第十一章能量法

1、第十一章第十一章 能量法能量法FWV FF O FO FW0d FW21 FFdnniiFFFFW212121212211 niiiFWV121 niiiFWV121 图示力系的外力功为图示力系的外力功为式中广义力包括集中力、集中力偶等，而式中广义力包括集中力、集中力偶等，而 则为与广义则为与广义力相应的广义位移。力相应的广义位移。4433221121212121FFFFW aF3F4F2F14312 niiiFWV121 lEAlFlFWV2212N xEAxFVld22N lFFOlFEAlFlN PGIlTMWV2212e xGIxTVld2P2 MeTMepGITl EIMxw dd

2、xEIMdd EIxxMMWV2dd21dd2 xEIxMWVld22 MMdxd d21d21d21ddNTMlFWV p222N2d2d2dGIxTEIxMEAxF lllGIxTEIxMEAxFWVp222N2d2d2d dxMTFN lllGIxTEIxMEAxFVp222N2d2d2d lllGIxTEIxMEAxFVp222N2d2d2dlFBA解：解：1. 建立坐标系建立坐标系AFwW21 EIlFxEIFxEIxMVll6d22d320202 EIFlFVwA323 xwAFW FFWV0ccd dFFF1F2Fi12iiiFFVVdd cciiFV c 线弹性体线弹性体 三、

3、卡氏定理三、卡氏定理 Castigliano Second TheoremiiFV 线弹性体的应变能对于某个力的一阶偏导数，线弹性体的应变能对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点的相应位移。等于这个力作用点的相应位移。卡氏定理卡氏定理FFVV = Vc lllGIxTEIxMEAxFVp222N2d2d2d iiFV xFTGITxFMEIMxFFEAFililildddpNN xFMEIMFVwlAd0 xxFxEIld10 EIFl33Fxl / 2l / 2ABC lxllxFFxM2212xFMEIMxFMEIMFVwlllBdd1222112011 xlxlxFFxEIlld221

4、21 F1=0Fxl / 2l / 2ABCF1xxlxFxEIlld212 EIFl4853FV FF1221FV ABFBAFA、B两点的两点的水平水平相对位移相对位移FV FV 21FV F2=FF1=F12ABC1FV 真实位移真实位移虚位移虚位移真实位移真实位移真实位移增量真实位移增量w1(x)w1* (x)虚位移虚位移 如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，这时力所作的功称为虚功。这时力所作的功称为虚功。 FW1 *CBAF1CBAF1F2 力力F1对位移对位移（不是由于力不是由于力F1本身所引起）本身所引起）所作的功称为虚功所作的功称

5、为虚功F1FiF212id(l )FNFNdxVddddQNFTMlFVMMdTTddxFQFQd*dxW= Fi iddddQNFTMlFVFi i=ddddQNFTMlF上节回顾上节回顾FW0dFW21上节回顾上节回顾 FOFFd FF O上节回顾上节回顾 xEAxFVld22N xGIxTVld2P2 xEIxMVld22 上节回顾上节回顾 lllGIxTEIxMEAxFVp222N2d2d2d上节回顾上节回顾iiFV xFTGITxFMEIMxFFEAFililildddpNN 上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾 如果使力作功的位移不是由于该力本身所引起，如果使力作功的位

6、移不是由于该力本身所引起，这时力所作的功称为虚功。这时力所作的功称为虚功。 上节回顾上节回顾d(l )FNFNdx V ddddQNFTMlFVMMdTTddxFQFQd*dx上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾Fi i= ddddQNFTMlFQN,FTMFK1K ddd1NTMlFTMF,N1KdxTFNMd(l )FNFNdxMMdEAxFlddNEIxM ddPddGIxT ddd1NTMlF xGITTxEIMMxEAFFdddPNNdxTd xGITTxEIMMxEAFFdddPNN;,NTMF（坐标应与第一步载荷引起的内力方程相同）（坐标应与第一步载荷引起的内力方程相同） xGITT

7、xEIMMxEAFFdddPNN EIxMMd EAlFFN N PdGIxTT EIMRMEIsMM dd注意：虚拟状态中的虚单位载荷（广义力）注意：虚拟状态中的虚单位载荷（广义力）与欲求位移（广义位移）相对应与欲求位移（广义位移）相对应广义位移与广义虚单位载荷的对应关系示例广义位移与广义虚单位载荷的对应关系示例BAABF=1BAF=1A、B两点处一对方向相反的两点处一对方向相反的水平单位力水平单位力A、B两点的两点的水平水平相对位移相对位移A、B两点处一对方向相反的两点处一对方向相反的竖向竖向单位力单位力广义位移与广义虚单位载荷的对应关系广义位移与广义虚单位载荷的对应关系ABBAF=1F=

8、1BAA、B两点的竖向相对位移两点的竖向相对位移BAAA端一个单位力偶端一个单位力偶A端角位移端角位移ABM=1广义位移与广义虚单位载荷的对应关系广义位移与广义虚单位载荷的对应关系CABCM=1ABCM=1C左、右两侧截面的相对角位移左、右两侧截面的相对角位移 C左、右两侧一对方向相反的左、右两侧一对方向相反的单位力偶单位力偶CB杆的转角杆的转角CBACB杆上的单位力偶杆上的单位力偶 11ddMCBAd1d1dFFBAsinRM（02）（02） 20d1MRMEIABRABR 023dsin2FREIEIFR3（沿载荷方向分开）（沿载荷方向分开）2. 求载荷引起的内力方程求载荷引起的内力方程1

9、1 xEIMMd xMMEId1 xMMdxMxMMdbaxM xMbaxxMMdd xMbxxMadd bxac baxc CM xMCMCxcdxxM(x)CMxMM d.CMxMxxcCMCMMM 的面积乘其形心所对应的的面积乘其形心所对应的 图的图的M值来计算。值来计算。M 图图M 图图123M 图图MCM 图图M可用可用 图图1M2M3M85l 二次抛物线二次抛物线 l顶点顶点Ch83lhl32 4l 二次抛物线二次抛物线 l顶点顶点Ch43lhl31 5l 三次抛物线三次抛物线 l顶点顶点Ch54lhl41 2l 二次抛物线二次抛物线 Chhl32 2l2l 二次抛物线二次抛物线

10、Chhl32 2l梯形图形相乘梯形图形相乘，M 图图C1C2ba图图M lcd1M2M3321dcM 3232dcM 21al 22bl 二次抛物线图形相乘二次抛物线图形相乘221dcM 3322dcM lh1132 222lh 2lC1h12lh2C2M 图图lcd1M2M M 图图CBAaqaqqa2Mqa2/2212232(12 qaaEIC 32222 qaa)122 qaa EIqa6531CBA2aaDaa图。图。MM12132qa2Mqa2/22852232(12 aqaaEIwD)222212qaaa EIqa244CBAaqaqDaa图。图。MCBAa1DaaM2a852 a

11、22qaCBAaaFCBAFM21aaFaEIucEIFa231MFaFaa11MCBA2aCBAFMFaFa*2M aFaaaFaaEIvC32211 EIFa343aa1a322M3M 11211FaaFaaEIC EIFa232CBAFMFaFa*113MCBAaaFaa1a322M113MCBAFMFaFa*a11MCBA432)4231(12 aqaaEIwBBAqaq2a图。图。M4qa2MBA1M2a aaqaaqaaEIwB223223224212228)2(22qaaq 31)2221(1 aFaaEIwCBA1 FaaaEIwC26521BAFaaC2FaMMaFa265

12、作业作业 11- 13（b） 11-20 11- 24 11-25（b） F1F2Fn ddddQNFTMlFFii12nKdddd1QFTMlF1Kd(l )FNFNdxMMdEAxFlddNEIxM ddPddGIxT xGITTxEIMMxEAFFdddPNNdxTdCMxMM d.CMxMxxcCMCM导出导出.,QNTFMF例例1 试求图示外伸梁试求图示外伸梁C点的竖向位移。点的竖向位移。EI为常数。为常数。 解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。BACql2lM82ql82qlC1C2C31M2l 838231483238211222lqlllqlllqllEIw

13、C)(1284 EIql3l4l432 lM图图82qlCBA2ql23qlql2ql1 CBA1 1 1 qlCBAll2IIqM 图图l32l2l 例例2 试求图示刚架结点试求图示刚架结点B的水平位移的水平位移uB 。EI为常数。为常数。 解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。 2832322213221222llqlllqlEIllqlEIuB)( EIql482542ql32lFaaaaABCDM2Fa1aaaaABCD1Maa aFaaEIAB22211EIFa23 例例3 试求图示刚架试求图示刚架A，B 两点的相对线位移两点的相对线位移AB 。EI为常数。为常数。

14、 解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。 aaaFaaaaFaEIaFaaEIwB3223123232222132)2(1 EIFa233Faa2FaMM2a 例例4 试求图示外伸梁试求图示外伸梁B点的竖向位移。点的竖向位移。 解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。BACEI2EIBACEI2EI1Faal2l1kFlFlllFllEIwC23233222132211 M2l3l3l)(4983 kFEIFlBAC例例5 试求图示外伸梁试求图示外伸梁C点的竖向位移。点的竖向位移。B为弹簧支座，为弹簧支座，弹簧常数为弹簧常数为k，梁的，梁的EI为常数。为常数。

15、 解解作载荷弯矩图和单位弯矩图。作载荷弯矩图和单位弯矩图。F23FFB kFB23 C1C2M2FlBAC23 BF EIxMMMFiidd BBCiiFwF 1wCBBCFEIxMMw diijji位移命名位移命名Fi iijjjiFjj 先加先加Fi后加后加Fjjij iFiijFjiiiFW21jjjF21ijiFii先加先加Fj后加后加FijjjjFjjiijjjFW21iiiF21jijFjiWW jijijiFF iijFi 甲力在乙力引起的位移上作的功（虚功），甲力在乙力引起的位移上作的功（虚功），等于乙力在甲力引起的位移上作的功（虚功）等于乙力在甲力引起的位移上作的功（虚功） 。 一般地，对线弹性结构一般地，对线弹性结构 jijijiFF 甲力系的力在乙力系引起的相应甲力系的力在乙力系引起的相应位移上所作的功，等于乙力系的力在位移上所作的功，等于乙力系的力在甲力系引起的相应位移上所作