振动力学2简谐振动

1、第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.1 简谐振动简谐振动2.3 瑞利法瑞利法 2.2 能量法能量法2.4 等效刚度系数等效刚度系数2.5 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动l自由振动自由振动受初始扰动激发所致振动，没有受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。外界能量补充。l无阻尼自由振动无阻尼自由振动保守系统，机械能守恒，保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。存在，但可作为某些振动的近似处理。l（有）阻尼自由振动（有）阻尼自由振动非保守系统，衰减，非保守系统，衰减

2、，l本章讨论单自由度的自由振动。本章讨论单自由度的自由振动。2.1 线性系统的线性系统的自由振动自由振动 我们看一个简单的振动模型我们看一个简单的振动模型xxFkx0弹簧质量系统在光滑平面上的振动。弹簧质量系统在光滑平面上的振动。其中其中k刚性系数（产生单位位移刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移复力永远与位移x方向相反。（始终方向相反。（始终指向静平衡位置）指向静平衡位置） 弹簧质量不计；质体弹簧质量不计；质体m m当作刚体（或当作刚体（或一个质点）；并假设弹簧的恢复力与一个质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：变形成正比

3、，即：Fk kx注：注：k的的单位单位N/m 或写成：或写成： 其中常数其中常数C1 ，C2由初始条件确定。由初始条件确定。kxxm 0 kxxm 02xxn 这里令这里令 mkn2 上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：tCtCxnnsincos21由牛顿第二定律：由牛顿第二定律： 设：当设：当t t0 0时时 注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正注：这正是圆频率相同的两个简谐振动，一个用正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。弦、一个为余弦

4、的合成情况，也是一个简谐振动。00,vxxx把初始条件代入上式，可得把初始条件代入上式，可得nvCxC0201,)sin(sincos00tAtvtxxnnnn2020)(nvxA00vxtgn其中其中讨论：讨论： 1 1、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其、单自由度系统的自由振动是个简谐振动，其振幅振幅A A和初相位和初相位由初始条件决定。从这里可以看由初始条件决定。从这里可以看到自由振动最初发生的原因，必须有初位移到自由振动最初发生的原因，必须有初位移x0 0或初或初速度速度v v0 0或两者都有才有振动或两者都有才有振动xAsinAsin( (nt t) )，否，否则则x0 0，无振

5、动无振动（弧度（弧度/秒）秒） 2 2、自由振动的圆频率（或角频率）、自由振动的圆频率（或角频率）mkn 频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把动无关）故把n称为固有频率。一座建筑物，一台机器，称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其一架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重

6、要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。 固有频率的求法：固有频率的求法： a、 mknb、 cngpkgmk其中其中 kpc静伸长（静伸长（cm） g重力加速度（重力加速度（cm/s s2） Pc k 固有（自然）频率及周期为固有（自然）频率及周期为 cnngmkf21212gkmfTcnn221在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象在工程实际中，一些比较简单的振动系统可以抽象为上述单自由度质量为上述单自由度质量- -弹簧系统，而具有相同的动弹簧系统，而具有相同的动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。力学方程和运动规律

7、，书上有些具体例子。 例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.lmyc解：由材料力学知：EJPlc33悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有PkccPk33lEJ物体的振动方程：ylEJym33 033ymlEJy 固有频率：33mlEJn33212mlEJfn 对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即： 2. 2 能

8、量法能量法U系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。功而产生的重力势能。 将具体能量代入（将具体能量代入（2 2）式，化简后可得保守系统的）式，化简后可得保守系统的振动微分方程。振动微分方程。（1 1）式对时间求导：）式对时间求导： 0)(UTdtd（1 1）其中其中 T系统中运动质量所具有的动能系统中运动质量所具有的动能 常数UT（2 2） 我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势能为零，而动能达到最大值能为零，而动能达到最大值T Tmaxmax； T TmaxmaxU Umaxmax (2)

9、(2)对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。频率，有时更为方便。 当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值即动能为零，但势能达到最大值U Umaxmax，我们取之为，我们取之为第二瞬时位置。第二瞬时位置。由（由（1 1）式得：）式得：T Tmaxmax0 00 0U Umaxmax， 即：即：例例2.2-1 2.2-1 一半径一半径r重重W的圆柱体在一个半径为的圆柱体在一个半径为R R的圆柱面的圆柱面内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处内作无滑动滚动。假设在圆

10、柱面最低处O O左右微幅摆动左右微幅摆动为简谐振动，求摆动固有频率。为简谐振动，求摆动固有频率。 转动时，圆柱体绕质心轴转动，转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：由于无滑动，角速度为： 注：注： ）解：设解：设为坐标，圆柱体同时作两为坐标，圆柱体同时作两种运动种运动移动和转动。移动时，移动和转动。移动时，圆柱体质心线位移为圆柱体质心线位移为)(rRv)(1rRrrv00rR(R-r)rrRdtrRddtdRr)()(,线速度为线速度为 )(rR任一瞬时位置，圆柱体动能为：任一瞬时位置，圆柱体动能为： 由由 2222222)(43)(1221)(212121rRgwrRrrgwrR

11、gwImvT注：注： 22rgwI 为圆柱体绕质心的转动惯量为圆柱体绕质心的转动惯量 圆柱体的势能以最低位置圆柱体的势能以最低位置O O为零，在转角为为零，在转角为的瞬时，圆的瞬时，圆柱体质心升高为柱体质心升高为(R(Rr)(1-cos),r)(1-cos),则则U Uw(R-r)(1-cos)w(R-r)(1-cos) 0)(UTdtd得：得： 0sin)()(23)cos1)()(43222 rRwrRgwrRwrRgwdtd对于任一瞬时若对于任一瞬时若 ，则对应无摆动，不是我们所求的。于，则对应无摆动，不是我们所求的。于是必有括号内部分为零，又因微摆动，是必有括号内部分为零，又因微摆动，

12、sinsin，00)(32rRg )(32rRgn故有故有解（解（2 2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率n n，则设，则设 在最低点在最低点O O处势能为零，动能最大处势能为零，动能最大 则则 在摆动到在摆动到maxmax位置时动能为零，势能最大位置时动能为零，势能最大 由由T TmaxmaxU Umaxmax 有：有： )sin(tAn)cos(tAnnAmaxnAmax于是于是 2222max222max)(43)(432121nArRgwrRgwImvT22maxmaxmax)(212)()cos1)(ArRwrRwrRwU2222)(2

13、1)(43ArRwArRgwn则则 )(32rRgn例例2.2-2 2.2-2 杆杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又是无质量刚性杆，静平衡时水平，又知知k0及尺寸及尺寸a，l，质量块，质量块m，求振动微分方程及周期。，求振动微分方程及周期。 解法：解法：设刚性杆，向下有微小设刚性杆，向下有微小转角转角时，时，弹簧伸长弹簧伸长a, ,质量块的位移：质量块的位移： l系统的动能：系统的动能： 221)(lmT 系统的势能：系统的势能： mglkU)(2221021点，注：平衡位置为势能零),2021mglaka平衡时由由 0)(20lamk mBk0almklan0质量块的速度：质量块的速度：

14、 l2021)(akU 0)(UTdtd得得 02kmalT2.32.3瑞利法瑞利法前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较大，忽略它会导致频率偏高。较大，忽略它会导致频率偏高。瑞利瑞利提出，用能量法对提出，用能量法对分布质量系统分布质量系统简化为一个单自简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的频率。虑进去，得到相对准确的频率。具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代

15、入，计动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称作有频率，这种近似计算方法称作瑞利法瑞利法。计算弹簧的等效质量计算弹簧的等效质量 设弹簧的长度为设弹簧的长度为l，假定弹簧的变形与离固定点假定弹簧的变形与离固定点21232201)3(21)3213)(21)(21xmxlllxdlxTl（其中其中m1 1= =l为弹簧质量，则系统总动能为：为弹簧质量，则系统总动能为：2112)3(2121xmmTxmT2max1max)3(21xmmT单位长度质量为单位长度质量为，的距离的距

16、离成正比，弹簧端点的位移为成正比，弹簧端点的位移为x。整个弹簧的动能整个弹簧的动能T T1 1：微元长度微元长度d d的动能：的动能：2)(21lxd我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。弹簧的势能与忽略弹簧质量的情形一样：31mmkn由221kxU 也可导出固有频率。2maxmax21kxU0)(UTdtdmaxmaxUT由或设简谐振动：),sin(tAxnnAxAxmaxmax, 0)3(1kxxmm 222121)3(21kAAmmn得2.4 2.4 等效等效刚性系数刚性系数弹簧刚度系数弹簧刚度系数就是使弹簧产生变形所需要的就是使弹簧产生变形所需要的力力或或力矩力矩研究的振动方向不

17、同，刚度系数也不同研究的振动方向不同，刚度系数也不同 B点沿点沿x方向施加力方向施加力F，位移，位移xB，则，则 AFElxBBxxFk 等效刚度：等效刚度： 任何弹性体都可以看成弹簧任何弹性体都可以看成弹簧 设指定方向的位移为设指定方向的位移为x，所施加的力为，所施加的力为F，则等效刚度系数：，则等效刚度系数： xFk xGElJJA,BOlEAkxB点沿点沿y方向施加力方向施加力P，位移，位移yB，则，则 EJPlyB33ByyPk B点沿点沿y方向的等效刚度：方向的等效刚度： xGElJJA,BOyMGJlBP33lEJ亦称梁的亦称梁的弯曲弯曲刚度刚度 B点绕点绕x轴转动方向施加扭矩轴转

18、动方向施加扭矩M，轴产生转角轴产生转角， 则则 B端：端：B点点绕绕x轴转动方向轴转动方向的等效刚度：的等效刚度： BMklGJ亦称轴的亦称轴的扭转扭转刚度刚度 几个弹性元件联合使用时的等效刚度：几个弹性元件联合使用时的等效刚度：固有频率固有频率 2121212121)11(kkkkPkkPkPkPc)()(21212121kkmkkkkPkgkgcncPk（等效刚度）（等效刚度） Pk1 k2 两弹簧串联两弹簧串联 2121kkkkn个弹簧串联个弹簧串联 niinkkkkk12111111两弹簧并联两弹簧并联( (两弹簧伸长相同两弹簧伸长相同) )解：重量解：重量P P分配在两个弹簧上，分配

19、在两个弹簧上，分别为分别为P1P1，P2P2，则，则 等效刚度等效刚度n个弹簧并联：个弹簧并联：Pkkggcn)(21Pk1 k2 ccckkkkPPP)(21212121kkPkcniinkkkkk121 前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的是自

20、由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的类型。类型。 一、阻尼的分类一、阻尼的分类 2.5 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 2 2、材料阻尼、材料阻尼 3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 其中其中c粘性阻尼系数粘性阻尼系数 当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表现速度的函数：现速度的函数：)(xRR 若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与若物体以较大速度在空气或液体中运动，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质中运动（包括两接触面

21、之间有润滑剂时）可以认为阻尼与动（包括两接触面之间有润滑剂时）可以认为阻尼与速度成正比，即：速度成正比，即： xcR 这种阻尼这种阻尼( (由于阻尼力与速度成正比由于阻尼力与速度成正比) )又称为线又称为线性阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻性阻尼（这种阻尼与介质的粘性有关，故称为粘性阻尼）。它使计算大为简化尼）。它使计算大为简化, ,我们将着重研究这种情况我们将着重研究这种情况，对于非粘性阻尼也得引进等效，对于非粘性阻尼也得引进等效粘性阻尼系数粘性阻尼系数计算。计算。 2 2、材料阻尼、材料阻尼 又称为结构阻尼。在振动过程中物又称为结构阻尼。在振动过程中物体结构材料本身的内摩擦而引

22、起的阻力体结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。在完全弹性材料内，应变与应力的相。在完全弹性材料内，应变与应力的相位相同，所以在反复受力过程中没有能位相同，所以在反复受力过程中没有能量损失。而粘弹性材料内，应变滞后于量损失。而粘弹性材料内，应变滞后于 这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。按这就是通常说的摩擦力，出现在干摩擦之间。按库仑摩擦定律：库仑摩擦定律：R RN N 其中其中摩擦系数，由摩擦系数，由接触面的材料和粗糙程度决定。接触面的材料和粗糙程度决定。3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 0加载卸载应力应力，在反复受力过程中，在反复受力过程中形形成滞后回线，因此要耗成滞后回线，因此要耗散能量，

23、而成为振动的阻尼。散能量，而成为振动的阻尼。二、阻尼振动微分方程二、阻尼振动微分方程 令令 按牛顿第二定律：按牛顿第二定律： 则得标准型单自由度阻尼自由振动的微分方程则得标准型单自由度阻尼自由振动的微分方程 xckxxm 0 xckxxm 0 xmkxmcx kmc2mkn2022xxxnn （1 1） 阻尼比（无量纲数）阻尼比（无量纲数） 其中其中c c阻尼系数（单位：阻尼系数（单位：N Ns/ms/m） xkc0mkxxc 现在求解方程（现在求解方程（1 1），这是一个二阶常系数齐），这是一个二阶常系数齐次微分方程。下面求出方程的通解。次微分方程。下面求出方程的通解。 我们先设我们先设 x

24、=e=eptpt （p p常数）常数） 那么，那么， 代入方程（代入方程（1 1）得：）得： ptpex ptepx2 但但e eptpt00，故有：，故有：（2 2）特征方程特征方程 可见，若可见，若p p是二次代数方程（是二次代数方程（2 2）的一个根，则）的一个根，则e eptpt能能使微分方程（使微分方程（1 1）满足，也就是说，是它的一个特解。）满足，也就是说，是它的一个特解。代数方程（代数方程（2 2）叫做微分方程（）叫做微分方程（1 1）的特征方程。）的特征方程。 0)222nnptPPe（0222nnPP特征方程（特征方程（2 2）的两个根是：）的两个根是： np)1(2可能有

25、三种情况，我们分别讨论之。可能有三种情况，我们分别讨论之。 d是是 阻尼自由振动的角频率。阻尼自由振动的角频率。 1 1、当当 （欠阻尼状态），得两个复数根：（欠阻尼状态），得两个复数根： 1dnniip)1(22, 1nd21tinex)1(12tinex)1(22因此，微分方程（因此，微分方程（1 1）的两个特解是）的两个特解是 由线性齐次微分方程的性质，由线性齐次微分方程的性质，x1 1与与x2 2的线性组的线性组合也是方程（合也是方程（1 1）的解，故）的解，故 22)1()1(21122titinneexxxteeeedttititnddncos2ieeixxxtitinn22)()

26、(2122222teieeedttititnndnsin2 注：做此变换的目的是把微分方程的解写成注：做此变换的目的是把微分方程的解写成实数形式实数形式 这里，我们利用了欧拉公式这里，我们利用了欧拉公式 2cosixixeexieexixix2sin 很容易看出很容易看出x1 1与与x2 2线性无关，由齐次线性线性无关，由齐次线性微分方程通解定律，微分方程通解定律，x1 1与与x2 2的线性组合即方程的线性组合即方程（1 1）的通解，故：）的通解，故： )sincos(tDtCexddtn（3 3） （3 3） 其中其中C，D为待定常数，由初始条件为待定常数，由初始条件 给出给出 00,xx（

27、3 3）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。 ,000 xxxxt 时，有设在）式，得：将条件代入（3dnDCxCx00, dnxxDxC000,)sincos(tDtCexddtn)sin(tAedtn（33） 其中其中 22DCADCtg（3 3）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。 ,000 xxxxt 时，有设在）式，得：将条件代入（3)sincos(,sin00ndAxAx00020020tan,xxxxxxAnddn)sincos(tDtCexddtn其振幅其振幅随着时间随着时间t t的的增长而衰减。增长而衰减。 )sin(tAexdtnA1A2A3Tdtx0 xtnAe00 xt时，由于阻尼的存在由于阻尼的存在nd21对于小阻尼，对于小阻尼，n，如05. 0%125. 0,00125. 1只差TTd周期略有增大周期略有增大TTndd2211122，如3 . 0%5,05. 1只差TTdnd小阻尼时为了表示振幅衰减的为了表示振幅衰减的快慢，取任意两个相快慢，取任意两个相邻振幅之