弹塑性力学第11章

1、11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型11-2 11-2 一维问题弹塑性分析一维问题弹塑性分析11-3 11-3 应力、应变偏量的不变量和等效应力应力、应变偏量的不变量和等效应力 e e等效应变等效应变 e e、罗德（、罗德（LodeLode）参数）参数11-4 11-4 屈服条件屈服条件11-5 11-5 理想弹塑性厚壁筒受内压力理想弹塑性厚壁筒受内压力11-6 11-6 弹塑性应力应变关系增量理论弹塑性应力应变关系增量理论11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.11.1单向拉压实验

2、：单向拉压实验：不同材料在单向拉压实验中，有不同的不同材料在单向拉压实验中，有不同的应力应变曲线。应力应变曲线。 BAC so p e e pBAC so p esO 软钢软钢 - 合金钢合金钢 - 11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型 当应力应变曲线在当应力应变曲线在OA范围内变化，材料范围内变化，材料为弹性变化。当应力达到为弹性变化。当应力达到 s时（软钢有明显时（软钢有明显屈服发生屈服发生(AB段），合金钢无明显屈服发生）段），合金钢无明显屈服发生）将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的将发生塑性变形。确定材料发生塑性变形的条件为条

3、件为BAC so p e e pBAC so p esO 软钢软钢 - 合金钢合金钢 - 11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型 f ( ) = - s = 0 初始屈服条件（函数）初始屈服条件（函数） 当软钢应力达到当软钢应力达到A点后，软钢有明显屈服点后，软钢有明显屈服（塑性流动）阶段。（塑性流动）阶段。 经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为经过屈服阶段后，荷载可再次增加（称为强化阶段，强化阶段，BC段），但强化阶段段），但强化阶段 增幅较少。增幅较少。 BAC so p e e pBAC so p esO 软钢软钢 - 合金钢合金钢

4、- 11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段对于此种材料（有明显屈服流动，强化阶段应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足应力较少）屈服条件是不变的。当应力满足屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变屈服条件时，卸载将有残余变形，即塑性变形存在。卸载按线性弹性。形存在。卸载按线性弹性。BAC so p e e pBAC so p esO 软钢软钢 - 合金钢合金钢 - 11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型 而对于合金钢，无明显屈服，当而对于合金钢，无明显

5、屈服，当 s时进时进入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变入强化阶段，在加载即发生弹性变形和塑性变形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，形，卸载按线弹性。对于强化特性明显的材料，由由O点继续加载，在点继续加载，在OB段又是线性弹性变化，段又是线性弹性变化，当当 达到达到B点再次发生塑性变形，点再次发生塑性变形，BAC so p esO - s=0后继屈服函数后继屈服函数 s= s( p)11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型BAC sosO s 包辛格效应包辛格效应 当卸载后，反向加载时，有些金属材料反当卸载后，反向加载时，有些金属材

6、料反映出反向加载的屈服极限映出反向加载的屈服极限 s s 称为称为包辛格效应（包辛格效应（Bauschinger. J. 德国人）。德国人）。11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型小结：小结： （1）在弹性阶段）在弹性阶段（ s）：）： = e 应力应变关系应力应变关系一一对应。一一对应。 （2）当应力达到初始屈服条件（）当应力达到初始屈服条件（ = s时），材料时），材料 进入弹塑性阶段，进入弹塑性阶段， = e+ p，应力应变关系不再，应力应变关系不再 是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。是一一对应关系，而要考虑加载变形历史。（3）对

7、于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料，）对于有明显屈服流动且强化阶段较小的材料， 屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流屈服条件采用初始屈服条件。对于无明显屈服流 动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。动且强化阶段较高的材料，将有后继屈服函数产生。（4 4）有些强化材料具有包辛格效应。）有些强化材料具有包辛格效应。11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.2 1.2 常见的几种简化力学模型常见的几种简化力学模型 1. 理想弹塑性模型：理想弹塑性模型：加载时：加载时： =E s = s s so s理想弹塑性模型理想弹塑性模型11

8、-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型2. 2. 线性强化弹塑性模型：线性强化弹塑性模型： 加载时：加载时： =E s = E s+ Et ( - s ) s )(EEE)(Estssts1EEt so sEEt线性强化弹塑性模型线性强化弹塑性模型tsttsE)(E)EE(1111-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型在实际问题中，有时当弹性应变在实际问题中，有时当弹性应变 e p 塑塑性应变，可忽略弹性变形。性应变，可忽略弹性变形。上述两种模型分别简化为：上述两种模型分别简化为： s 时时,

9、= 0 so = s soEt s+Et 理想刚塑性模型理想刚塑性模型 线性强化刚塑性模型线性强化刚塑性模型11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型1.3金属材料在静水压力实验：金属材料在静水压力实验： 前人（前人（Bridgman）对大量金属进行水压力实验）对大量金属进行水压力实验及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：及拉压和静水压力联合实验，得到下列结果：1.在静水压力在静水压力(高压高压) p 作用下作用下, 金金 属属 体体 积积 应应 变变e= V/V=p/k成正比，当成正比，当p达到或超过金属材料达到或超过金属材料的的 s时，时

10、，e与与p 仍成正比；并且除去压力后，仍成正比；并且除去压力后，体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。体积变化可以恢复，金属不发生塑性变形。11-1 11-1 金属材料的力学实验及几种简化力学模型金属材料的力学实验及几种简化力学模型2. 金属受静水压力和拉压联合作用与金属单金属受静水压力和拉压联合作用与金属单独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈独受拉压作用比较，发现静水压力对初始屈服应力服应力 s没有影响。没有影响。结论：静水压力与塑性变形无关。结论：静水压力与塑性变形无关。1.1.拉压杆的弹塑性问题拉压杆的弹塑性问题图示为两端固定的等图示为两端固定的等截面杆截面杆( (超静定杆超静定杆)

11、)， aPN2EAxN1b设材料为理想弹塑性材料设材料为理想弹塑性材料，在在x = a 处（处（b a）作用一）作用一逐渐增大的力逐渐增大的力P。平衡条件平衡条件 : : N1+N2=P变形协调条件变形协调条件： a+ b=0 so s理想弹塑性模型理想弹塑性模型（1 1）弹性解：）弹性解： 当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为当杆处于弹性阶段，杆两部分的伸长为EAaNa1 EAbNb2 代入变形协调方程为代入变形协调方程为021EAbNEAaN或或baNN12由于由于b a，所以，所以 N1 N2 ，将，将 代入平衡方程。代入平衡方程。baNN12 得得 )1/(1baPN)1 ()(2bab

12、aPN最大弹性荷载最大弹性荷载 )1 ()1 (1baAbaNPse力力P 作用点的伸长为作用点的伸长为 EaEAbaaPEAaNsee)1 (1(2)(2)弹塑性解弹塑性解P Pp p P P P Pe e : :P = Pe 后，后，P 可继续增大，而可继续增大，而 N1= sA 不增加不增加（a段进入塑性屈服，但段进入塑性屈服，但 b 段仍处于弹性）段仍处于弹性） N2=P- N1=P- sA 力力 P P 作用点的伸长取决于作用点的伸长取决于b b 段杆的变形段杆的变形EAbAPEAbNsb)(2 EAbAPEAbNsb)(2 )1 (baAPse)1 (baPAes)1 ()()1

13、(baEAbPPPaEAbbaPPee(3)(3)塑性解：塑性解： PPpPee N1= sA , N2= sA 这时杆件变形显著增加，丧失承载能力这时杆件变形显著增加，丧失承载能力则最大荷载则最大荷载 Pp=2 sA 极限荷载极限荷载作业作业：图示桁架各杆截面面积为：图示桁架各杆截面面积为 A , A , 材料为材料为理想弹塑性理想弹塑性 , ,求求荷载荷载 P 与与 C 点竖向位移点竖向位移 关关系。系。 PABCD l-ss (1) (1)材料为理想弹塑性材料为理想弹塑性; ;xMM y2.2.梁的弹塑性弯曲梁的弹塑性弯曲 2.12.1假设假设: : (2)(2)平截面假设平截面假设(

14、(适用适用于于l h);(3) (3) 截面上正应力截面上正应力 x 对变形影对变形影 响为主要的响为主要的; ;2.22.2梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲梁具有两个对称轴截面的弹塑性弯曲: :(1) (1) 梁的弯矩梁的弯矩z ybh在线弹性阶段在线弹性阶段弹性极限状态（设矩形截面）弹性极限状态（设矩形截面）: M=Me在截面上在截面上y=h/2处，处，622maxbhMIhMees 或或 最大弹性弯矩最大弹性弯矩62bhMsexMM yh/2-+ss0yysxss-+y0y0y弹塑性阶段：弹塑性阶段：Mp M Me弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间扩展，弯矩继续增大，截面上塑性区域向中间

15、扩展，塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为塑性区域内的应力保持不变，截面上弯矩为34220202000yhbydyydyyybydAMsyhyssAx当当y0=h/2时：时：6124222bhhhbMMsseh/2-+ss0yysxss-+y0y0y最大弹性弯矩最大弹性弯矩34220202000yhbydyydyyybydAMsyhyssAx当当y0= 0时：时：h/2-+ss0yysxss-+y0y0y-ss+42bhMMsp极限弯矩极限弯矩42bhMMsp令令 =Mp/Me=1.5（矩形截面）（矩形截面） 截面形状系数截面形状系数。 1.51.71.15-1.17截面形状截面形状62bh

16、Mse42bhMMsp 截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠截面弯矩达到极限弯矩时，其附近无限靠近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面近的相邻两截面可发生有限相对转角，该截面称为塑性铰称为塑性铰。62bhMse 对于静定梁，对于静定梁，截面弯矩达到极限弯矩时，截面弯矩达到极限弯矩时，结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态结构变成机构，承载力已无法增加。这种状态称为极限状态。称为极限状态。（2）梁弹塑性弯曲时的变形）梁弹塑性弯曲时的变形在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系在线弹性阶段，梁弯矩和曲率的关系为线性关系M=EI ( M Me ), 或或 EIM将应力与弯矩关系式将应力与弯矩关

17、系式 代入上式代入上式,可得可得IMyEy在弹塑性阶段，由于梁弯曲在弹塑性阶段，由于梁弯曲时截面仍然保持平面，可得时截面仍然保持平面，可得或或0EysEys0代入梁弹塑性弯曲时代入梁弹塑性弯曲时M的表达式的表达式 得得34202yhbMs0yysxss-+y0y0y ( M Me )22314EhbMssMMpMeeo(3) 梁弹塑性弯曲时的卸载：梁弹塑性弯曲时的卸载：卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯卸载是以线弹性变化，卸载后梁截面的弯矩矩M=0, 但截面内的应力不为零，有残余但截面内的应力不为零，有残余应力存在。以矩形截面为例：应力存在。以矩形截面为例：s+-+-s+=-+00000yy

18、yIMyyyyIMyyyyyIMsssx2.3 2.3 梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲梁具有一个对称轴截面的弹塑性弯曲: : xMM yz ybh具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：具有一个对称轴截面梁的弹塑性弯曲特点：随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。随着弯矩的增大，中性轴的位置而变化。中性轴的位置的确定：中性轴的位置的确定：z ybh在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过在弹性阶段：应力为直线分布，中性轴通过 截面的形心。截面的形心。 最大弹性弯矩最大弹性弯矩 Me = s W-+sz ybh-+ss+-F1F2在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上合力在弹塑性阶段：中性轴的位置由截面上

19、合力 为零来确定为零来确定: F1 = F2-+ ss-+ss+-F1F2z ybh在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为在塑性流动阶段：受拉区应力和受压区应力均为常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定常数，中性轴的位置由截面上合力为零来确定: : F1 = F2 或或 s A1 = s A2 得得 A1 = A2 中性轴的位置由受拉区截面面中性轴的位置由受拉区截面面 积等于受压区截面面积确定。积等于受压区截面面积确定。极限弯矩极限弯矩 Mp = s (S1 + S2 ) S1 和和S2 分别为面积分别为面积A1和和A2对等面积轴的静矩。对等面积轴的静矩。作业作业：已知理想弹塑性材料的屈

20、服极限为：已知理想弹塑性材料的屈服极限为 s , ,试求试求(1)(1)图示梁截面的图示梁截面的极限极限弯矩弯矩 Mp , ,（2 2）当）当M / Me =1.2 =1.2 时，时， y0 的值为多少的值为多少 ? ?aazya)aazyb) 超静定超静定梁由于具有多余约束，因此必须有梁由于具有多余约束，因此必须有足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。足够多的塑性铰出现，才能使其变为机构。 下面举例说明这个过程。下面举例说明这个过程。 一端固定、一端简支一端固定、一端简支的等截面梁，跨中受集的等截面梁，跨中受集中荷载作用。中荷载作用。2.4 2.4 超静定超静定梁的极限荷载梁的极限荷载Pl/

21、2l/2ACB固定端弯矩最大，固定端弯矩最大，2 2）在弹塑性阶段：）在弹塑性阶段：固定固定端首先发生端首先发生塑性区域，塑性区域，随着随着荷载增加、固定端荷载增加、固定端成为第一个塑性铰。成为第一个塑性铰。1）在线弹性阶段）在线弹性阶段Pl/2l/2ACBP6Pl/32ACB5Pl/32eAMPlM326PePPPMPACB 固定端弯矩保固定端弯矩保持持Mp，当荷载增加，当荷载增加到到极限极限荷载时，跨荷载时，跨中弯矩达到中弯矩达到Mp 。3）极限状态）极限状态Pl/2l/2ACBMPMP4P l 极限极限荷载荷载 Pp 的的确定可采用静力法，确定可采用静力法，也可采用虚功法也可采用虚功法

22、。PeP pe 时，时，在筒体内壁附近出现塑性区，并且随在筒体内壁附近出现塑性区，并且随着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近着内压的增加，塑性区逐渐向外扩展，而外壁附近仍为弹性区。仍为弹性区。 由于应力组合由于应力组合 - r 的轴对称性，塑性区与弹性的轴对称性，塑性区与弹性区的分界面为圆柱面。区的分界面为圆柱面。 筒体处于弹塑性状态下的压力为筒体处于弹塑性状态下的压力为 pp ，弹塑性分界弹塑性分界半径为半径为 c 。此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁此时对于弹性区和塑性区也可按两个厚壁圆筒分别进行讨论。圆筒分别进行讨论。r = cr = cr = c 由于轴对称性，在内筒的外壁和

23、外筒内壁由于轴对称性，在内筒的外壁和外筒内壁分别作用均布径向压力分别作用均布径向压力 r r=c= q ，为求解塑性为求解塑性区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，区的应力分量，应满足平衡方程与屈服条件，即即r = cr = cr = c0rdrdrrsr将屈服条件代入平衡方程，即得将屈服条件代入平衡方程，即得 或或 0rdrdsrrdrdsr将上式进行积分，得将上式进行积分，得Arsrln积分常数积分常数 A 可由内壁的边界条件定出可由内壁的边界条件定出: :A = - pp - s lna 。代入上式可求得代入上式可求得 r ，再由屈服条件，可求出再由屈服条件，可求出 ，即求得塑性区的应

24、力分量为：即求得塑性区的应力分量为：psrparlnpsparln1 (d) 由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，由上式可知，塑性区的应力分量是静定的，它仅与内压它仅与内压 pp 有关，而与弹性区的应力无关。有关，而与弹性区的应力无关。而且在塑性区内而且在塑性区内 0, r 0, r 0 ，而且而且 r 绝对值最大值发生在绝对值最大值发生在筒体的内壁处，而筒体的内壁处，而 的最大值则随着内压的的最大值则随着内压的增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，增加而由内壁移到外壁，随着塑性区的扩大，应力分布也变得平缓起来。应力分布也变得平缓起来。且且 在塑性变形阶段，应力与应变关系没有一一在塑性变形

25、阶段，应力与应变关系没有一一对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还对应关系，应变不仅和应力状态有关，而且还和变形历史有关，但在某一给定状态下有一个和变形历史有关，但在某一给定状态下有一个应力增量，相应地必有唯一的应变增量。应力增量，相应地必有唯一的应变增量。 因此，在一般塑性变性条件下，只能建立因此，在一般塑性变性条件下，只能建立应力与应变增量之间的关系。这种用增量形式应力与应变增量之间的关系。这种用增量形式表示的材料的本构关系称为增量理论（或流动表示的材料的本构关系称为增量理论（或流动理论）。理论）。在弹塑变形阶段一点的应变增量在弹塑变形阶段一点的应变增量 d ij 分为弹性分为弹性应变增

26、量应变增量d eij 和塑性应变增量和塑性应变增量d pij 两部分，即：两部分，即： d ij = d eij+ d pij（加载）（加载）由广义由广义 Hooke 定律定律：d eij 与应力增量与应力增量 d ij 之间之间为：为：ijijeijdEdEd03)1 ( 为了确定塑性应变增量与应力的关系，为了确定塑性应变增量与应力的关系，需要以实验为基础找出它们的关系。需要以实验为基础找出它们的关系。 Lode曾用受轴向拉伸和内压同时作用的金曾用受轴向拉伸和内压同时作用的金属薄壁管作实验，所采用的参数为属薄壁管作实验，所采用的参数为 和和 pd,ssss121231323132123132ppppdddddp通过实验结果，得出大致结论为通过实验结果，得出大致结论为: : pd 可写为可写为 ppppddddssss3132313