数列函数的极限

1、第二讲.授课题目（章节）§1.1 数列的极限 §1.3 函数的极限.教学目的与要求1. 理解数列极限与函数极限的概念；明确极限是描述变量的变化趋势；了解极限的定义中的的含义2. 理解极限的性质.教学重点与难点：重点：数列极限与函数极限的概念难点：极限的定义.讲授内容：§1.1数列极限的定义一 列极限的定义定义：设为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数N，使得n>N时,不等式都成立,那么就常数a是数列的极限,或者称数列收敛与a,记为.如果不存在这样的常数a,就说数列没有极限,或者说数列是 发散的,习惯上也说不存在.例1.证明

2、数列2,的极限是1.证:小于任意给定的正数,只要.所以,则当n>N时,就有<,即例2.设证明等比数列的极限是0.证:,因为 要使取自然对数,得,取时,就有.二 敛数列的性质定理1（极限的唯一性）：如果收敛，则它的极限唯一证明用反证法.假设同时有.因为时,不等式都成立.同理,因为时,不等式都成立.取(这式子表示中较大的那个数),则当时,(2)式及(3)式会同时成立.但由(2)式有由(3)式有,这是不可能的.这矛盾证明了本定理的断言.数列的有界性概念定义：对于数列,如果存在着正数M,使得对于一切都满足不等式,则称数列是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列是无界的.定理2（收敛数列的

3、有界性）如果收敛，则数列一定有界定理3：（收敛数列的保号性）如果且a>0（或a<0）那么存在正整数N>0，当n>N时，都有>0（或<0）推论：如果从某项起有0（或0）且子数列的概念：在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序,这样得到的一个数列称为原数列的子数列(或子列).设在数列中,第一次抽取,第二次在后抽取,第三次在后抽取,这样无休止地抽取下去,得到一个数列,这个数列就是的一个子数列.定理4.（收敛数列与其子数列间的关系）如果收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a§1.3 函数的极限一、函数极限的定义1.自变量趋于有限值时

4、函数的极限定义1：设函数的某一去心邻域内有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数A就叫做函数时的极限,记作.例1. 证明证明:这里,函数在点x=1是没有定义的饿，但是函数当是的极限存在或不存在与它并无关系.事实上,约去非零因子x-1，就化为 ，因此，只要取，那么当时，就有所以 单侧极限的概念：上述时函数的极限概念中，x是既从的左侧也从的右侧趋于的.但有时只能或只需考虑x仅从的左侧趋于(记作)的情形,或x仅从的右侧趋于(记作)的情形.在的情形,x在的左侧,.在的定义中,把改为,那么A就叫做函数当时的左极限,记

5、作或.类似的,在的定义中,把改为,那么A就叫做函数当时的右极限,记作或.右极限与左极限统称为单侧极限.解:仿例3可证当时的左极限而右极限,因为左极限和右极限存在但不相等,所以不存在. 2.自变量趋于无穷大时函数的极限定义2：设函数当大于某一正数时有定义.如果存在常数A,对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在着正数X,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式,那么常数A就叫做函数当时的极限,记作或.定义2可简单地表达为:时有.例3:证明证：时，不等式成立.因这个不等式相当于或由此可知,如果取,那么当成立.这就证明了一 数极限的性质：定理1（函数极限的唯一性）：如果存在，则这极限必唯一定

6、理2（函数极限的局部有界性）:如果,那么存在常数M>0和,使得当.证:因为=A,所以取=1,则时,有,记则定理2就获证明.定理3（函数极限的局部保号性）:如果,而且,那么存在常数,使得当时,有).如果=A，而且A>0（或A<0），那么存在常数>0，使得当时，有f (x )>0 ( 或f (x ) <0 )推论：如果在的某去心邻域内而且，那么,定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限存在，为函数f (x)的定义域内任意收敛于的数列，且满足：，那么相应的函数列必收敛，且.小结与提问：小结：极限定义是本讲的难点，必须结合极限的直观描述和集合解释弄懂其本质。要逐步掌握放大法的技巧。提问：思考题