曲面积分及曲线积分

1、2022-4-301第四章第四章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算四、几何与物理意义四、几何与物理意义五、小结五、小结2022-4-302一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L. sM 匀质之质量匀质之质量分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.),(1 niiiisM 取极限取极限.),(lim10 ni

2、iiisM 近似值近似值精确值精确值2022-4-303二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并并作作和和作作乘乘积积点点个个小小段段上上任任意意取取定定的的一一为为第第又又个个小小段段的的长长度度为为设设第第个个小小段段分分成成把把上上的的点点用用上上有有界界在在函函数数面面内内一一条条光光滑滑曲曲线线弧弧为为设设1.定义定义oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L2022-4-304.),(lim),(,),(,),(,010 niiiiLLsfds

3、yxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的被积函数被积函数积分弧段积分弧段积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 2022-4-3052.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲曲线线积积分分为为上上对对弧弧长长的的在在空空间间曲曲线线弧弧函函数数 ),

4、(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 2022-4-306注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是是分分段段光光滑滑的的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数2022-4-3074.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL

5、2022-4-308三、对弧长曲线积分的计算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上上具具有有一一阶阶连连续续导导数数在在其其中中的的参参数数方方程程为为上上有有定定义义且且连连续续在在曲曲线线弧弧设设2022-4-309注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(. 2而而是是相相互互有有关关的的不不彼彼此此独独立立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL )(ba 2022-4-3010推

6、广推广:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL )(dc 2022-4-3011例例1).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 2022-4-3012例例2.)2, 1()2 , 1(

7、,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsIL解解dyyyI222)2(1 . 0 例例3)20(.,sin,cos:, 的的一一段段其其中中求求kzayaxxyzdsI解解.21222kaka xy42 dkaka222sincos 20I2022-4-3013例例4 . 0,22222zyxazyxdsxI为为圆圆周周其其中中求求解解 由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球面大圆周长球面大圆周长 dsa2022-4-3014四、几何与物理意义,),()1(的的线线密密度度时时表表示示当当Lyx ;),

8、( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处处的的高高时时柱柱面面在在点点上上的的表表示示立立于于当当yxLyxf.),( LdsyxfS柱柱面面面面积积sL),(yxfz 2022-4-3015,)4(轴轴的的转转动动惯惯量量轴轴及及曲曲线线弧弧对对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 2022-4-3016五、小结1.1.对弧长曲线积分的概念对弧长曲线积分的概念2.2.对弧长曲线积分的计算对弧长曲线积分的计算3.3.对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用2022-

9、4-3017思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 2022-4-3018思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的符号永远为正，它表示弧段的长度.2022-4-3019一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二二、 计计算算下

10、下列列求求弧弧长长的的曲曲线线积积分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L为为圆圆周周222ayx , ,直直线线xy 及及x轴轴在在第第一一象象限限内内所所围围成成的的扇扇形形的的整整个个边边界界；练习题练习题2022-4-3020 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20(

11、 t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关于、它关于Z轴的转动轴的转动ZI惯量惯量； 2 2、它的重心、它的重心 . .2022-4-3021练习题答案练习题答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的弧长的弧长L； 3 3、弧长；、弧长； 4 4、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9

12、 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaIz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . .2022-4-3022第二节第二节 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分一、问题的提出一、问题的提出二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念三、对坐标的曲线积分的计算三、对坐标的曲线积分的计算四、小结四、小结2022-4-3023oxyABL一、问题的提出1 nMiM1 iM2M1Mix iy 实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功,:BALjyxQ

13、iyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1jyixMMiiii .ABFW 2022-4-3024求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值近似值精确值精确值,),(),(),(jQiPFiiiiii 取取,),(1iiiiiMMFW .),(),(iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 2022-4-3025二、对坐标的曲线积分的概念,0.)

14、,(,).,;, 2 , 1(),(,),(),(.),(),(,11101111222111时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段如果当各小弧段上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数向光滑曲线弧向光滑曲线弧的一条有的一条有到点到点面内从点面内从点为为设设 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMniMMnLyxMyxMyxMLLyxQyxPBAxoyL1.定义定义2022-4-3026.),(lim),(,(),(,),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二

15、类曲线积分）或称第二类曲线积分）积分积分的曲线的曲线上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧数数则称此极限为函则称此极限为函的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ ,),(),(叫叫做做被被积积函函数数其其中中yxQyxP.叫叫积积分分弧弧段段L2022-4-30272.存在条件：存在条件：.,),(),(第二类曲线积分存在第二类曲线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当LyxQyxP3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.,jdyidxdsjQiPF 其其中中. LdsF2

16、022-4-30284.4.推广推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 2022-4-30295.5.性质性质.,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分分成成如如果果把把则则有有向向曲曲线线弧弧方方向向相相反反的的是是与与是是有有向向曲曲线线弧弧设设,)2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),

17、(),(),(),(2022-4-3030三、对坐标的曲线积分的计算,),(),(, 0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),(22存在存在则曲线积分则曲线积分且且续导数续导数一阶连一阶连为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及在以在以运动到终点运动到终点沿沿的起点的起点从从点点时时到到变变单调地由单调地由当参数当参数的参数方程为的参数方程为续续上有定义且连上有定义且连在曲线弧在曲线弧设设 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytxLLyxQyxP 定理定理2022-4-3031dttttQtttPdyyxQdxyxPL)()(),()()(),(),(),(

18、且且特殊情形特殊情形.)(:)1(baxxyyL，终终点点为为起起点点为为 .)()(,)(,dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则.)(:)2(dcyyxxL，终终点点为为起起点点为为 .),()(),(dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则2022-4-3032.,)()()(:)3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 2022-4-3033(4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设设有有向向平平面面曲曲线线弧

19、弧为为,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos(则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ） 2022-4-3034,),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos(则则 dstA rdA, dsAt可用向量表示可用向量表示，其其中中,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 有向曲线元；有向曲线元；.上上的的投投影影在在向向量量为为向向量量tAAt处处的的

20、单单位位切切向向量量上上点点),(zyx 2022-4-3035例例1.)1 , 1()1, 1(,2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算BAxyLxydxL 解解的的定定积积分分，化化为为对对x)1(.xy OBAOLxydxxydxxydx 1001)(dxxxdxxx 10232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B2022-4-3036的定积分，的定积分，化为对化为对y)2(,2yx ABLxydxxydx 1122)(dyyyy. 11到到从从 y 1142dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B2022-4-3037.)0 ,(

21、)0 ,()2(;)1(,2的的直直线线段段轴轴到到点点沿沿从从点点的的上上半半圆圆周周针针方方向向绕绕行行、圆圆心心为为原原点点、按按逆逆时时半半径径为为为为其其中中计计算算aBxaAaLdxyL 例例2解解,sincos:)1( ayaxL，变变到到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0原原式式 daa)sin(sin22 2022-4-3038)0 ,(aA)0 ,( aB .343a , 0:)2( yL，变到变到从从aax aadx0原式原式. 0 问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. 03a)

22、(cos)cos1(2 d 2022-4-3039例例3).1 , 1(),0 , 1()0 , 0(,)3(;)1 , 1()0 , 0()2(;)1 , 1()0 , 0()1(,2222依依次次是是点点，这这里里有有向向折折线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线的的一一段段弧弧到到上上从从抛抛物物线线为为其其中中计计算算BAOOABBOyxBOxyLdyxxydxL 2xy )0 , 1(A)1 , 1(B解解.)1(的的积积分分化化为为对对 x, 10,:2变变到到从从xxyL 1022)22(dxxxxx原原式式 1034dxx. 1 2022-4-3040) 0 , 1 (A

23、)1 ,1(B2yx .)2(的积分的积分化为对化为对 y,10,:2变到变到从从yyxL 1042)22(dyyyyy原原式式 1045dxy. 1 )0 , 1(A)1 , 1(B)3( ABOAdyxxydxdyxxydx2222原式原式2022-4-3041,上上在在 OA,10, 0变变到到从从xy 1022)002(2dxxxdyxxydxOA. 0 ,上上在在 AB,10, 1变变到到从从yx 102)102(2dyydyxxydxAB. 1 10 原式原式. 1 ) 0 , 1 (A)1 ,1(B问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路

24、径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.2022-4-3042四、小结1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系2022-4-3043思考题思考题 当当曲曲线线L的的参参数数方方程程与与参参数数的的变变化化范范围围给给定定之之后后（例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是是正正常常数数），试试问问如如何何表表示示L的的方方向向（如如L表表示示为为顺顺时时针针方方向向、逆逆时时针针方方向向）？2022-4-3044思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化

25、方向而定.例例如如L：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，L取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到到 0时时，L取取顺顺时时针针方方向向.2022-4-3045一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxQdxyxPL, ,则则 LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxQdxyxPL),(),( dttttQtttP)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于

26、L的的_点点, ,上限上限 对应于对应于L的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题2022-4-3046二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 Lxydx, ,L其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 Lyxdyyxdxyx22)()(, ,L其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其

27、其中中为为有有向向闭闭折折线线ABCD, ,这这里里 的的CBA,依依次次为为点点( (1 1, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,1 1, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,1 1) )； 4 4、 ABCDAyxdydx, ,其其中中ABCDA是是以以)0 , 1(A，)1 , 0(B, , )0 , 1( C, ,)1, 0( D为为顶顶点点的的正正方方形形正正向向边边界界线线 . .2022-4-3047三、三、 设设z轴与重力的方向一致轴与重力的方向一致, ,求质量为求质量为m的质点从位的质点从位置置),(111zyx沿直线移到沿直线移到),(222z

28、yx时重力所作时重力所作的功的功. .四、四、 把对坐标的曲线积分把对坐标的曲线积分 LdyyxQdxyxP),(),(化成化成对弧长的积分对弧长的积分, , L其其中中为为: :1 1、 在在xoy面内沿直线从点面内沿直线从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；2 2、 沿抛物线沿抛物线2xy 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1)(1,1)；3 3、 沿上半圆周沿上半圆周xyx222 从点从点(0,0)(0,0)到点到点(1,1).(1,1).2022-4-3048练习题答案练习题答案一一、1 1、坐坐标标； 2 2、- -1 1； 3 3、起起, ,点点； 4 4、

29、 dzRQdyPdx dsRQP)coscoscos( . .二二、1 1、;23a 2 2、 2； 3 3、21； 4 4、0 0. .三三、 )(, 0 , 012zzmgWmgF . .2022-4-3049四四、1 1、 LdyyxQdxyxP),(),( LdsyxQyxP2),(),(； 2 2、 LdyyxQdxyxP),(),( LdsxyxxQyxP241),(2),(； 3 3、 LdyyxQdxyxP),(),( LdsyxQxyxPxx),()1(),(22. .2022-4-3050第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类

30、二、格林公式二、格林公式三、简单应用三、简单应用2022-4-3051例题：例题：dymyedxmyyexABOx)cos()sin( 解：解： 若直接转换为定积分，计算会有若直接转换为定积分，计算会有很大的困难，现添加线段很大的困难，现添加线段OA,得一封闭得一封闭曲线曲线ABOA，则，则OAB mdxdymdxdymyeyedymyedxmyyeDDxxOAABOAxABOx)coscos()cos()sin(x x2 2+y+y2 2=2x=2xyPxQ 2022-4-3052一、区域连通性的分类一、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域, , 如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线

31、所围成的部分都属于围成的部分都属于D, , 则称则称D为平面单连通区为平面单连通区域域, , 否则称为复连通区域否则称为复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD2022-4-3053 设设闭闭区区域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲线线L围围成成, ,函函数数),(),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数, , 则则有有 LDQdyPdxdxdyyPxQ)( ( (1 1) )其其中中L是是D的的取取正正向向的的边边界界曲曲线线, ,公公式式( (1 1) )叫叫做做格格林林公公式式. .二、格林公式二、格林公式 定理定理1 12022-4-305

32、4连连成成与与由由21LLL组成组成与与由由21LLL(1) (1) 边界曲线边界曲线L L的正向的正向: 当观察者沿边界行走当观察者沿边界行走时时,区域区域D总在他的左边总在他的左边.2LD1L2L1LD是复连通域。是复连通域。可以是单连通域也可以可以是单连通域也可以）（D22022-4-3055),()(),(21bxaxyxyxD 证明证明(1)(1)若区域若区域D既是既是 X型型又是又是 Y型型,即平行于即平行于坐标轴的直线和坐标轴的直线和L至至多交于两点多交于两点.),()(),(21dycyxyyxD yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 202

33、2-4-3056dxxQdydxdyxQyydcD )()(21 dcdcdyyyQdyyyQ),(),(12 CAECBEdyyxQdyyxQ),(),( EACCBEdyyxQdyyxQ),(),( LdyyxQ),(同理可证同理可证 LDdxyxPdxdyyP),(yxo abDcd)(1xy )(2xy ABCE)(2yx )(1yx 两式相加得两式相加得 LDQdyPdxdxdyyPxQ)(2022-4-3057 若若区区域域D由由按按段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线围围成成. .如如图图, ,证明证明(2)(2)L1L2L3LD1D2D3D将将D分成三个既是分成三个既是 X型又是型又是

34、 Y型的区域型的区域1D, ,2D, ,3D. . 321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ2022-4-3058 321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ 321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdx LQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL2022-4-3059GD3L2LFCE1LAB证明证明(3)(3) 若区域不止由一条闭曲若区域不止由一条闭曲线所围成线所围成. .添加直线段添加直线段ABAB, ,CECE. .

35、则则D的边界曲线由的边界曲线由ABAB, ,2L, ,BA,BA,AFC,CEAFC,CE, , 3L, , ECEC及及CGACGA构成构成. .由由(2)知知 DdxdyyPxQ)( CEAFCBALAB2 CGAECLQdyPdx)(3 LQdyPdx 231)(LLLQdyPdx),(32, 1来来说说为为正正方方向向对对DLLL2022-4-3060便便于于记记忆忆形形式式: LDQdyPdxdxdyQPyx.格格林林公公式式的的实实质质: : 建建立立了了沿沿封封闭闭曲曲线线的的积积分分与与二二重重积积分分之之间间的的联联系系.2022-4-3061为顶点的正方形。为顶点的正方形。

36、为以为以计算计算例例)1, 0(),0 , 1()1 , 0(),0 , 1(,1 DCBAABCDyxdydxIABCDA ABCDAABCDAdydxyxdydx1解解0)00( Ddxdy应考虑用格林公式。应考虑用格林公式。较简单，较简单，较复杂，而较复杂，而较繁，较繁，注意：当注意：当yPxQLyxf ),(11 QP，dxdyyPxQID)( ABCD2022-4-3062的的正正向向。为为圆圆周周其其中中：求求例例1)2(,)ln(2222222 yxLdyyxxyxdxyxILOxy)ln(,2222yxxyxQyxP 解解：2222221111yxyyxxyxxyxQ 221y

37、xyyP 内内有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在DQP,dxdyyPxQID)( 则则dxdyD 1. 2022-4-3063例例 3 3 计算计算 LxxdymyedxmyyeI)cos()sin(, ,其中其中L为由点为由点)0 ,(a到点到点)0 , 0(的上半圆周的上半圆周0,22 yaxyx. .解解myemyyeyyPxx cos)sin(yemyexxQxxcos)cos( xyo)0 ,(aAMdxdyyPxQDAMOA )( Ddxdym,82am 0)(000dmedxxaaAO , 0 082 am.82am AMOAAOAOAOLI AMOAAOI2022-4-306

38、422222)(2yxxyyxxQ 22222)(2yxxyyxyP )(yPxQID 0 )(偏导数不存在偏导数不存在不能用格林公式不能用格林公式 LdyyxdxyxaI)()(12解解：yxQyxP , DdxdyI222 a 沿沿逆逆时时针针一一周周。为为圆圆周周其其中中计计算算例例22222,)()(. 4ayxLyxdyyxdxyxL 2022-4-3065取逆时针方向。取逆时针方向。为半径的圆周（为半径的圆周（为中心，为中心，是以点是以点其中其中计算曲线积分计算曲线积分例例),1)0 , 1(,4522 RRLyxydxxdyIL解解： 令令2222,yxxQyxyP , 则则当当

39、022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.常常数数）取取逆逆时时针针方方向向作作小小椭椭圆圆 rcryrxc,2 , 0( ,sincos20422 cLyxydxxdy由格林公式由格林公式 cLyxydxxdyyxydxxdy222244。 Dcdxdyrrydxxdy2122rrr 222 cL2022-4-3066 DdgfyvuDjyvxviyuxugjui vfyxDyxvyxu求求的的边边界界上上有有在在导导数数，又又上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏：在在闭闭区区域域、设设例例, 1,)()(,1),(),(622)()(yvxvuyuxuvgf 解解)(yvu

40、yuvxvuxuv yuvxuv )()(dxdyyuvxuvdgfDD)()( Luvdyuvdx Lydyydx Ddxdy 10 2022-4-3067的的外外法法线线单单位位法法向向量量。为为其其中中为为任任一一固固定定方方向向，则则有有为为封封闭闭曲曲线线，：设设例例lndsnrrll. 0,cos7 xyn bar,0 解解： cos,cosn1,cos,cos00nrnrnr coscosbadsbadsnrll)coscos(,cos bdyadxl LLdsQPQdyPdx)coscos( dsbadsnrll)cos(cos(,cos bdyadyl 0 2022-4-30

41、68较较简简单单）、（、选选择择参参数数化化为为定定积积分分目目前前有有两两种种方方法法：计计算算对对坐坐标标的的曲曲线线积积分分总总结结：LQP1公公式式，化化为为二二重重积积分分较较复复杂杂时时，若若满满足足格格林林、LQP2成立成立、格林公式对平面曲线、格林公式对平面曲线3为为逆逆时时针针方方向向。轴轴正正向向看看去去，从从的的交交线线，与与柱柱面面是是平平面面其其中中计计算算思思考考题题：LzyxzyxLdzyxdyxzdxzyIL12,)3()2()(222222 2022-4-3069xyoL例例 1 1 计计算算 ABxdy,其其中中曲曲线线AB是是半半径径为为r的的圆圆在在第第

42、一一象象限限部部分分.解解 引入辅助曲线引入辅助曲线L,1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分三、简单应用三、简单应用ABDBOABOAL 应应用用格格林林公公式式, xQP , 0 有有2022-4-3070 LDxdydxdy, BOABOAxdyxdyxdy, 0, 0 BOOAxdyxdy由由于于.412rdxdyxdyDAB 2022-4-3071例例 2 2 计计算算 Dydxdye2,其其中中D是是以以)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(BAO为为顶顶点点的的三三角角形形闭闭区区域域.解解 令令2, 0yxeQP ,2. 2. 简化二重积分简化二重积分xyoAB11D则则

43、 2yeyPxQ ,应应用用格格林林公公式式, ,有有 BOABOAyDydyxedxdye22 1022dxxedyxexOAy).1(211 e2022-4-3072格格林林公公式式: LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取取,xQyP 得得 LDydxxdydxdy2闭闭区区域域D的的面面积积 LydxxdyA21.取取, 0 xQP 得得 LxdyA取取, 0, QyP 得得 LydxA3. 3. 计算平面面积计算平面面积2022-4-3073例例3 3 计计算算 Lyxydxxdy22, ,其其中中L为为一一条条无无重重点点, ,分分段段光光滑滑且且不不经经过过原原点点的的连连续续闭

44、闭曲曲线线, ,L的的方方向向为为逆逆时时针针方方向向. .则则当当022 yx时时, , 有有yPyxxyxQ 22222)(.记记L所所围围成成的的闭闭区区域域为为D,解解令令2222,yxxQyxyP ,2022-4-3074L(1) (1) 当当D )0, 0(时时, ,(2) 当当D )0 , 0(时时,1DrlxyoLD由由格格林林公公式式知知 Lyxydxxdy022作作位位于于D内内圆圆周周 222:ryxl ,记记1D由由L和和l所所围围成成,应应用用格格林林公公式式,得得yxo2022-4-3075 lLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222 l

45、Lyxydxxdyyxydxxdy(其其 中中l的的 方方 向向取取逆逆时时针针方方向向).2 (注意格林公式的条件注意格林公式的条件) drrr22222sincos 202022-4-3076曲曲线线AMO由由函函数数, 0,axxaxy 表表示示,例例 4 4 计计算算抛抛物物线线)0()(2 aaxyx与与x轴轴所所围围成成的的面面积积. .解解ONA为直线为直线0 y. LydxxdyA21 AMOONAydxxdyydxxdy2121)0 ,(aANM2022-4-3077 AMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210 .61420adxxaa )0 ,(aAN

46、M2022-4-3078第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、概念的引入一、概念的引入二、对面积的曲面积分的定义二、对面积的曲面积分的定义三、计算法三、计算法四、小结四、小结2022-4-3079一、概念的引入 若若曲曲面面 是是光光滑滑的的, 它它的的面面密密度度为为连连续续函函数数),(zyx , 求求它它的的质质量量.实例实例 所谓曲面光滑所谓曲面光滑即曲面上各点处都即曲面上各点处都有切平面有切平面, ,且当点在且当点在曲面上连续移动时曲面上连续移动时, ,切平面也连续转动切平面也连续转动. .2022-4-3080二、对面积的曲面积分的定义 设设曲曲面面 是是光光滑滑的的, ,

47、函函数数),(zyxf在在 上上有有界界, , 把把 分分成成n小小块块iS （iS 同同时时也也表表示示第第i小小块块曲曲面面的的面面积积）, ,设设点点),(iii 为为iS 上上任任意意取取定定的的点点, ,作作乘乘积积 ),(iiif iS , ,并作和并作和 niiiif1),( iS , , 如果当各小块曲面如果当各小块曲面的直径的最大值的直径的最大值0 时时, , 这和式的极限存在这和式的极限存在, ,则称此极限为函数则称此极限为函数),(zyxf在曲面在曲面 上对面积上对面积的的曲面积分曲面积分或或第一类曲面积分第一类曲面积分. .1.1.定义定义2022-4-3081即即 d

48、Szyxf),(iiiniiSf ),(lim10 记为记为 dSzyxf),(. dSzyxf),( 21),(),(dSzyxfdSzyxf.2.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质则则及及可分为分片光滑的曲面可分为分片光滑的曲面若若,21 叫被积函数，叫被积函数，其中其中),(zyxf.叫叫积积分分曲曲面面 2022-4-3082三、计算法;1),(,22dxdyzzyxzyxfxyDyx dSzyxf),(),(:. 1yxzz 若若曲曲面面则则按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：2022-4-3083;1),(,22dxdzyyzzxyxfxz

49、Dzx dSzyxf),(则则.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：若若曲曲面面则则2.:( , )yy x z若曲面2022-4-3084 计计算算 dszyx)(, 其其中中 为为平平面面5 zy被被柱柱面面2522 yx所所截截得得的的部部分分.例例1 1积分曲面积分曲面 ：yz 5 ,解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy2022-4-3085 dszyx)(故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2rdrrd 5020)cos5(2.2125 dxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,

50、2dxdy 2022-4-3086例例 2 2 计算计算dSxyz |,其中其中 为抛物面为抛物面 22yxz （10 z）.解解依对称性知：依对称性知：被被积积函函数数| xyz关关于于xoz、yoz 坐标面对称坐标面对称轴轴对对称称，关关于于抛抛物物面面zyxz22 有有 14成成立立，(1 为第一卦限部分曲面为第一卦限部分曲面)xyz2022-4-3087dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原原式式dSxyz |dSxyz 14dxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其中其中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx2022-4-3088

51、利利用用极极坐坐标标 trxcos , trysin ,rdrrrttrdt 102222041sincos4 drrrtdt21050412sin22 令令241ru duuu251)41(41 .42015125 2022-4-3089 计计算算 xdS, 其其中中 是是圆圆柱柱面面 122 yx,平平面面2 xz及及0 z所所围围成成的的空空间间立立体体的的表表面面.例例3 32022-4-3090解解 321 其其中中1 ：0 z,2 ：2 xz,3 ：122 yx.投投影影域域1D：122 yx显显然然 011 DxdxdyxdS, 01112 DdxdyxxdS2022-4-309

52、1讨讨论论3 时时, 将将投投影影域域选选在在xoz上上.（注注意意：21xy 分分为为左左、右右两两片片） 3xdS 31xdS 32xdS（左右两片投影相同）（左右两片投影相同） xzDzxdxdzyyx2212xoz2022-4-3092 xzDdxdzxxx22112 1120212xdzdxxx, xdS 00.2022-4-3093 计算计算dSzyx)(222 , 其中其中 为内接于球面为内接于球面2222azyx 的八面体的八面体azyx |表面表面.例例4 4被被积积函函数数 ),(zyxf222zyx ,解解关于坐标面、原点均对称关于坐标面、原点均对称 , 积积分分曲曲面面

53、 也也具具有有对对称称性性 , 故故原原积积分分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)2022-4-30941 ：azyx , 即即yxaz dxdyzzdSyx221 dxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyxdxdyyxayxxyD 3)(8222.324a 2022-4-3095四、小结2对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上对面积的曲面积分的计算是将其化为投影域上的二重积分计算的二重积分计算. （按照曲面的不同情况投影到三（按照曲面的不同情况投影到三坐标面上）坐标面上）1对面积的曲面积分的概念对面积的曲面积分的概念; dSzyxf),(ii

54、iniiSf ),(lim10 注意：一投、二代、三换注意：一投、二代、三换2022-4-3096思考题思考题 在对面积的曲面积分化为二重积分在对面积的曲面积分化为二重积分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 试说明试说明这个因子的几何意义这个因子的几何意义.221yxzz 2022-4-3097思考题解答思考题解答是曲面元的面积是曲面元的面积,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法线与是曲面法线与 轴夹角的余弦轴夹角的余弦的倒数的倒数.z2022-4-3098一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a积为积为, , 则则 ds10_；2

55、2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 设设 为球面为球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,则则 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 为抛物面为抛物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5、 dsyx)(22_, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 及平面及平面1 z所围成的区域的整个边界曲面所围成的区域的整个边界曲面. .练练 习习 题题2022-4-3099二、计算下列对面积的曲面积分二、计算下列对面积的曲面积分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 为平面

56、为平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 为锥面为锥面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求抛物面壳三、求抛物面壳)10)(2122 zyxz的质量的质量, ,此壳此壳的面密度的大小为的面密度的大小为z . .四、求抛物面壳四、求抛物面壳)10()(2122 zyxz的质量，此的质量，此 壳的面密度的大小为壳的面密度的大小为. z 2022-4-30100练习题答案练习题答案一一、1 1、a10； 2 2、22)()(1zxyx ； 3 3、42 a ； 4 4、 10111；

57、5 5、 221 . .二二、1 1、427 ； 2 2、421564a. .三三、6 . .四四、)136(152 . .2022-4-30101第五节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、基本概念一、基本概念二、概念的引入二、概念的引入三、概念及性质三、概念及性质四、计算法四、计算法五、两类曲面积分之间的联系五、两类曲面积分之间的联系六、小结六、小结2022-4-30102一、基本概念观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧2022-4-30103n曲面的分类曲面的分类:1.1.双侧曲面双侧曲面;

58、 ;2.2.单侧曲面单侧曲面. .典典型型双双侧侧曲曲面面2022-4-30104莫比乌斯带莫比乌斯带典型单侧曲面典型单侧曲面:播放播放2022-4-30105曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧. .决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面. .曲面的投影问题曲面的投影问题: :面面在在xoyS ,在有向曲面上取一小块在有向曲面上取一小块.0cos00cos)(0cos)()( 时时当当时时当当时时当当 xyxyxyS.)(表表示示投投影影区区域域的的面面积积其其中中xy 为为上上的的投投影影xyS)( 曲曲面面 S 2022-4-30106二、概念的引入实例

59、实例: : 流向曲面一侧的流量流向曲面一侧的流量. .( (1 1) ) 流流速速场场为为常常向向量量 v, ,有有向向平平面面区区域域A A, ,求求单单位位时时间间流流过过A A的的流流体体的的质质量量 ( (假假定定密密度度为为 1 1) ). .Av0n AAvnvAvA 0cos 流量流量2022-4-30107( (2 2) ) 设设稳稳定定流流动动的的不不可可压压缩缩流流体体( (假假定定密密度度为为 1 1) )的的速速度度场场由由kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),( 给给出出, ,是是速速度度场场中中的的一一片片有有向向曲曲面面, ,函函数数),()

60、,(),(zyxRzyxQzyxP都都在在上上连连续续, , 求求在在单单位位时时间间内内流流向向指指定定侧侧的的流流体体的的质质量量 . .xyzo 2022-4-30108xyzo iS ),(iii ivin 把曲面分成把曲面分成n小块小块is ( (is 同时也代表同时也代表第第i小块曲面的面积小块曲面的面积),),在在is 上任取一点上任取一点),(iii , ,1. 分割分割则该点流速为则该点流速为 .iv法向量为法向量为 .in2022-4-30109该该点点处处曲曲面面的的单单位位法法向向量量kjiniiii coscoscos0 , ,通通过过is 流流向向指指定定侧侧的的流