随机过程方兆本引言ppt课件

1、吴述金吴述金: 办公室：金统楼3271.1 1.1 引言引言第一章第一章 引引 论论定义定义1.1 1.1 随机过程就是一族随机变量随机过程就是一族随机变量 其中其中t t是参数是参数, ,它属于某个目的集它属于某个目的集T,T, T T称为参数集称为参数集. .),(TttX普通地, t表示时间. 当T=0,1,2,时称随机过程为随机序列.对对X(t)可以这样看可以这样看:随机变量是定义在空间随机变量是定义在空间上的上的,所以是随所以是随 t与与而变化的而变化的.于是可以记为于是可以记为X(t,).当固定一次随机实验当固定一次随机实验,即取定即取定0时时,

2、X(t,0)就是一条样本途径就是一条样本途径.它是它是t的函数的函数; 另一方另一方面面,固定时间固定时间t = t0, X(t0,)就是一个随机变量就是一个随机变量, 其取值随着随机实验的结果而变化其取值随着随机实验的结果而变化, 变化有一定变化有一定的规律的规律,用概率分布来描画用概率分布来描画.随机过程在t时辰的值称为过程所处的形状,形状的全体称为形状空间.按照形状空间不同可分为延续形状和离散形状; 按照参数集T,当T为有限集或可数集那么称为离散参数过程,否那么称为延续参数过程.当T是高维向量时称X(t)为随机场.例例1.1 英国植物学家英国植物学家Brown留意到漂浮在液面上留意到漂浮

3、在液面上的微小粒子不断进展不规那么的运动的微小粒子不断进展不规那么的运动,这种这种运动叫做运动叫做Brown运动运动.它是一个随机过程它是一个随机过程.Brown运动是分子大量随机碰撞的结果. 假设记(xt,yt)为粒子在平面坐标上的位置,那么它是平面上的Brown运动.例例1.2 假设某人在一个直线格子点上假设某人在一个直线格子点上, 从原点出发从原点出发进展行走进展行走, 规那么如下规那么如下: 掷一枚硬币掷一枚硬币, 假设正假设正面向上那么前进一个格子面向上那么前进一个格子; 假设反面向上那假设反面向上那么后退一个格子么后退一个格子. 以以X(t)表示他在表示他在t时辰所在时辰所在的位置

4、的位置, 那么那么X(t)就是一种直线上的随机游就是一种直线上的随机游动动.-2 -1 0 1 2 3例例1.3 到达总机交换台的呼叫次数为到达总机交换台的呼叫次数为Poisson过程过程.每次呼叫是相互独立的每次呼叫是相互独立的,而间隔时间服从指而间隔时间服从指数分布数分布.交换台在同一时间只能接通交换台在同一时间只能接通K个呼个呼叫叫.人们常要了解在某一时辰的排队长度以人们常要了解在某一时辰的排队长度以及呼叫的平均等待时间及呼叫的平均等待时间.这是一种排队模型这是一种排队模型.该模型可以运用于对超市、公交车站的管该模型可以运用于对超市、公交车站的管理或效力研讨。理或效力研讨。例例1.4 流

5、行病学的研讨中有如下模型流行病学的研讨中有如下模型: 在时辰在时辰0时易时易感人群大小为感人群大小为X(0), Y(0)是已受传染的人数是已受传染的人数.假假定易感人群被传染的概率为定易感人群被传染的概率为p, 那么经过一段那么经过一段传染周期后传染周期后(记为单位时间记为单位时间)X(0)中有中有X(1)没有没有染上病而染上病而Y(1)却遭到传染却遭到传染.传染过程不断蔓延传染过程不断蔓延到再没有人会染上这种流行病时停顿到再没有人会染上这种流行病时停顿.于是于是 且当时且当时 有有 X(t), t=1,2,就是以上式为形状转移概率的就是以上式为形状转移概率的Markov过程过程.) 1()(

6、) 1(tYtXtXij jjijiippCitXjtXP)1 ()(|) 1(例例1.5 记记X(t)为时辰为时辰t的商品价钱的商品价钱.假设假设X(t)适宜适宜线性模型线性模型 其中其中 为实参数为实参数, Z(t)为独立同分布的为独立同分布的不可观测的随机变量不可观测的随机变量,那么那么X(t)服从服从ARMA模型模型自回归滑动平均模型自回归滑动平均模型. 这这是在经济预测中非常有用的时间序列模是在经济预测中非常有用的时间序列模型型.)() 1()()()2() 1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk, 有限维分布和数字特征有限维分布和数字特征对于随机过程 , TttX)

7、,(过程的一维均值函数为)()(tXEtX过程的方差函数为)t (XVar) t (2X过程的一维分布为)()(xtXPxFt过程的自相关函数为)()(),(2121tXtXEttrX过程的协方差函数为)()()()()(),(),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX)(,)(),(221121,21xtXxtXPxxFtt对于随机过程 , 其中随机变量 与 的关系有X(t1)与X(t2)的结合分布为TttX),()(1tX)(2tX即过程在t1, t2两个不同时辰值的结合二维分布.自相关函数和协方差函数性质:1. 对称性, 即对任何s, t有),(),(strtsrXX

8、),(),(stRtsRXX2. 非负定性, 即对任何t1, t2,tnT及恣意系数b1, b2,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb)(,)(,)(),(221121,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn对于随机过程 , 其有限维分布族为TttX),( 有限维分布的性质:1. 对称性),(),(21,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2. 相容性),(),(21,1,2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例例1.6 记记Xn为第为第n次独立地扔一枚骰子的结果次独立地扔一枚骰子的结果,那那么么Xn,

9、 n1为一随机过程为一随机过程.参数集参数集T为为1,2,而形状空间为而形状空间为1,2,3,4,5,6.5 . 31XEXEn均值函数为:nmnmnmRX,0,1235),(协方差函数为:任何有限维分布:)()()(),(2121,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)为X1的分布函数. 平稳过程和独立增量过程平稳过程和独立增量过程假设一个随机向量 与另一个随机向量 有一样的结合分布函数,那么称这两个随机向量是同分布的,记为 .),(1nXXX),(1nYYYYXd定义定义1.2 1.2 假设随机过程假设随机过程X(t)X(t)对恣意的对恣意的t1,tnt1,tnT T和任何和任何

10、h h 有有 那么称那么称X(t)X(t)为严厉平稳的为严厉平稳的. .)(,),()(,),(11ndntXtXhtXhtX定义定义1.3 1.3 假设随机过程假设随机过程X(t)X(t)的一切二阶矩存在的一切二阶矩存在, ,并并且且EX(t)=mEX(t)=m及协方差函数及协方差函数RX(t,s)RX(t,s)只与时间只与时间差差t-st-s有关有关, ,那么称那么称X(t)X(t)为宽平稳的或二阶矩为宽平稳的或二阶矩平稳的平稳的. .对于宽平稳过程,由于对-s, t+, RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以记之为RX(t-s).显然对一切t, RX(t)=RX(-t), 即为偶函数

11、.定义定义1.4 1.4 对恣意的对恣意的t1t2tnt1t2tn且且t1,tnt1,tnT,T,假假设随机变量设随机变量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1), X(tn)-X(tn-1), 是相互独立的是相互独立的, ,那么称那么称X(t)X(t)为独立增量过程为独立增量过程. .假设进一步有对恣意的假设进一步有对恣意的t1, t2,t1, t2,那么称那么称X(t)X(t)为平稳独立增量过程为平稳独立增量过程. .)()()()(2211tXhtXtXhtXd例例1.7 设设Zi, i=0,1,2, 是一串独立同分布的随机是一串独立同分布的随机变量变量, 定义定义 那么那么Xn, n0就是独立增量过程就是独立增量过程.普通称普通称Xn为独立和为独立和.niinZX