第5章 测量误差课件

1、5. 测量误差测量误差(measuring error) 基本知识基本知识5.1 测量误差的概念 5.3 观测值的精度评定5.2 评定精度(precision estimation)的标准5.4 误差传播定律5.5 计算示例5.1 5.1 测量误差的概念测量误差的概念 5.1.1 测量误差的定义测量误差的定义5.1.2 测量误差产生的原因测量误差产生的原因 5.1.3 测量误差的分类测量误差的分类 5.1.4 多余观测多余观测(redundant observation) 5.1.5 偶然误差偶然误差(accident error)的统计特性的统计特性 5.1.1 测量误差的定义测量误差的定义

2、对某一客观存在的量进行多次观测，例如往返丈量某段距离或重复观测某一水平角等，其多次测量结果存在着差异，这说明观测值中含有测量误差。 误差误差 错误错误设某一量的真值为X，对此量进行n次观测，得到的观测值为l1，l2，ln，在每次观测中发生的真误差（偶然误差）为1，2，n，则定义： i i=l=li iX X （i=1i=1，2 2， ，n n）（注意：与教材中公式（注意：与教材中公式（5-15-1）的差异。）的差异。）5.1.2 测量误差产生的原因测量误差产生的原因测量中总会存在误差。产生测量误差的原因很多，概括起来有下列三个方面：（一）仪器的原因（一）仪器的原因（二）观测者的原因（二）观测者

3、的原因（三）外界环境的影响（三）外界环境的影响测量仪器的构造误差以及仪器校正不完善都会对测量结果产生影响。如经纬仪度盘分划误差会对所测角度产生影响，水准仪的视准轴不平行于水准管轴的残余误差也会对高差产生影响。由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以对仪器的各项操作，如经纬仪对中、整平、瞄准、读数等方面都会产生误差。此外，观测者的技术熟练程度也会对观测成果带来不同程度的影响。测量时所处的外界环境的温度、风力、日光、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。例如温度变化、日光照射都会使钢尺产生伸缩，风吹和日光照射会使仪器的安置不稳定，大气折光使瞄准产生偏差等。等精度观测等精度观

4、测(equal precision observation) 由于受上述条件的影响，测量中的误差是不可避免的。我们把观测者观测者、观测仪器观测仪器及外界环境外界环境称为测量工作的观测条件观测条件。观测条件都相同的各次观测称为等精度观测等精度观测。观测条件不相同的各次观测称为不等精度观测不等精度观测。例：例：某同学在某时间段内测量AB间水平距离五次，分别测得 ： (1)110.010m，(2)110.005m，(3)110.000m ，(4)109.995m，(5)109.990m 。问：此五次数据中哪个数据的精度最高？答：同样高，等精度观测！同样高，等精度观测！5.1.3 测量误差的分类测量误

5、差的分类Systematic errorAccident error定义定义相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。分类分类系统误差系统误差偶然误差偶然误差例：系统误差例：偶然误差5.1.3 测量误差的分类测量误差的分类分类分类系统误差系统误差偶然误差偶然误差定义定义相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。相同观测条件下对某一量进行一系列观测

6、，若误差出现的符号和数值大小均不一致，表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。区别区别积聚性抵偿性可预知性不可预知性系统误差系统误差偶然误差偶然误差举例举例量距时的尺长误差量距时的读数误差120m -20mm20m -18mm220m -20mm20m +19mm320m -20mm20m -8mm420m -20mm20m-12mm520m -20mm20m -17mm620m -20mm20m +10mm720m -20mm20m +11mm820m -20mm20m +7mm例3.160m -160mm160m -8mm5.1.3 测量误差的分类测量误差的分类分类分类系统误差系统误差偶然误

7、差偶然误差定义定义相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差的出现在符号和数值上均相同，或按一定规律变化，这种误差称为系统误差。相同观测条件下对某一量进行一系列观测，若误差出现的符号和数值大小均不一致，表面上没有规律，这种误差称为偶然误差。区别区别 积聚性； 可预知性。 抵偿性； 不可预知性。举例举例i角误差i角误差读数误差读数误差横轴误差对中误差横轴误差瞄准误差瞄准误差尺长误差尺长误差对中误差瞄错目标 系统误差系统误差(systemic error)系统误差对观测值的影响具有一定的规律性，因此这种影响可用一定的措施加以消除或减弱。常见措施有：（1）精确检验校正仪器设备；（2）计算改正；（3

8、）采用对称观测的方法。偶然误差偶然误差测量误差理论主要是讨论具有偶然误差的一系列观测值中如何求得最可靠的结果和评定观测成果的精度。为此需要对偶然误差的性质作进一步的讨论。5.1.4 多余观测多余观测 (redundant observation) 为了防止错误的发生和提高观测成果的质量，在测量工作中一般要进行多于必要的观测，称为多余观测多余观测。例如一段距离采用往返丈量，如果往测属于必要观测，则返测就属于多余观测；如对一个水平角观测了6个测回，如果第一个测回属于必要观测，则其余5个测回就属于多余观测；又例如一个平面三角形的水平角观测，其中两个角属于必要观测，第三个角属于多余观测。有了多余观测可

9、以发现观测值中的错误，以便将其剔除或重测。由于观测值中的偶然误差不可避免，有了多余观测，观测值之间必然产生差值(不符值、闭合差)。根据差值的大小可以评定测量的精度(精确程度)，差值如果大到一定的程度，就认为观测值中有错误(不属于偶然误差)，称为误差超限。差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为闭合差的调整，以求得最可靠的数值。5.1.5 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 偶然误差i i=l=li iX X （i=1i=1，2 2， ，n n）对于某个偶然误差来说，其符号的正负和数值的大小没有任何规律性，但就大量的偶然误差数据而言，则具有一定的统计规律。例：在某相同的观测条件下，对某

10、个三角形的内角进行若干次观测，其内角和的误差出现的区间及频率如下表。误差区间dD负误差正误差kk/nkk/n0 2470.129460.1262 4420.115410.1124 6320.088340.0936 8220.060220.0608 10160.044180.05010 12120.033140.03912 1460.01670.01914 1630.00830.00816以上00.00000.000 1800.4931850.5075.1.5 偶然误差的统计特性偶然误差的统计特性 ：(1)在一定观测条件下的有限次观测中，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值；有界性单峰性对称性抵偿

11、性(4) 当观测次数无限增大时，偶然误差的理论平均值趋近于零，即偶然误差具有抵偿性。用公式表示：式中 表示取括号中数值的代表和，即： =1+2+.+n ；（n为的个数） 0limnn(2) 绝对值较小的误差出现频率大，绝对值较大的误差出现的频率小；(3) 绝对值相等的正、负误差具有大致相等的频率；偶然误差的统计规律实质是呈正态分布的密度函数，其数学方程式为：22221)(efy式中：=3.1415926；e=2.7183为自然对数的底；为标准差；标准差的平方2称为方差。nDnlim5.2 评定精度的标准5.2.1 中误差中误差(mean square error)m 5.2.2 相对误差相对误

12、差(relative error)K5.2.3 极限误差极限误差(limit error)容5.2.1 中误差(mean square error)m（一）中误差（一）中误差m的定义的定义 中误差m是按有限次观测的偶然误差（真误差）求得的标准差，即：nm例：两同学对三角形内角和进行观测，各观测5次，其结果分别见下表：序号AB观测值liii2观测值liii211800009 981180001818 32421800003391800006636318000000018000000041795957-391795954-63651795951-9811795942-18 324mi2=180,n

13、=5,m=6 i2=720,n=5,m=12 指数函数f()中，当=0时，m越小，峰值越高，说明观测值越集中，出现大误差值的几率越小，测量精度也越高！m21)f(max（二）关于中误差（二）关于中误差m的说明：的说明：m值越小，测量精度越高；1. 公式nm表示中误差m为标准差的估计值，但此计算公式也不是m的实用计算公式，通常m的计算公式采用3. m有“”符号，通常取两位有效数字，只进不舍。 1nvvm5.2.2 相对误差(relative error) （一）定义：（一）定义：当某些观测质量不能用中误差来表达时，用观测值的中误差绝对值与观测值之比化为1/M的形式来评价观测质量，称为相对中误差。

14、mDDmK1例题：例题：用钢尺丈量200m及80m两段距离，观测值的中误差分别是40mm和20mm，哪个精度高？前者的相对误差为0.04/200=1/5000，而后者相对误差为0.02/80=1/4000。前者精度高于后者。（二）关于相对误差（二）关于相对误差K的说明：的说明：K的分母越大（K值越小），测量精度越高；相对误差K通常仅在评价距离的测量精度时采用，在测高和测角时并不采用；1. K须化为分子为1的分数形式，且分母通常取整100，只舍不进。5.2.3 极限误差(limit error)根据偶然误差正态分布的密度函数，可以计算出偶然误差的绝对值大于2倍中误差的约占误差总数的5%，而大于3

15、倍中误差的仅占误差总数的0.3%。因此以2倍或3倍中误差作为容许的误差的极限，称为容许误差容许误差或称极限极限误差误差： 容=2m 或 容=3m前者要求较严，而后者要求较宽。测量中出现的误差如果大于容许值，是不正常的，即认为观测值中存在错误，该观测值应该放弃或重测。5.3 观测值的精度评定5.3.1 算术平均值算术平均值(arithmetic mean)x5.3.2 观测观测值的改正数值的改正数(correction)v5.3.3 按按观测观测值的改正数计算中误差值的改正数计算中误差5.3.1 算术平均值(arithmetic mean) x1. 定义：定义：设对某未知量进行n次等精度观测，其

16、观测值分别为l1，l2， . ， l n，对这些观测值取算术平均值x作为该未知量的最可靠的数值，又称最或然值（最或是值）。即： nlnlllxn.21设某未知量真值为X，各观测值为l1，l2，.，l n，其对应真误差为1，2，.，n，则：XlXlXlnn2211 XxXnln2. 证明：证明：则有，n ，x X，所以称算术平均值x为真值X的最可靠值。由偶然误差的特性四，可知：0limnn5.3.2 观测值的改正数(correction)1. 定义：定义：算术平均值与观测值之差，称为观测值的改正数，以v表示，即：nnlxvlxvlxv22112.特点：特点：(1)vi=0 因此，相同观测条件下，

17、一组观测值的改正值之和恒等于零。这一结论可作为计算工作的校核。(2)当当x = l / n， vi vi=min 此式称为“最小二乘原则 ”。5.3.2 按观测值的改正数计算中误差按观测值的改正值计算观测值的中误差：2. 按观测值的改正值计算算术平均值的中误差：1nvvm) 1(nnvvmx设有一般函数： Z = F ( x1，x2，.，x n ) 式中：x1、x2、，x n为可直接观测的相互独立的未知量； Z为不便于直接观测的未知量。5.4 误差传播定律上式即为计算函数中误差的一般形式。应用上式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量。2222222121)()()(nnZmxFmxFmx

18、Fm例例5-15-1对于某一水平角，在同样条件下用J6光学经纬仪进行6次观测，求其算术平均值及观测值的中误差。 计算在下表中进行。在计算算术平均值时，由于各个观测值相互比较接近，因此可令各观测值共同部分为l0，差异部分为l i， 即： l i= l0 + l i （ i = 1，2，.，n）5.5 5.5 计算示例计算示例序号序号观测值观测值li livivi2计算计算x、m、mx178264242-749278263636-11378262424+11121478264545-10100578263030+525678263333+24 l0= 78260021003005362780 nl

19、lx6,300nvv8 .71 nvvm2 .3 nmmx例例5-25-2 在1:500地形图上，量得某线段的平距为 dAB = 51.2 mm 0.2 mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD 。 解： 函数关系为：DAB = 500 dAB = 25 600 mm md = 0.2 mm 。 代入误差传播公式中， 得：mD2 = 5002 md2 = 10000 mD = 100 mm 最后得：DAB = 25.6 0.1 m 例5-35-3 水准测量测站高差计算公式：h = a - b 。已知后视读数误差为 ma= 1 mm；前视读数误差为 mb= 1 mm。计算每测站高差的中误差mh 。 解：h = a - b f1=1； f2=-1 应用误差传播公式（5.27），有：mh2 = 12 ma2 + ( -1 ) 2 mb2 = 2 最后得：mh= 1.41 mm 例5-45-4 对某段距离测量了n次，观测值为l1、l2、ln，所有观测值为相互独立的等精度观测值，观测值中误差为m，试求其算术平均值x的中误差Mx。 解：函数关系式为： 根据误差传播定律有： 由此看出，n次等精度直接观测值的算术平均值的中误差，为观测值中误差的1/nlllxn.21nmmnmnmnm