数学建模 估计湖中鱼群的数量

1、课程论文首页学院（部）专业数学与应用数学班级学号姓名任课教师课程名称数学建模论文题目估计湖中鱼群的数量成绩评语 签字： 年 月 日复核人意见 签字： 年 月 日估计湖中鱼的数量摘要 本文是针对捕捞湖中鱼群并对鱼群数量进行估计的问题。由于题目当中给出条件有两次从湖中钓出鱼，第一次是给鱼做上记号，而题目就是要从第二次从湖里钓出的x条标有记号的鱼来估计湖中鱼的数量，由于第二次钓出的s条鱼中情况复杂，有可能还没等有标记的和没标记混合时就开始捕捞，就会导致x偏大，而相反的x有可能又会偏小，所以我们必须通过假设，放回湖中的鱼在湖中是分布均匀的，这样就可以保证第二次钓出的带有标记的x条鱼就是个随机变量，从而

2、更加可以达到我们实验的准确性。模型一：之后我们发现x是服从超几何分布，用L(x,N)来表示，则通过使L取到极大值的N来作为估计值，运用概率统计中的极大似然原理，通过比值法最后可求出个极大值，最后可以确定它的估计值为或。模型二：我可以在假设放回湖中有标记的鱼分布是均匀的基础上，认为湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，最后可以直接得到与模型一结果相同的一个结果，即.关键词：数理统计 极大值 比值法一：问题的提出 题中问题可更明确的表示成：第一次从湖中钓出r条鱼进行标记后放回，第二次再从湖中钓出s条鱼，s条鱼中有x条鱼标有记号。问：从两次的捕捞中如何

3、更好地估计湖中鱼群的数量。二：问题的分析 由于鱼群的分布情况十分的复杂，在分布均匀的前提下，可以使用概率论与数理统计的模型，随即运用概率统计中的极大似然原理。所以首先就可以确定其属于超几何分布，写出其公式，之后在通过比值法求比值A的变化可以求出极大值，即可作为所求的估计值。而模型二是直接通过客观的假设，假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同的情况下，直接得出的一个结果三：模型的假设对模型一的假设：必须假设放回湖中的有标记的鱼在湖中的分布是均匀的，即与没标记的鱼混合和分布均匀。除此之外，还须假设1、假设鱼群种类能尽量的简单（避免不同种群的鱼类之间

4、有不和谐行为例如排斥或吸引影响捕捞结果）2、鱼群是健康的（不会因两次捕捞和一次放回而导致死亡等因素而影响结果）对模型二的假设：在以上假设的前提下，还须假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同*符号说明：X:题设条件，表示标记的鱼（X必须为整数）；L（x,N）：表示；L(x,N-1)同理；A(x,N)：二者比值四：模型的建立与求解一：通过假设均匀分布后，x就是个随机变量，它服从超几何分布，所以有.其中x为整数，且,取L（x,N）的极大值为N的估计值，由于直接对N求导考察极值比较困难，我们可以用比值法来研究，讨论L（x,N）到L（x,N-1）的变化，

5、比值A（x,N）=.从式可以看出，当且仅当时，； 而当且仅当时，因此L（x,N）在附近取得极大值，即估计值为或+1，取使得L（x,N）的值更大的一个即可。模型二：在假设均匀分布的前提下，可以更简单的估计出鱼群的数量，就是再假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同，即，从而，取整即和上述模型结果相同。五：模型结果的分析两种模型的结果都相似，而第一种结果比第二种更为准确，因为第一种模型有个范围，是在附近取得极大值，那么它的真实值可以在原来基础上差若干个常数的大小，而第二种结果就只是一个值，刚好在那一点，与实际值的差距比第一种要大。但无论哪种结果，可以

6、肯定的是都与实际结果有一定的差距。六：模型的优缺点与改进方向模型一的优缺点：优点：计算简洁，并且在假设在实际情况中成立的条件下，结果与实际结果应该是无限接近缺点：模型一的大前提就是在放回湖中的鱼是均匀分布于湖中的情况下，而鱼群的移动受种类习性的影响等等，往往实际情况并不会达到均匀分布于湖中，并且还受很多影响，例如环境，水温，食物等都会对鱼群造成影响，更不可能会达到均匀分布。模型二的优缺点：都与模型一类似，而还多了个缺点，在样本容量不够大的情况下，假设湖中整个鱼群中含带有记号的鱼群比例与湖中任意一部分鱼群中含带有记号的鱼群比例完全相同这概率也十分的小改进方向：对于模型一：选择一个安静的水域环境，确保水温食物都在标准条件下，并且还要确保水域里的鱼种类单一，最好用私人渔场进行试验。在把做好记号的鱼放回湖中时，要耐心的等上一段时间，确保刚放进去的带标记鱼能够均匀融入原鱼群中，如若标记明显，可以找清澈的湖水，方便直接用眼观察。而对于模型二：在