简单的线性规划问题(一)

1、 在现实生产、生活中经常会遇到资源利用、在现实生产、生活中经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题人力调配、生产安排等问题. . 这类问题在数学中这类问题在数学中将其归为线性规划问题将其归为线性规划问题. . 线性规划是利用数学为工具，来研究一定的线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益济效益. . 它是数学规划中理论较完整、方法较成它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支熟、应用较广泛的一个分支, ,

2、并能解决科学研究、并能解决科学研究、工程设计、经常管理等许多方面的实际问题工程设计、经常管理等许多方面的实际问题. . 某工厂用某工厂用A,B两种配件生产甲两种配件生产甲, ,乙两种产品乙两种产品, ,每生产一件甲种产品使用每生产一件甲种产品使用4个个A配件耗时配件耗时1h,每每生产一件乙种产品使用生产一件乙种产品使用4个个B配件耗时配件耗时2h,该厂该厂每天最多可从配件厂获得每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件配件, ,按每天工作按每天工作8小时小时计算计算, ,该厂所有可能的该厂所有可能的日生产安排是什么日生产安排是什么? 若生产若生产1件甲种产品获利件甲种产品获利2

3、万元万元,生产生产1 件乙件乙 种产品获利种产品获利3万元万元, 采用哪种生产安排利润最采用哪种生产安排利润最 大大?问题提出问题提出32利润利润( (万元万元) )821所需时间所需时间1240B种配件种配件1604A种配件种配件资源限额资源限额 乙产品乙产品 (1件件)甲产品甲产品 (1件件)产品产品消消 耗耗 量量资资 源源把引例的有关数据列表表示如下把引例的有关数据列表表示如下:设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x, y件件, ,数学建模数学建模2841641200 xyxyxy 0 xy4348将上面不等式组表示成平面将上面不等式组表示成平面上的区域上的区域, , 区

4、域内所有坐标区域内所有坐标为整数的点为整数的点P (x,y) 就代表所就代表所有可能的日生产安排有可能的日生产安排, 当点当点P (x, y)在上述平面区域中在上述平面区域中时所时所安排的生产任务安排的生产任务x, y都是有意义的都是有意义的.设甲设甲, ,乙两种产品分别生产乙两种产品分别生产x, y件件, ,由己知条件可得由己知条件可得:问题：问题：求利润求利润2x+3y的最大值的最大值.28xy4x 3y 若设利润为若设利润为z,则则z=2x+3y,这样上述问题转化为这样上述问题转化为:当当x,y在满足上述约束条件时在满足上述约束条件时,z的最大值为多少的最大值为多少?2223-,-,33

5、3,3zzxyyxzy 把把变变形形为为这这是是斜斜率率为为在在 轴轴上上的的截截距距为为 的的直直线线当点当点P在可允许的取值范围变化时在可允许的取值范围变化时,.3zz求求截截距距 的的最最值值 即即可可得得 的的最最值值2841641200 xyxyxy 0 xy4348233zyx M（4，2）142yx 问题：问题：求利润求利润z=2x+3y的最大值的最大值.143224max Z问题解决问题解决2841641200 xyxyxy 象这样关于象这样关于x,y一次不等式组的一次不等式组的约束条件称为约束条件称为线性约束线性约束条件条件z=2x+3y称为称为目标函数目标函数, (因这里目

6、标函因这里目标函数为关于数为关于x, y的一次式的一次式, 又称为又称为线性目线性目标函数标函数)在线性约束下求线性目标函数的最值问题在线性约束下求线性目标函数的最值问题, ,统称统称为为线性规划线性规划满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解(x,y)叫做叫做可行解可行解所有可行解组成的集合叫做所有可行解组成的集合叫做可行域可行域使目标函数使目标函数取得最值取得最值的可行解叫做这个问题的的可行解叫做这个问题的最优解最优解概念形成概念形成2841641200 xyxyxy 133zyx N（2 2，3 3）142yx 即求利润即求利润z=x+3y的最大值的最大值.max23 311zy0 x4

7、3481.上例中若生产一件甲产品获利上例中若生产一件甲产品获利1万元万元,生产一件生产一件乙产品获利乙产品获利3万元万元,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大?变式训练变式训练2. 求求z=2x+y的最大、小值的最大、小值,使使x、y满足约束条件：满足约束条件：11yyxxy3.求求z=3x+5y的最大、小值的最大、小值,使使x、y满足约束条件：满足约束条件：5315153xyyxxyxOyABCy=x x+y=1y=-12x+y=011yyxxyB(-1,-1)C(2,-1)zmin=-3zmax=3 目标函数：目标函数： z=2x+y例例1.营养学家指出，成人良好的日常饮食应该

8、至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg的碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白质的蛋白质, 0.06kg的脂的脂 肪肪.1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物碳水化合物, 0.07kg蛋白质蛋白质, 0.14kg脂肪，花费脂肪，花费28元；而元；而1kg食物食物B含有含有0.105kg碳碳 水化合物水化合物, 0.14kg蛋白质蛋白质, 0.07kg脂肪脂肪, 花费花费21元元.为了为了 满足营养专家指出的日常饮食要求满足营养专家指出的日常饮食要求, 同时使花费最低同时使花费最低, 需要同时食用食物需要同时食用食物A和食物和食物B多少多少kg?规范

9、解答规范解答0 1050 1050 0757750 070 140 0671460 140 070 06147600002821:kg, kg,.,:.xA yBzxyxyxyxyxyxyxxyyzxy解解 设设每每天天食食用用食食物物食食物物总总成成本本为为 依依题题意意有有即即 目目标标函函数数为为,.作作出出以以上上不不等等式式组组所所表表示示的的平平面面区区域域 如如图图中中所所示示的的阴阴影影部部分分17374757671271727374757671Oxy7x+14y=614x+7y=67x+7y=577514761 47 714282128211677min,( , ) .xyx

10、yMzxyz解解方方程程组组得得代代入入得得:AB答答 每每天天食食用用食食物物 约约1 14 43 3g g, ,食食物物 约约5 57 71 1g g, ,能能够够满满足足日日常常饮饮食食要要 求求, ,又又使使花花费费最最低低, ,最最低低成成本本为为1 16 6元元. .282102821:,.lxylMzxy作作直直线线当当移移动动直直线线 过过图图中中的的点点时时取取得得最最小小值值17374757671271727374757671Oxy7x+14y=614x+7y=67x+7y=5M28x+21y=0例例2 . 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A、B B

11、、C C三种规格三种规格, ,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示：示： 钢型钢型A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板2 21 11 1第二种钢板第二种钢板1 12 23 3 今需要今需要A A、B B、C C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为1515、1818、2727块，则截这两种钢板多少张可得所需块，则截这两种钢板多少张可得所需A A、B B、C C三种三种规格成品，且使所用钢板张数最少？规格成品，且使所用钢板张数最少？规格规格解解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x张张,第二种钢板第二种钢板y张张,共

12、需这两种钢共需这两种钢 板共板共z张，根据题意可得：张，根据题意可得：21521832700, ,.xyxyxyzxyxy目目 标标 函函 数数 是是作出以上不等式组所作出以上不等式组所表示的平面区域，如表示的平面区域，如图中所示的阴影部分图中所示的阴影部分.0:, lxylM作作直直线线当当平平移移直直线线 过过图图中中的的点点时时,z,z取取最最小小值值. .x + 2 y = 18277.515180 xy2 x+ y = 15x + 3 y = 27M32718 392155518 3955,(,),( , ),(,).xyMxyx yx yM解解方方程程组组得得但但此此问问题题中中的

13、的最最优优解解中中的的都都是是整整数数, ,所所以以不不是是最最优优解解x + 2 y = 18277.515180 xy2 x+ y = 15x + 3 y = 27C (4,8)B(3,9)M123 94 812 min,( , )( , ),zyxBCz经经过过可可行行域域内内整整点点且且使使 最最小小的的直直线线是是它它经经过过和和它它们们是是最最优优解解. . 12:,.答答 要要截截得得所所需需三三种种规规格格的的钢钢板板 且且使使所所截截两两种种钢钢板板张张数数最最小小的的方方法法有有两两种种, ,第第一一种种截截法法是是第第 一一种种钢钢板板3 3张张, ,第第二二种种钢钢板板

14、张张; ;第第二二种种截截法法是是截截第第一一种种钢钢板板4 4 张张, ,第第二二种种钢钢板板8 8张张. . 两两种种截截法法都都最最少少要要两两种种钢钢板板张张例例3.3.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料, ,生产生产1 1车皮甲车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t.15t.现库现库存磷酸盐存磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合，在此基础上生产这两种混合

15、肥料肥料. .列出满足生产条件的数学关系式列出满足生产条件的数学关系式, ,并画出相应的平并画出相应的平面区域面区域. .若生产若生产1 1车皮甲种肥料，产生的利润为车皮甲种肥料，产生的利润为1000010000元元, ,生产生产1 1车皮的乙种肥料，产生的利润为车皮的乙种肥料，产生的利润为50005000元元, ,计算生产计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？解：设生产甲种肥料解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润车皮，能够产生利润z万万 元元.依题意有依题意有 4101815660 500,.xyx

16、yzxyxy目目 标标 函函 数数 为为作出以上不等式组所表示的平面区域，如图作出以上不等式组所表示的平面区域，如图中所示的阴影部分中所示的阴影部分.xyoM0 50:., lxylMz作作直直线线当当平平移移直直线线 过过图图中中的的点点时时, , 取取最最大大值值. .容易求得容易求得M点的坐标为点的坐标为（2 2，2 2），），则则Zmaxmax3 3答：答：生产甲种、乙种肥料各生产甲种、乙种肥料各2 2车车 皮，能够产生最大利润，最皮，能够产生最大利润，最 大利润为大利润为3 3万元。万元。解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： (3)(3)移移: :在线性目标函数所表示的一组平

17、行线中，利用在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用 平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最 大或最小的直线大或最小的直线; ; (4)(4)求求: :通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； (5)(5)答答: :作出答案作出答案. . (2)(2)画画: :画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；(1)(1)列列: :设变量，列出约束条件和目标函数；设变量，列出约束条件和目标函数；先定先定可行域和平移方向，再找最优解可行域和平移方向，再找最优解. .最优解最优解一般在可行域的一般在可行域的顶点顶点处取得处取得在哪个顶

18、点取得不仅与在哪个顶点取得不仅与B的符号有关的符号有关, ,而且而且 还与直线还与直线 z=Ax+By的的斜率斜率有关有关体验体验方法总结方法总结 某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为分别为30003000元、元、20002000元元, , 甲、乙产品都需要在甲、乙产品都需要在A A、B B两两种设备上加工种设备上加工, ,在每台在每台A A、B B上加工上加工1 1件甲所需工时分别件甲所需工时分别为为1h1h、2h2h，加工，加工1 1件乙所需工时分别为件乙所需工时分别为2h, 1h.A2h, 1h.A、B B两两种设备每月有效使用台时数分别为种设备每月有效使用台时数分别为400h400h和和500h500h。如。如何何安排生产可使收入最大？安排生产可使收入最大？解解设每月生产甲产品设每月生产甲产品x x件，生产乙产品件，生产乙产品y y件，每月收入件，每月收入 为为Z Z千元，目标函数为千元，目标函数为Z Z3x3x2y2y，满足的条件是，满足的条件是x x 2 2 y y