李雅普诺夫稳定性的基本定理

1、李雅普诺夫第一法(1/7)3.2.1 李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第一法q 李雅普诺夫第一法又称间接法李雅普诺夫第一法又称间接法,它是研究动态系统的一次近似它是研究动态系统的一次近似数学模型数学模型(线性化模型线性化模型)稳定性的方法。它的基本思路是稳定性的方法。它的基本思路是: 首先首先,对于非线性系统对于非线性系统,可先将非线性状态方程在平衡态可先将非线性状态方程在平衡态附近进行线性化附近进行线性化, 即在平衡态求其一次即在平衡态求其一次Taylor展开式展开式, 然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系然后利用这一次展开式表示的线性化方程去分析系统稳定性。统稳定性。 其次其次,解出线性

2、化状态方程组或线性状态方程组的特征值解出线性化状态方程组或线性状态方程组的特征值,然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统然后根据全部特征值在复平面上的分布情况来判定系统在零输入情况下的稳定性。在零输入情况下的稳定性。李雅普诺夫第一法(2/7)下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳定性中的应用。定性中的应用。q 设所讨论的非线性动态系统的状态方程为设所讨论的非线性动态系统的状态方程为x=f(x)其中其中f(x)为与状态向量为与状态向量x同维的关于同维的关于x的非线性向量函数的非线性向量函数,其各元其各元素对素对x有连

3、续的偏导数。有连续的偏导数。参看课本参看课本P167李雅普诺夫第一法(5/7)p 李雅普诺夫第一法的基本结论是李雅普诺夫第一法的基本结论是:1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都的所有特征值都具有负实部具有负实部,则原非线性系统的平衡态则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定渐近稳定,而且系而且系统的稳定性与高阶项统的稳定性与高阶项R(x)无关。无关。2. 若线性化系统的系统矩阵若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有的特征值中至少有一个具有正实部正实部,则原非线性系统的平衡态则原非线性系统的平衡态xe不稳定不稳定,而且该平衡态而且该平衡态的稳

4、定性与高阶项的稳定性与高阶项R(x)无关。无关。3. 若线性化系统的系统矩阵若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外除有实部为零的特征值外,其其余特征值都具有负实部余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态则原非线性系统的平衡态xe的稳的稳定性由高阶项定性由高阶项R(x)决定。决定。李雅普诺夫第一法(6/7)q 由上述李雅普诺夫第一法的结论可知由上述李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法与经典控制理论该方法与经典控制理论中稳定性判据的思路一致中稳定性判据的思路一致,需求解线性化状态方程或线性状态需求解线性化状态方程或线性状态方程的特征值方程的特征值,根据特征值在复平面的分布来分析稳定性。根

5、据特征值在复平面的分布来分析稳定性。 值得指出的区别是值得指出的区别是: 经典控制理论讨论的是输出稳定性问题经典控制理论讨论的是输出稳定性问题,而李雅普诺而李雅普诺夫方法讨论状态稳定性问题。夫方法讨论状态稳定性问题。 由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值由于李雅普诺夫第一法需要求解线性化后系统的特征值,因此因此该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系该方法也仅能适用于非线性定常系统或线性定常系统统,而不能推广至时变系统。而不能推广至时变系统。李雅普诺夫第一法(7/7)例例5-1试确定系统在原点处的稳定性。试确定系统在原点处的稳定性。q 解解 1： 由状态方程知由状态方程知,原点

6、为该系统的平衡态。原点为该系统的平衡态。将系统在原点处线性化将系统在原点处线性化,则系统矩阵为则系统矩阵为1210)(KKAexxxxf0,) 1(21122211221KKxKxxKxxxq 例3-1 某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述某装置的动力学特性用下列常微分方程组来描述:因此因此,系统的特征方程为系统的特征方程为| I-A|= 2+K1 +K2=0李雅普诺夫第一法(8/7)2. 由李雅普诺夫第一法知由李雅普诺夫第一法知,原非线性系统的原点为渐近稳定的充原非线性系统的原点为渐近稳定的充分条件为分条件为:K10 和和 K20.参看课本参看课本P168李雅普诺夫第二法(1/3)3.

7、2.2 李雅普诺夫第二法q 由李雅普诺夫第一法的结论可知由李雅普诺夫第一法的结论可知,该方法能解决部分弱非线性该方法能解决部分弱非线性系统的稳定性判定问题系统的稳定性判定问题,但对强非线性系统的稳定性判定则无但对强非线性系统的稳定性判定则无能为力能为力,而且该方法不易推广到时变系统。而且该方法不易推广到时变系统。 下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析下面我们讨论对所有动态系统的状态方程的稳定性分析都适用的李雅普诺夫第二法。都适用的李雅普诺夫第二法。李雅普诺夫第二法(2/3)q 李雅普诺夫第二法又称为直接法。李雅普诺夫第二法又称为直接法。 它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的

8、。它是在用能量观点分析稳定性的基础上建立起来的。 若系统平衡态渐近稳定若系统平衡态渐近稳定,则系统经激励后则系统经激励后,其储存的能其储存的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时,其能量其能量达到最小值。达到最小值。 反之反之,若平衡态不稳定若平衡态不稳定,则系统将不断地从外界吸收能则系统将不断地从外界吸收能量量,其储存的能量将越来越大。其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点基于这样的观点,只要能找出一个能合理描述动态系统的只要能找出一个能合理描述动态系统的n维状态的某种形式的能量正性函数维状态的某种形式的能量正性函数,通过考察该函数随通过考察该函数随

9、时间推移是否衰减时间推移是否衰减,就可判断系统平衡态的稳定性。就可判断系统平衡态的稳定性。李雅普诺夫第二法(3/3)q 在给出李雅普诺夫稳定性定理之前在给出李雅普诺夫稳定性定理之前,下面先介绍一些下面先介绍一些 数学预备知识数学预备知识,然后介绍一些然后介绍一些 李雅普诺夫稳定性定理的直观意义李雅普诺夫稳定性定理的直观意义,最后介绍最后介绍 李雅普诺夫稳定性定理李雅普诺夫稳定性定理数学预备知识(1/1)1. 数学预备知识数学预备知识q 下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预下面介绍在李雅普诺夫稳定性分析中需应用到的如下数学预备知识备知识: 函数的正定性函数的正定性 二次型函数和对

10、称矩阵的正定性二次型函数和对称矩阵的正定性 矩阵正定性的判别方法矩阵正定性的判别方法实函数的正定性(1/4)函数定号性定义函数定号性定义(1) 实函数的正定性实函数的正定性q 实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。实函数正定性问题亦称为函数定号性问题。 它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正它主要讨论该函数的值在什么条件下恒为正,什么条件下什么条件下恒为负的。恒为负的。 下面先给出下面先给出n维向量维向量x的标量实函数的标量实函数V(x)的正定性定义。的正定性定义。q 定义定义3-5 设设x Rn, 是是Rn中包含原点的一个区域中包含原点的一个区域,若实函数若实函数V(x)对任意对任意n维非零

11、向量维非零向量x都有都有V(x)0;当且仅当当且仅当x=0时时,才有才有V(x)=0, 则称函数则称函数V(x)为区域为区域 上的正定函数。上的正定函数。 实函数的正定性(2/4)函数定号性定义函数定号性定义q 从定义可知从定义可知,所谓正定函数所谓正定函数,即指除零点外恒为正值的标量函即指除零点外恒为正值的标量函数。由正定函数的定义数。由正定函数的定义,我们相应地可定义我们相应地可定义 负定函数、负定函数、 非负定非负定(又称半正定或正半定又称半正定或正半定)函数、函数、 非正定函数非正定函数(又称半负定或负半定又称半负定或负半定)和和 不定函数。不定函数。参看课本参看课本P169实函数的正

12、定性(3/4)函数定号性定义函数定号性定义q 定义定义3-6 设设x Rn, 是是Rn中包含原点的一个区域中包含原点的一个区域,若实函数若实函数V(x)对任意对任意n维非零向量维非零向量x,都有都有V(x)0, Pt0时不恒为零时不恒为零,那么那么 该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将否则将仅是一致稳定而非一致渐近稳定。仅是一致稳定而非一致渐近稳定。 此时此时,随着随着|x| ,有有V(x,t) ,则该系统在原点处的则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。 稳定性定理稳定性定理(1/4

13、)参看课本参看课本P173例例3.6(3) 不稳定性定理不稳定性定理q 定理定理3-6 设系统的状态方程为设系统的状态方程为x=f(x,t),其中其中xe=0为其平衡态。为其平衡态。若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条满足下述条件件:1) V(x,t)为正定的为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;2) 若若V(x,t)为非负定的为非负定的,且对任意的且对任意的t0和任意的和任意的x(t0) 0, V(x,t)在在tt0时不恒为零时不恒为零,那么该平衡态那么该平衡态xe亦是不稳定的。亦是不稳定的

14、。 不稳定性定理不稳定性定理(1/2)q 例例3-7 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。不稳定性定理不稳定性定理(2/2)例例5-7q 解解 显然显然,原点原点(0,0)是给定系统的唯一平衡态是给定系统的唯一平衡态,如果我们选择李如果我们选择李雅普诺夫函数为雅普诺夫函数为2221)(xxVx则则由于由于V(x)非负定非负定,但其只在但其只在x1=0,x2=0时才恒为零时才恒为零,而在其他状态而在其他状态不恒为零不恒为零,因此由因此由定理定理3-6的的2)可知可知,系统的该平衡态为不稳定系统的该平衡态为不稳定的。的。 21221xxxxx0222)(222211 xxxxxV x参看课本参看课本P174例例3.8q 下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结下面将前面讨论的李雅普诺夫稳定性的判定方法作一小结不稳定性定理不稳定性定理(5/2)稳定性定理小结稳定性定理小结 V(x) V(x)结论结论正定正定(0)负定负定(0)半