统计技术培训资料第4部分概率

1、 通常，我们开始对一件事有所行动与作为时，并无法同时来决定或判断，因此无法有百分之百的可靠性正确，为了避免失败而有统计学的演进发展，尤其近代工业大规模的生产，过程的原料、设备、操作、人员之不同，以及制造过程中因素的错综复杂，在品质的控制上时会发生变化，这些变化，有时可以马上观察获得，加以改正，但有时却变化于不知不觉中，无法由表面马上发现其迹象，就不得不藉助于统计的方法了。那么，什么叫做统计的方法呢？在前面已有说明，在此，不妨再强调一遍，所谓统计方法是根据过去的事实，加以收集、整理、分析其将来可能再度发生的事实而实施推论判断的方法。 今日，利用统计资料，运用统计方法来经营企业，协助困难之解决已是

2、非常普遍，如管制图、抽样检验和实验计划的应用，都是应用统计方法，另外，如资料汇整、成本计算、生产计划、销售预测、资料管理、市场调查等亦皆赖统计方法之协助，特别在品质管制应用方面，统计占有极重要的份量，成尤其是样本与群体之关系及各种分配实为研究统计或品管不可忽略的基本知识。 概率概率 期望值期望值 概率分配的种类概率分配的种类 超几何分配超几何分配 二项分配二项分配 卜易生分配卜易生分配 常态分配常态分配 各种分配之比较各种分配之比较 概率的定义概率的定义 概率的种类概率的种类 互斥事项与独立事项互斥事项与独立事项 概率的加法与乖法概率的加法与乖法1.1 概率的定义概率的定义 宇宙间，任何一种现

3、象的发生，虽然我们无法预先知道，但是，我们可以根据过去的经验，及积累下来合理的数字加以预测与表示，这种方法即是概率。概率也可以说是随机的或非决定性的试验。例如研究某项A之出现次数为fA，与出现各种事项总次数N之比，即为出现事项A的概率以P(A)表示。1.2 概率的种类概率的种类概率可分为先知概率与经验概率 先知概率先知概率 如果一事件已知其可能发生之各种不同结果，而这些结果是互相排斥，而且各有同等机会发生称之为先知概率，如投掷铜币，正面反面出现机会各为二分之一，且皆有可能出现，我们是已经知道它们出现的或然率。 经验概率经验概率 一种事件之结果，经过数次的试验，加以归纳而得，其间，某种特性发生之

4、可能性点总试验的百分比，称为经验概率，当试验愈多次，则概率的精确度愈高。1.3 互斥事件与独立事件互斥事件与独立事件互斥事件与非互斥事件互斥事件与非互斥事件 一事件发生时，其余事件皆不能同时发生时，这些事件称为互斥事件。反之，称为非互斥事件。独立事件与从属事件独立事件与从属事件 事件发生与否彼此无关，称为独立事件，例如第一次掷骰子得一之概率为1/6，第二再掷得一之概率仍为1/6，此两事件称为独立事件。反之，事件发生会影响其它事项出现之概率称为从属事件。1.4 概率的加法与乖法概率的加法与乖法 加法定律加法定律 互斥事件互斥事件 非互斥事件非互斥事件 乖法定律乖法定律 独立事件独立事件 从属事件

5、从属事件互斥事件互斥事件 若事件A与B为互斥，则在同一次试行中发生A或B之概率为该事件分别发生概率之和。P(A+B)=P(A)+P(B) 例：自一副牌中抽取一张红牌（红心与红砖）的概率为何？例：自一副牌中抽取一张红牌（红心与红砖）的概率为何？ 解：设抽取一张红心之概率为解：设抽取一张红心之概率为P(A)，抽取一张红砖之概率为，抽取一张红砖之概率为P(B)，则：，则： P(A)=1/4, P(B)=1/4 P(A+B)=P(A)+P(B)=1/4+1/4=1/2非互斥事件非互斥事件 若事件A与事件B为非互斥事件，则在同一次试行中发生A或B之概率为该两事件分别发生概率之和，再减去该两事件同时发生之

6、概率，即：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 例：自一副牌中抽取黑桃之概率，以例：自一副牌中抽取黑桃之概率，以P(A)表示，或抽取各色之表示，或抽取各色之A之概率，以之概率，以P(B)表示，两者之总概率为何？表示，两者之总概率为何？ 解：解： P(A)=13/52=1/4 P(B)=4/52=1/13 P(AB)=(1/4)*(1/13)=1/52 P(A+B)=1/4+1/13-1/52=4/13独立事件独立事件 若n个事件互为独立事件，其发生之概率为P(A1)、P(A2)P(An)，则此n事件同时发生之概率为各概率之乖积，即：P(A1A2An)=P(A1)*P(A2) P(An)

7、 例：从四副牌中，各抽出一张，其均为黑桃之概率为何？例：从四副牌中，各抽出一张，其均为黑桃之概率为何？ 解：从第一副牌中，取出黑桃之概率为解：从第一副牌中，取出黑桃之概率为P(A1)=1/4；第二副、第三副与第四副牌；第二副、第三副与第四副牌中取出黑桃之概率中取出黑桃之概率P(A2)、P(A3)、P(A4)也均等于也均等于1/4 故：故： P(A1A2A3A4)=P(A1)*P(A2)*P(A3)*P(A4) =(1/4)*(1/4)*(1/4)*(1/4)=1/256从属事件从属事件 若事件A、B为从属事件，则A与B均发生之概率为发生A之概率与发生A后再发生B之概率之乘积或为发生B之概率与发

8、生B后再发生A之概率之乘积，即：P(AB)=P(A)*P(B/A)=P(B)*P(A/B) 例：从一副牌中，连续抽出两张，均为黑桃之概率为何？例：从一副牌中，连续抽出两张，均为黑桃之概率为何？ 解：抽第一张牌，出现黑桃之概率为解：抽第一张牌，出现黑桃之概率为P(A)=1/4；抽第一张黑桃后，再抽第二张；抽第一张黑桃后，再抽第二张出现黑桃之概率为出现黑桃之概率为P(B/A)=(13-1)/(52-1)=12/51=4/17 故：前后两种均为黑桃之概率故：前后两种均为黑桃之概率P(AB)=P(A)*P(B/A) =(1/4)*(4/17)=1/17在一试验中，各变量发生概率之总和为一，则所有可能出

9、现的数值，与其相对概率乖积之和称为期望值，即：(X)=XiPi=XiP(X=Xi) 例：骰子六面分别为例：骰子六面分别为1、2、3、4、5、6点，各面出现之概率分别为点，各面出现之概率分别为1/6，试求，试求任一次点数出现之期望值。任一次点数出现之期望值。 解：解：(X)=(1*(1/6)+(2*(1/6)+(3*(1/6)+(4*(1/6)+(5*(1/6)+(6*(1/6) =1/6+1/3+1/2+2/3+5/6+1 =7/2=3.5 在实际生产作业中，所遭遇的问题，往往是千变万化的，要一一加以了解，无法做到，科学分析的方法是必要的，因此，统计学家将其归纳成几种形态，以数学的方法来解决分

10、歧变化，下列各种分配均为品质管制中常用的分配形态。 间断分配间断分配 超几何分配超几何分配 二项分配二项分配 卜易生分配（也称之为卜瓦松分配）卜易生分配（也称之为卜瓦松分配） 连续分配连续分配 常态分配常态分配 超几何分配的定义超几何分配的定义 超几何分配的特性超几何分配的特性 设有一群体之批量N，批量之不良数为p。从批量中随机抽取n个样本（抽出后不再放回），在此n个样本中含有r个不良品之机率为P，此种概率之分配，称之为超几何分配。 例：袋中有30个成品，其中20个良品，10个不良品，今随机抽取5个成品，问抽出良品3个、不良品2个之概率有多少？ 解： NnNpNrnNprCCCP为p个不良品被

11、抽出r个不良品之组合数为(n-np)个不良品中被抽出n-r个良品之组合数为从批量N个中，随机抽取n个样本之组合数0.36263095054321262728293032118192021910305203102NnNpNrnNprCCCCCCPNnCNpNrnCNprC超几何分配各变量出现概率之总和等于一。此分配之变量为不连续函数，范围由0至n。其期望值(X)=np。当其P等于1/2时为对称分配，当P小于1/2时为偏左分配，当P大于1/2时为偏右分配。 二项分配的定义二项分配的定义 二项分配的特性二项分配的特性 若母群体之个数N趋近于无限大时，超几何分配之极限形态称为二项分配，即一无限群体之批

12、量N，批之不良率为p，良率为q，则q=1-p。从批中随机抽取n个样本，在此n个样本中，有r个不良品之概率为P，此种概率分配称为二项分配。 例：一袋中有10个成品，其中8个是良品，2个是不良品，今随机抽取一个，把所抽的良品或不良品记录后，放回袋中再均匀混合，如此反复抽样，直到第五次，试求所抽取的成品中，有3个良品，2个不良品的概率为何？ 解：抽样不良品的概率p=2/10=1/5，良品之概率为q=1-1/5=4/5。 N=5 r=2rnrnrqpCP625128125642512145)54()51(CqpCP25252rnrnr二项分配各变量出现的概率为一。此分配的变量，亦为不连续函数，其变量范

13、围为0至n。其期望值(X)=np。当P等于1/2时，此分配为对称分配；当P小于1/2时，此分配为偏右分配；当P大于1/2时，此分配为偏左分配。 卜易生分配的定义卜易生分配的定义 卜易生分配的特性卜易生分配的特性 当母群体为不良率P极小，且n趋向于无限大时，则二项分配之极限式称为卜易生分配。 例：设一袋中之物品不良率为0.005，今抽样60，问不良品数为5之概率为多少？ 解：C=5 np=600.005=0.3C!npePnnpP：不良率 C：抽样时不良品数n：抽样数 e：自然对数（e=2.71828）000015. 012345) 3 . 0()71828. 2(C!npeP53 . 0nnp

14、各变量发生概率之和为一。此分配为一不连续函数，其变量所在之范围为0至。其期望值为(X)=np。 常态分配的定义常态分配的定义 常态分配曲线之特性常态分配曲线之特性 常用之常态曲线概率常用之常态曲线概率 常态分配之查表法常态分配之查表法 在前面介绍过在次数分配或直方图之绘制中，若数据量无限增大，并将组距缩小时，所得到之钟形平滑分配曲线，即为常态分配曲线，如右下图所示。在统计学中，常态分配是最重要的连续回数概率之一，很多自然现象，工业上之状况与社会上各种问题，如为计量值，且正常之情形下，皆为此种分配曲线。其概率函数式为： 式中：X为计量值变量； 为一群X变更之平均值； X为一群X变量之标准差； y

15、为X之概率密度)XX(21XXe21yXX-R通过平均值处，作一纵坐标，则此曲线依此纵坐标对称。曲线以平均值对应之最高点为中心。且为最大值，其处中位数、众数、平均数相等。曲线以平均值对应之最高点为中心，向二侧逐渐下降，并且很快的与横坐标相接近，但并不相交。曲线向二侧逐渐下降后，初则逐渐加陡，至时则逐渐转平，此转向之点谓之反曲点。常态分配曲线与横轴所围的面积等于一，表示全部X变量发生差率之总和等于100%。oeMMX-以平均值为轴两边对称各占50%所有面积和等于1（100%）最高点反曲点21Xy 曲线逐渐转平112233XX-Xa XbXaXXbXaXb所在范围之发生概率 常态曲线上之概率，是以

16、任意两X变量之间所夹面积计算，如下图所示，在X=Xa及X=Xb两纵轴之间，常态曲线与横坐标所夹的面积即为XaXXb之发生概率。 曲线由平均值二侧之离散程度（即）在XR，R=1、2、3之概率以百分比表示如下： X=Xbar1之间：68.28% X=Xbar2之间：95.45% X=Xbar3之间：99.73% 应用标准常态分配来分析研究一个问题时，必须确知某一变量值之纵坐标之高度，或某两变量值间与常态分配曲线所包围之面积，此计算相当复杂，必须用积分方法，所幸统计学家，在计算发生概率时，通常不用Xbar、X及X值，而将这些数值交换为“标准常态变数”以Z表示：Z=（X-Xbar)/X 而可直接自常态

17、分布表中，查出Z在某范围内之发生概率。 详尽的常态分配数值如右DOC文件。1. 由标准值查纵坐标之高度 同标准常态分配由线系对称于纵坐标，故只要标准值之绝对值同，其所对应之纵坐标高度亦相同，故此纵坐标表仅列出标准值为正的侧之纵坐标之高度。2. 由标准值查面积 常态分配数值中之面积值，系由纵轴至某一特定值Z间之面积。因标准常态分配曲线与横轴间炎面积为1，且因标准常分配对称于纵轴，所以标准值的绝对值相同之间的面积亦相同，故此面积数值表与纵坐标数值表同，仅列出标准值为正的一侧之面积值。分配形态分配形态常态分配常态分配超几何分配超几何分配二项分配二项分配卜易生分配卜易生分配分配形态分配形态计算公式计算公式通用范围通用范围计量值数据（即连续数据）之分配计数值数据之分配（