数值分析上机题

1、数值分析上机题目3实验一1根据Matlab语言特点，描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2编写Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。3给定为五对角矩阵(1)选取不同的初始向量及右端面项向量b，给定迭代误差要求，分别用编写的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法程序求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结论。(2)用编写的SOR迭代法程序， 对于(1)所选取的初始向量及右端面项向量b进行求解，松驰系数取1<<2的不同值，在时停止迭代，通过迭代次数分析计算结果并得出你的结

2、论。实验11、 根据MATLAB语言特点，描述Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2、 编写Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。Jacobi迭代法function x1,k=GS_2(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;while norm(x1-x0,1)>10(-7)&k<100 k=k+1; x0=x1; x1=D(L+U)*x0+b);endk=kx=x1

3、Gauss-Seidel迭代法function x1,k=GS_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;while norm(x1-x0,1)>10(-7)&k<100 k=k+1; x0=x1; x1=(D-L)U*x0-Db;endk=kx=x1SOR迭代法function x1,k=SOR_h(A,b)n=length(A);D=diag(diag(A);L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);x1=zeros

4、(n,1);x0=3*ones(n,1);k=0;w=0.96;while norm(x1-x0,1)>10(-7)&k<100 k=k+1; x0=x1; x1=(D-w*U)(1-w)*D+w*L)*x0+w*b);endk=kx=x13、采用Jacobi迭代法，Gauss-Seidel迭代法求解五对角矩阵clear,clcA=diag(3*ones(20,1)+diag(-0.5)*ones(19,1),-1)+diag(-0.5)*ones(19,1),1)+diag(-0.25)*ones(18,1),-2)+diag(-0.25)*ones(18,1),2);b

5、=sum(A')'x1,k1=Jacob_h(A,b)x2,k2=GS_h(A,b)运行结果：两种方法都收敛，k1=27,k2=13。说明Gauss-Seidel迭代速度比Jacobi迭代速率快4、采用SOR迭代法程序对五对角矩阵进行求解clear,clcA=diag(3*ones(20,1)+diag(-0.5)*ones(19,1),-1)+diag(-0.5)*ones(19,1),1)+diag(-0.25)*ones(18,1),-2)+diag(-0.25)*ones(18,1),2);b=sum(A')'x3,k3=SOR_h(A,b)运行结果当w

6、=0.5时，k3=53，当w=0.96时，k3=19，当w=1.1时，k3=14，当w=1.5时，k3=33。该结果说明，当w选取合适时，可以大大加快运算速率。实验二题目： 多项式最小二乘法摘要：对于具体实验时，通常不是先给出函数的解析式，再进行实验，而是通过实验的观察和测量给出离散的一些点，再来求出具体的函数解析式。又因为测量误差的存在，实际真实的解析式曲线并不一定通过测量给出的所有点。最小二乘法是求解这一问题的很好的方法，本实验运用这一方法实现对给定数据的拟合。数学原理：对于给定的测量数据(xi,fi)(i=1,2,，n)，设函数分布为特别的，取为多项式 (j=0, 1,，m)则根据最小二

7、乘法原理，可以构造泛函令 (k=0, 1,，m)则可以得到法方程求该解方程组，则可以得到解，因此可得到数据的最小二乘解程序设计：编写求解多项式拟合的Matlab函数子程序实验要求：用最小二乘法处理下面的实验数据.xi3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出的近似分布图。分别采用一次，二次、五次和偶数次多项式来拟合数据得到相应的拟合多项式，并分别作出它们的曲线图。实验2clcclearn=input('请输入多项式拟合次数：');syms tfor i=1:n f(i)=t(i);endx=3 4 5 6 7 8 9'y=2.01

8、2.98 3.50 5.02 5.47 6.02 7.05'm=length(x);for i=1:m for j=1:nhs=inline(f(j),'t'); A(i,j)=hs(x(i); endendh=ones(m,1);A=h A;A1=A'*A;y1=A'*y;x1=A1y1;f=0;for i=1:n+1 f=f+x1(i)*t(i-1);endplot(x,y,'*');hold on x1=flipud(x1);x2=linspace(min(x),max(x);y2=polyval(x1,x2);tt=poly2st

9、r(x1,'x')text(5,7,0, tt)plot(x2,y2)实验三实验名称：非线性方程组数值求解的Newton类方法试验。实验目的：用Newton类方法求解线性方程组 F(x)=0，理解其解的复杂性、初始点选择策略、减少算法工作量的方法等。实验内容与要求：分别用Newton法用Broyden秩1校正法求解下面非线性方程组 （1） 写出MATLAB源代码；（2） 给出迭代五次以上的结果；（3） 尝试不同的初值，如可取）；（4） 计算两种方法的用时。实验31、2、采用Newton法·¨clear,clcx0=0,0,0'y0=f(x0);yy0

10、=df(x0);x1=x0-yy0y0;k=1;format longwhile norm(x1-x0,1)>10(-5) & k<100 k=k+1; x0=x1; y0=f(x0); yy0=df(x0); x1=x0-yy0y0;endx=x1k=k运行结果：x= 0.499997120040332 -0.007962547035047 -0.523798234912383k =45Broyden 秩1法clear,clcx0=0,0,0'y0=f(x0);A0=df(x0);x1=x0-A0y0;y1=f(x1);k=1;format longwhile n

11、orm(x1-x0,1)>10(-2) & k<100000 k=k+1; g=y1-y0; y=x1-x0; A1=A0+(g-A0*y)/(y'*y)*y' x0=x1; x1=x0-A1y1; A0=A1; y0=f(x0); y1=f(x1);endx=x1k=k运行结果，x = 0.499997036123973 -0.008051039053592 -0.523800456021240k = 53.尝试不同初值。x0=0.1,0.1,0.1采用Newton法·¨x = 0.499997123882459 -0.007958473536348 -0.523798132670848k = 68Broyden 秩1法x = 0.4999970375