.已知双曲线2x2ayb21的一条渐近线方程为则双曲线的离心率为4.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为焦点到相应准线的距离为1,则该椭圆的离心率为B2<2D45.在给定双曲线中,过焦点垂直于实轴的弦长为焦点到相应准线的距离为11，则该双曲线的离心2率为（D2、22x6如图，F1和F2分别是双曲线a2yb21(a0,b0）的两个焦点，A和B是以0为圆心，以OR为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且F?AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（B-5、5C22x&设F1、F2分别是双曲线ayb21的左、右焦点，若双曲线

9、上存在点A，使AA3£IJ.F1AF290°，且AF13AF，则双曲线离心率为（D.59.已知双曲线1（a0,b0）的右焦点为若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（A1,21,2C2,D2,10椭圆2X2aab0)的焦点为F“F2,两条准线与X轴的交点分别为M、N，若MN2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（）C11,2,A.0,B.0,C.,1D.,12222答案：1.由C、.a23,1可得a3,bc6,c3.故选D2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，a2b，椭圆的离心率eC，选D。a2第6页共7页3双曲线

10、焦点在x轴，由渐近线方程可得c32423故选A3(ab1，据此求出e=二2224.不妨设椭圆方程为t1ab2b2b0)，则有225.不妨设双曲线方程为2ab2da1，据此解得e=“2，选Cc26.解析：如图，Fi和F2分别是双曲线2x2a2i(ab0,b0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,F2AB是等边三角形，连接AFi，/AF2Fi=30°|AFi|=c,|AFr|=.3c,a2ai)c，双曲线的离心率为13，选D。27.由已知P(红，J3c),所以2cJc.(ac)2G3c)2化简得a22c20e-ca222xy8.设Fi,F2分别是双曲线21的左、右焦点。若双曲线上存在点A,使/FiAF2=90o,且|AFi|=3|AF2|,ab设|AF2|=1,|AFi|=3,双曲线中2a|AFi|AF2|2,2c,|AFi|2一|AF212-T0,离心率e迈，选B。22x9.双曲线a£i(a0,b0)的右焦点为F,若过点F