计算水力学课件

1、Leila for 水文09版权所有 绪论 明渠一维非恒定流的基本方程 有限差分的基本理论 河道水流计算 河网水流计算本课主要内容Leila for 水文09版权所有v 基本假设与定律 六条基本假设 两大基本定律v 基本方程 连续方程 动量方程本 章 要 点v 方程的其他形式 Z，Q为因变量 Q，h为因变量 Q，A为因变量 U，h为因变量 U，Z为因变量v 漫洪滩地的处理 动量校正系数 调蓄滩地宽度Leila for 水文09版权所有1.1. 基本假设与定律基本假设与定律1 1、定床情况，即假设河床高程与时间无关。2 2、断面代表水位，不考虑横比降。3 3、浅水问题，满足静水压力分布规律。4

2、4、水为不可压液体。5 5、河床底坡很小。6 6、恒定流阻力公式仍然适用。基本假设基本假设Leila for 水文09版权所有1.1. 基本假设与定律基本假设与定律 质量守恒定律质量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净质量，等于同时段内控制体的质量增量。基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律基本定律：质量守恒定律、动量守恒定律Leila for 水文09版权所有1.1. 基本假设与定律基本假设与定律 动量守恒定律：动量守恒定律： 单位时间内通过控制面流进控制体的净动量与作用于控制体的外力之矢量和等于同时段内控制体的动量增量。基本定律基本定律动量守恒定律动量守恒定律Leila for 水

3、文09版权所有2.2. 基本方程基本方程lAQqtx圣维南方程组：连续方程、动量方程圣维南方程组：连续方程、动量方程一般情况下：一般情况下：Vx=00flxQhQugAgA SSq VtxxLeila for 水文09版权所有3. 3. 方程的其他形式及问题讨论方程的其他形式及问题讨论v 方程的其他形式 Z，Q为因变量 Q，h为因变量 Q，A为因变量 U，h为因变量 U，Z为因变量v 漫洪滩地的处理 动量校正系数 调蓄滩地宽度不同的研究目的，不同的研究目的，对圣维南方程组的对圣维南方程组的变换形式变换形式问题关键：滩地、主槽一起计算滩地、主槽一起计算Leila for 水文09版权所有v 动量

4、校正系数动量校正系数 漫洪滩地的处理v 调蓄滩地宽度调蓄滩地宽度 反应河道断面流速分布均匀性系数Leila for 水文09版权所有 4. 4. 定解条件及定解问题定解问题：基本方程、定解条件基本方程、定解条件定解条件：初始条件、边界条件初始条件、边界条件定解问题的适定性：解的存在性、唯一性和稳定性。解的存在性、唯一性和稳定性。 定解条件少了： 定解条件多了： 定解条件适当：欠定过定适定Leila for 水文09版权所有 变量变量 在在 所确定的线上为所确定的线上为 常数常数dxdtu 定解条件v 对流方程0uutxdxdt0duudx utxdtdt特征值特征值特征特征线线Leila fo

5、r 水文09版权所有v拟线性双曲型偏微分方程组20QAtxQAQStx 定解条件txUUSJ22012cuuJ12ucucLeila for 水文09版权所有 圣维南方程的定界条件vS-V方程的定解条件12ucuc120012001200急流急流缓缓流流反向急流反向急流Leila for 水文09版权所有 圣维南方程的定界条件及组合情况 缓 流急 流Leila for 水文09版权所有 洪水波的分类描述河道一维水流运动的圣维南方程组：运动波惯性波扩散波 动力波 000fZQBtxQhQugAgASgAStxxLeila for 水文09版权所有 运动波v水位流量之间呈单一关系v下游扰动不影响上

6、游断面v波形传播波峰不变无耗散0fgAS0QhQugAtxgxAS+0fS0SLeila for 水文09版权所有 惯性波v 忽略摩阻项忽略摩阻项v 假定底坡水平假定底坡水平v 棱柱形河道棱柱形河道00gASQhQugAtgASxxf0QhQugAtxxl 不计摩阻损失，波动在传播过程中只有能量的转换，不计摩阻损失，波动在传播过程中只有能量的转换， 无能量损失。无能量损失。Leila for 水文09版权所有 扩散波v 扩散项的存在所以洪水波的波扩散项的存在所以洪水波的波峰会逐渐坦化。峰会逐渐坦化。00fhgAgASgASxQQutx00fhSSxZZMax绳套形水位流量关系绳套形水位流量关系

7、QQMax0011QQShx涨水涨水落水落水Leila for 水文09版权所有v 水位或流量在短期内有大幅度的变化时：水位或流量在短期内有大幅度的变化时： 动力波运动波、惯性波和扩散波是动力波的特殊情况l 感潮河道中的水流运动感潮河道中的水流运动l 闸门启闭引起的水流波动闸门启闭引起的水流波动v这种情况下，动量方程式中的各项均不能忽略，这种情况下，动量方程式中的各项均不能忽略， 这样一种波动称为动力波。这样一种波动称为动力波。动力波是所有波动中最复杂的，只能用完全的圣维南方程组描述。Leila for 水文09版权所有 洪水波的简化方法洪水波的简化方法水库调洪演算v 一般情况下f (Q)的函

8、数关系为非线性，难于用显式表达，故常用图解法或试算法求解。 连续方程式严格满足，并写成差分形式假定水库蓄水量与出流量之间存在一定的函数关系，即V f (Q)Leila for 水文09版权所有v基本假定：基本假定：马斯京根法假定河段槽蓄量假定河段槽蓄量V与与出流量出流量 Q 及入流量及入流量 I之间存在着之间存在着线性关系线性关系 式中式中:K和为经验系数和为经验系数, 且且0 x0.50 x0.5VK x I + (1 x ) Q 洪水波的简化方法洪水波的简化方法马斯京根法连续方程式严格满足 Leila for 水文09版权所有l 差分、差商、差分方程l 截断误差和离散误差l 相容性、收敛性

9、和稳定性l LAX等价定理l 差分方程的数值效应l 逆风效应与逆风格式本 章 要 点Leila for 水文09版权所有 1. 1. 偏导数的差商近似偏导数的差商近似 差分、差商的基本概念 uf x 00limlimxxu xxu xduudxxx 解析函数：导数定义：差 分：差 商：ux、uxLeila for 水文09版权所有v 通过对差商近似点（通过对差商近似点（i i，j j）的）的TaylorTaylor展开，可以分析差商对展开，可以分析差商对偏导近似的精度偏导近似的精度 1. 1. 偏导数的差商近似偏导数的差商近似Taylor展开法展开法例 边界处偏导数的差商近似 对点对点(0,

10、j)(0, j)进行进行TaylorTaylor展开展开 Leila for 水文09版权所有 1. 1. 偏导数的差商近似偏导数的差商近似Taylor展开法展开法Leila for 水文09版权所有 构造构造一阶一阶偏导数的二阶精度的差商近似必须有偏导数的二阶精度的差商近似必须有 2. 2. 偏导数的差商近似偏导数的差商近似Taylor展开法展开法1 12 2 + +2 2 = =1 11 12 2 + +4 4 = =0 01220.5 解 得：可 得： 构造构造二阶二阶偏导数的差商近似必须有偏导数的差商近似必须有1 12 2 + +2 2 = =0 01 12 2 + +4 4 = =

11、2 212 21解 得：可 得：Leila for 水文09版权所有 偏导数用其差商近似来代替 偏微分方程转变为相应的代数方程称之为差分方程。 3. 3. 差分方程差分方程 对流方程 定解条件00001,( )( , )( )txuuCtxtxu x tf xu x tg t ，0Leila for 水文09版权所有 3. 3. 差分方程差分方程定解问题定解问题蛙跳格式ijj-1i+1i-1j+1ijj+1i+1FTFS格式FTBS格式i-1jj+1iFTCS格式i-1ii+1jj+1Leila for 水文09版权所有 3. 3. 差分方程差分方程定解问题定解问题1jiQjiQ11jiQ1j

12、iQjj+1i+1i11111111102jjjjjjjjiiiiiiiiQQQQQQQQutxLeila for 水文09版权所有v 显式格式：由第显式格式：由第j j时间层上的值，可直接算出第时间层上的值，可直接算出第j+1j+1时时间层上的值的格式。间层上的值的格式。v 隐式格式：不能直接从隐式格式：不能直接从j j时间层上值直接解出，需联时间层上值直接解出，需联立求解立求解j+1j+1层上的值的格式。层上的值的格式。 3. 3. 差分方程差分方程定解问题定解问题对同一个定解问题，可以有多种差分格式，多种步长参数来近对同一个定解问题，可以有多种差分格式，多种步长参数来近似，从而也得到若干

13、个差分近似解。那么这些解是否可以都作似，从而也得到若干个差分近似解。那么这些解是否可以都作为原定解问题的近似解？那些解精度高？为什么？为原定解问题的近似解？那些解精度高？为什么？| 相容性、稳定性及收敛性分析Leila for 水文09版权所有 4. 4. 截断误差和相容性截断误差和相容性 以FTBS格式为例 | 等价方程| 截断误差Leila for 水文09版权所有| 相容性是收敛性的必要条件，稳定性与收敛性有一定，稳定性与收敛性有一定的联系。的联系。| LaxLax等价定理阐述等价定理阐述相容性、收敛性和和稳定性三者之间三者之间关系。关系。 7. Lax7. Lax等价定理等价定理Lax

14、等价定理: 对一个适定的线性微分问题线性微分问题及一个与其相容的差分格式相容的差分格式，如果该格式稳定稳定则必收敛，不稳定必不收敛。换言之，若线性微分问题适定，差分格式相容，则稳定性是收敛性的必要和充分的条件。 Leila for 水文09版权所有 6. 6. 稳定性稳定性| von Neumann分析 稳定性| 数值试验Leila for 水文09版权所有 6. 6. 稳定性稳定性 von Neumann稳定性分析0,0( )uuCtxu xf x111jjjiii 定解问题| 误差传播方程| 误差展开成傅氏级数 | G为放大因子 1ik tGe jjikxkkxC e| FTBS格式稳定条

15、件 241sin02k xLeila for 水文09版权所有 6. 6. 稳定性稳定性| 蛙跳格式稳定条件 | FTBS格式稳定条件 | FTCS格式为不稳定 格式 | FTFS格式稳定条件 01221sin1Gk x 10 11 | 马斯京根法稳定条件 00.500.5Leila for 水文09版权所有l 微分方程是描述物理量在是描述物理量在时间时间和和空间空间上的连续变化上的连续变化的规律。的规律。l 差分方程来描述离散化后物理量的变化规律。来描述离散化后物理量的变化规律。l 离散误差离散误差使原系统的物理性质和规律遭到歪曲和破使原系统的物理性质和规律遭到歪曲和破坏的作用称为坏的作用称

16、为数值效应或或离散近似的伪物理效应。l 必须对这些效应有明确的概念，从物理上来考虑数必须对这些效应有明确的概念，从物理上来考虑数值格式的合理性，减少数值效应的影响。值格式的合理性，减少数值效应的影响。 8. 8. 差分方程数值效应差分方程数值效应Leila for 水文09版权所有 8. 8. 差分方程数值效应差分方程数值效应数值耗散与弥散数值耗散与弥散| FTBS格式| FTFS格式| FTCS格式| 蛙跳格式| 马斯京根格式222212,2MxQQQOtxtxx Leila for 水文09版权所有| 物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的不合理现物质的对流输运出现了与波速相反方向传播的

17、不合理现象，称为象，称为“逆风逆风”效应，是一伪物理现象的数值效应。效应，是一伪物理现象的数值效应。 8. 8. 差分方程数值效应差分方程数值效应“逆风逆风”效应效应“逆风”效应采用何种格式还与波速的方向有关，例如潮水河道，则可以采用“逆风”格式| FTCS格式：二阶精度，无条件不稳定的。| FTFS格式：一阶精度，当C为负时采用。| FTBS格式：一阶精度，当C为正时采用。Leila for 水文09版权所有 8. 8. 差分方程数值效应差分方程数值效应“逆风逆风”效应效应“逆风”格式1111102jjjjjjjiiiiiiiuuCuuuutx110jjjjiiiiuuuuCtxF FT T

18、B BS S: :110jjjjiiiiuuuuCtxFTFS :FTFS :1212singjiCLeila for 水文09版权所有课 程 内 容v 蛙跳格式v LAX-Wendroff格式v Abbott隐式格式v Presissmann隐式格式v 四点线性隐格式v 内边界处理Leila for 水文09版权所有Preissmann Preissmann 隐式格式隐式格式nn+1j+1jxt四点线性隐格式 Leila for 水文09版权所有四点线性隐格式离散格式离散连续方程Leila for 水文09版权所有动量方程 四点线性隐格式离散格式离散Leila for 水文09版权所有为书写

19、方便，忽略上标n+1，任一河段差分方程写成：四点线性隐格式离散追赶法求解Leila for 水文09版权所有1、水位边界条件的计算2、流量边界条件的计算3、水位流量关系边界条件的计算000222222LLLLLLQf Zf ZfZZZ追赶法求解Leila for 水文09版权所有 在河道水流计算中，除了外部边界条件外，还可能遇到内部边界条件。| 内部边界条件是指：河道的几何形状的不连续或水力特性的不连续点。例如，集中入流，过水断面突然放大，堰闸过流等等。| 内边界处，圣维南方程组不再适用，必须根据其水力特性作特殊处理。内部边界条件通常包含两个相容条件，即流量的连续性条件和能量守恒条件(或动量守恒条件)。 内边界的处理内边界的处理Leila for 水文09版权所有 内边界的处理内边界的处理ii+1Qi+1Qi断面突变情况QfQiQi+1 xi=0=0面积 Aii+1ZiZi+1ii+1Leila for 水文09版权所有v对于内边界的处理归结于特殊