结构力学——第7章力法课件

1、第 七 章 力 法7-2 超静定次数的确定7-3 力法的基本概念7-4 力法的典型方程7-6 对称性的利用 7-7 超静定结构的位移计算 7-8 最后内力图的校核7-9 温度变化时超静定结构的计算7-10 支座位移时超静定结构的计算7-11 用弹性中心法计算无铰拱7-12 两铰拱及系杆拱7-5 力法的计算步骤和示例7-1 概述7-13 超静定结构的特性 7-1 概述超静定结构：用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。超静定结构：用平衡条件不能确定全部反力和内力的结构。图图a所示梁仅由平衡条件无法确定竖向反力。所示梁仅由平衡条件无法确定竖向反力。其几何构造特征是具有一个多余联系。其几何构造特征是

2、具有一个多余联系。多余未知力多余未知力：多余联系中产生的力。如图：多余联系中产生的力。如图b中的中的X1。可将任一竖向支座链杆作为多余联系。可将任一竖向支座链杆作为多余联系。 图图a所示桁架仅由平衡条件无所示桁架仅由平衡条件无法确定杆件内力。其几何构造特征法确定杆件内力。其几何构造特征是具有两个多余联系。是具有两个多余联系。可将两根斜杆作为多余联系如图可将两根斜杆作为多余联系如图b。常见的超静定结构类型常见的超静定结构类型超静定拱超静定拱7-1 概述超静定刚架超静定刚架超静定桁架超静定桁架求解超静定结构的条件求解超静定结构的条件（1）平衡条件：）平衡条件： 受力状态满足平衡方程受力状态满足平衡

3、方程（2）几何条件：）几何条件： 结构的变形和位移符合支结构的变形和位移符合支 承约束条件和各部件之间承约束条件和各部件之间 的变形连续条件的变形连续条件（3）物理条件：）物理条件： 变形或位移与力之间的物变形或位移与力之间的物 理关系理关系从静力分析看：从静力分析看：超静定次数超静定次数 = 多余未知力的数目多余未知力的数目从几何构造看：从几何构造看：超静定次数超静定次数 = 多余联系的数目多余联系的数目（1）去掉或切断一根链杆，）去掉或切断一根链杆， 相当于去掉一个联系。相当于去掉一个联系。7-2 超静定次数的确定（2）拆开一个单铰，相当于）拆开一个单铰，相当于 去掉两个联系。去掉两个联系

4、。（3）切开一个刚结点，或去掉）切开一个刚结点，或去掉 一个固定端，相当于去掉一个固定端，相当于去掉 三个联系。三个联系。（4）刚结改为单铰联结，相当）刚结改为单铰联结，相当 于去掉一个联系。于去掉一个联系。21次次超超静静定定7-2 超静定次数的确定图图a所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图所示结构，在拆开单铰、切断链杆、切开刚结处后，得到图b所示静定结构所示静定结构6次超静定次超静定同一超静定结构，可以用不同方式去掉多余联系，如图同一超静定结构，可以用不同方式去掉多余联系，如图c、d所示静定结构所示静定结构对于有较多框格的结构，一个封闭无铰的框格，其超静定次数等于对于有较多

5、框格的结构，一个封闭无铰的框格，其超静定次数等于3。16次次超超静静定定9次次超超静静定定7-3 力法的基本概念基本未知量基本未知量多余联系上的多余未知力多余联系上的多余未知力 图图a所示梁是一次超静定结构。把支座所示梁是一次超静定结构。把支座B作为多余联系去掉得到图作为多余联系去掉得到图b中的静定结构。中的静定结构。基本结构基本结构去掉多余联系后得到的去掉多余联系后得到的 静定结构静定结构基本体系基本体系基本结构作用原荷载和基本结构作用原荷载和 多余未知力多余未知力基本体系基本体系 图图c表示表示X1单独作用在基本结构上，单独作用在基本结构上，B点点沿沿X1方向的位移，沿方向的位移，沿X1方

6、向为正。方向为正。 图图d表示荷载表示荷载q单独作用在基本结构上，单独作用在基本结构上，B点沿点沿X1方向的位移。方向的位移。 1= 11 + 1P=0原结构原结构B点沿点沿X1方向的位移方向的位移 1 =0。力法基本方程力法基本方程可写为可写为7-3 力法的基本概念11表示表示X1=1时，时，B点沿点沿X1方向的位移，方向的位移，11= 11X1。 11 + 1P=00P1111 X 绘出基本结构在绘出基本结构在X1=1、荷载、荷载q作用作用下的弯矩图，如图下的弯矩图，如图a、b。EIlllEI332213211EIqlllEI8)231(142P1可得可得)(831qlX叠加法绘弯矩图叠加

7、法绘弯矩图P11MXMM图图a是三次超静定结构，去掉固定支座是三次超静定结构，去掉固定支座A，得如图得如图b所示的基本结构。所示的基本结构。7-4 力法的典型方程位移条件：位移条件：A处不能有任何位移。处不能有任何位移。 1= 0， 2=0， 3=0111321XXX、和和F分别作用于基本结构时分别作用于基本结构时A点沿点沿X1方向的位移分别为方向的位移分别为1P131211、A点沿点沿X2方向的位移分别为方向的位移分别为2P232221、A点沿点沿X3方向的位移分别为方向的位移分别为3P333231、位移条件可写为位移条件可写为000P33332321313P23232221212P1313

8、2121111XXXXXXXXX7-4 力法的典型方程 n次超静定结构，有次超静定结构，有n个多余未知力，有个多余未知力，有n个已知位移条个已知位移条件，可建立件，可建立n个方程。当个方程。当n个已知位移条件都为个已知位移条件都为0时，方程为时，方程为000P2211P2211P111212111nnnnininnininiiiiinniiXXXXXXXXXXXX力法典型方程力法典型方程ii主系数，恒大于主系数，恒大于0。ij副系数，副系数，jiijPi自由项自由项柔度系数柔度系数柔度方程柔度方程图图a所示刚架为两次超静定，去掉铰支座所示刚架为两次超静定，去掉铰支座B，得基本体系如图，得基本体

9、系如图b 7-5 力法的计算步骤和示例基本体系基本体系由由B点的位移条件，建立力法典型方程为点的位移条件，建立力法典型方程为00P2222121P1212111XXXX求系数和自由项求系数和自由项7-5 力法的计算步骤和示例132111632221EIaaaEI1321212265322121EIaaaEIaaEI132121124221EIaaEI131P196565)2221(21EIFaaaFaEI131P216)2221(21EIFaaaFaEI代入典型方程解得代入典型方程解得88311421FXFX，叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图P22111MXMXMM 在荷载作用下，超静定结构的内力

10、只与各杆的刚度相对值在荷载作用下，超静定结构的内力只与各杆的刚度相对值有关，与其刚度绝对值无关。同一材料组成的结构，内力与材有关，与其刚度绝对值无关。同一材料组成的结构，内力与材料性质无关。料性质无关。力法的计算步骤力法的计算步骤（1）确定超静定次数，去掉多余联系，得到静定的基本结构，）确定超静定次数，去掉多余联系，得到静定的基本结构， 以多余未知力代替相应多余联系。以多余未知力代替相应多余联系。（2）根据多余联系处的位移条件，建立力法的典型方程。）根据多余联系处的位移条件，建立力法的典型方程。（3）作基本结构各单位内力图和荷载内力图，）作基本结构各单位内力图和荷载内力图， 计算系数和自由项。

11、计算系数和自由项。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡条件或叠加法求得最后内力。）由平衡条件或叠加法求得最后内力。7-5 力法的计算步骤和示例例例7-1 试试分析图分析图a所示两端固定梁所示两端固定梁。EI=常数。常数。解：取简支梁为基本结构，基本体系如图解：取简支梁为基本结构，基本体系如图b所示。所示。 7-5 力法的计算步骤和示例基本体系基本体系典型方程为典型方程为 000P3333232131P2323222121P1313212111XXXXXXXXX各弯矩图如图各弯矩图如图c、d、e、f 。 000NPN2N1S33FFFFM，因因故故

12、0003P32233113，033EAl03X0333X可得可得 两端固定的梁在垂直于梁轴线两端固定的梁在垂直于梁轴线的荷载作用下，不产生水平反力。的荷载作用下，不产生水平反力。典型方程变为典型方程变为7-5 力法的计算步骤和示例00P2222121P1212111XXXX求各系数和自由项（只考虑弯矩影响）求各系数和自由项（只考虑弯矩影响）EIlblFablblllFabEI6)(3)21(1P1EIlalFab6)(P2EIlEIlEIl63321122211，代入典型方程解得代入典型方程解得222221lbFaXlFabX，最后弯矩图如下图最后弯矩图如下图7-5 力法的计算步骤和示例例例7

13、-2 试试用力法计算图用力法计算图a所示超静定桁架的内力所示超静定桁架的内力。设各杆设各杆EA相同。相同。解：这是一次超静定结构，解：这是一次超静定结构，切断上弦杆用切断上弦杆用X1 代替代替，基本体系如图，基本体系如图b所示。所示。 基本体系基本体系位移条件：杆件切口两侧轴向相对位移为位移条件：杆件切口两侧轴向相对位移为0。0P1111 X典型方程为典型方程为各内力图如图各内力图如图c、d。 FaEAaEA1P11，)223(2231FX7-5 力法的计算步骤和示例NP1N1NFXFF各杆最后内力按叠加法计算如图。各杆最后内力按叠加法计算如图。也可也可将上弦杆去掉用将上弦杆去掉用X1代替代替

14、，基本体系如图，基本体系如图a所示。所示。 EAaXX21P1111典型方程为典型方程为典型方程的物理意义：基本结构在典型方程的物理意义：基本结构在F和和X1共同作用下，结点共同作用下，结点3、4 所产生的水平相对线位移等于原结构的所产生的水平相对线位移等于原结构的 相对线位移。相对线位移。 注意：系数注意：系数11中不包含中不包含34杆件。杆件。 7-5 力法的计算步骤和示例例例7-3 图图a为一加劲梁，横梁为一加劲梁，横梁I=110-4m4，链杆，链杆A=110-3m2， E=常数。试求梁的弯矩图和各杆的轴力，并讨论改变链常数。试求梁的弯矩图和各杆的轴力，并讨论改变链 杆截面杆截面A时的内

15、力变化。时的内力变化。解：这是一次超静定组合结构，切断竖向链杆解：这是一次超静定组合结构，切断竖向链杆 用用X1代替，基本体系如图代替，基本体系如图b所示。所示。 基本体系基本体系位移条件：切口处相对轴向位移为位移条件：切口处相对轴向位移为0。 0P1111 X典型方程为典型方程为各内力图如图各内力图如图c、d。梁只计弯矩影响。梁只计弯矩影响。 7-5 力法的计算步骤和示例EEAlFFEIsMMEEAlFEIsMkN/m10333. 5dm10189. 1d6NP1NP11P-1521N2111由位移计算公式由位移计算公式 解得解得 kN9 .441X最后内力最后内力 NP1N1NP11FXF

16、FMXMM梁的弯矩、各杆轴力如图梁的弯矩、各杆轴力如图e。 与没有链杆时比较最大弯矩值减少了与没有链杆时比较最大弯矩值减少了80.7% 7-5 力法的计算步骤和示例EAlFFEIsMMEAlFEIsMNP1NP11P21N2111dd由位移计算公式由位移计算公式 A减小时：减小时：11增大，增大，X1绝对值减小，梁的正弯矩值增大负弯绝对值减小，梁的正弯矩值增大负弯 矩值减小。矩值减小。 A0时：梁的弯矩图与简支梁弯矩时：梁的弯矩图与简支梁弯矩 图相同。图相同。 A增大时：梁的正弯矩值减小负弯矩增大时：梁的正弯矩值减小负弯矩 值增大。值增大。 A时：梁的中点相当于有一刚性支时：梁的中点相当于有一

17、刚性支 座，梁的弯矩图与两跨连续座，梁的弯矩图与两跨连续 梁的弯矩图相同。如图梁的弯矩图相同。如图f。 7-5 力法的计算步骤和示例例例7-4 图图a所示为装配式钢筋混凝土单跨单层厂房排架结构的计所示为装配式钢筋混凝土单跨单层厂房排架结构的计 算简图，其中左、右柱为阶梯形变截面杆件，横梁为算简图，其中左、右柱为阶梯形变截面杆件，横梁为 EA=的二力杆。试用力法求其弯矩图。竖杆的二力杆。试用力法求其弯矩图。竖杆E为常数。为常数。解：排架为一次超静定结构，切断二力杆解：排架为一次超静定结构，切断二力杆 用用X1代替，基本体系如图代替，基本体系如图b所示。所示。 基本体系基本体系0P1111 X典型

18、方程为典型方程为各内力图如图各内力图如图c、d。7-5 力法的计算步骤和示例计算系数和自由项。计算系数和自由项。EIl275311EIql216741P解得解得qlX4071弯矩图如图弯矩图如图e。 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图P11MXMM7-6 对称性的利用对称的意义对称的意义：（：（1）结构的几何形状和支承情况对称）结构的几何形状和支承情况对称 （2）各杆的刚度（）各杆的刚度（EI、EA等）也对称等）也对称 图图a为一对称结构，有一个对称轴。为一对称结构，有一个对称轴。将对称轴穿过的截面切开，得到一个对称的将对称轴穿过的截面切开，得到一个对称的基本结构如图基本结构如图b。正对称的力：对称

19、轴两侧的力大小相等，沿正对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿 对称轴对折后作用点和作用线对称轴对折后作用点和作用线 重合且指向相同。重合且指向相同。反对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿反对称的力：对称轴两侧的力大小相等，沿 对称轴对折后作用点和作用线对称轴对折后作用点和作用线 重合且指向相反。重合且指向相反。X1、X2是正对称的，是正对称的，X3是反对称的。是反对称的。1、选取对称的基本结构、选取对称的基本结构7-6 对称性的利用绘出基本结构各单位弯矩图如图绘出基本结构各单位弯矩图如图a、b、c。 图图a、b是正对称的，图是正对称的，图c是反对称的。是反对称的。 可得可得 00，323231

20、31典型方程简化为典型方程简化为 000P3333P2222121P1212111XXXXX只包含正对称的只包含正对称的X1、X2 只包含反对称的只包含反对称的X37-6 对称性的利用当结构作用正对称荷载时，如图当结构作用正对称荷载时，如图a。 MP图是正对称的，如图图是正对称的，如图b。 0P303X 只存在正对称的只存在正对称的X1、X2，最后，最后弯矩图是正对称的，形状如图弯矩图是正对称的，形状如图c。 注意：剪力图是反对称的。注意：剪力图是反对称的。 7-6 对称性的利用当结构作用反对称荷载时，如图当结构作用反对称荷载时，如图a。 MP图是反对称的，如图图是反对称的，如图b。 002P

21、P1，0021XX， 只存在反对称的只存在反对称的X3，最后弯矩，最后弯矩图是反对称的，形状如图图是反对称的，形状如图c。 注意：剪力图是正对称的。注意：剪力图是正对称的。 7-6 对称性的利用对称结构在正对称荷载作用下：对称结构在正对称荷载作用下：弯矩图和轴力图是正对称的，弯矩图和轴力图是正对称的， 剪力图是反对称的；剪力图是反对称的； 反力与位移是正对称的。反力与位移是正对称的。 对称结构在反对称荷载作用下：对称结构在反对称荷载作用下：弯矩图和轴力图是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力图是正对称的；剪力图是正对称的；反力与位移是反对称的。反力与位移是反对称的。 7-6 对称性的利用例

22、例7-5 试分析图试分析图a所示刚架。设所示刚架。设EI=常数。常数。解：荷载是反对称的，只有反对称的多余未知力，解：荷载是反对称的，只有反对称的多余未知力， 取对称的基本体系如图取对称的基本体系如图b。基基本本体体系系作各弯矩图如图作各弯矩图如图c、d。7-6 对称性的利用由图乘法由图乘法311m1442m3m6m32m)2m3m321(EImkN18002mkN80m3m321mkN30m6m3(1PEI代入典型方程代入典型方程kN5 .121X叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图P11MXMM2、未知力分组及荷载分组、未知力分组及荷载分组7-6 对称性的利用图图a所示对称刚架作用非对称荷载。所示

23、对称刚架作用非对称荷载。基本体系如图基本体系如图b。基本体系基本体系为利用对称性，将未知力进行分组。为利用对称性，将未知力进行分组。212211YYXYYX，或或22212211XXYXXY，Y1为一对正对称的未知力组。为一对正对称的未知力组。Y2为一对反对称的未知力组。为一对反对称的未知力组。7-6 对称性的利用将求解未知力将求解未知力X1、X2的问题转变为求解两对未知力组的问题转变为求解两对未知力组Y1、Y2。如图。如图a。作作Y1=1、 Y2=1的弯矩图，如图的弯矩图，如图b、c。图图b为正对称的、图为正对称的、图c为反对称的。为反对称的。02112典型方程简化为典型方程简化为 00P2

24、222P1111YY Y1、 Y2为广义力，典型方程的物理意义也为广义力，典型方程的物理意义也转变为相应的广义位移条件。转变为相应的广义位移条件。第一式代表第一式代表A、B两点同方向的竖向位移之和为两点同方向的竖向位移之和为0。第二式代表第二式代表A、B两点反方向的竖向位移之和为两点反方向的竖向位移之和为0。7-6 对称性的利用 对称结构作用一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、对称结构作用一般非对称荷载时，可以将荷载分解为正、反对称两组，如下图。反对称两组，如下图。正对称荷载作用只有正对称的多余未知力，正对称荷载作用只有正对称的多余未知力，反对称荷载作用只有反对称的多余未知力，反对称荷载作用

25、只有反对称的多余未知力，两者叠加即为原结构的解。两者叠加即为原结构的解。3、取一半结构计算（利用对称性）、取一半结构计算（利用对称性）7-6 对称性的利用（1）奇数跨对称结构）奇数跨对称结构 作用正对称荷载如图作用正对称荷载如图a，C截面只有竖向位移，有弯矩和截面只有竖向位移，有弯矩和剪力，截取一半刚架如图剪力，截取一半刚架如图b。 作用反对称荷载如图作用反对称荷载如图c，C截截面不能有竖向位移，只有剪力，面不能有竖向位移，只有剪力，截取一半刚架如图截取一半刚架如图d。7-6 对称性的利用（2）偶数跨对称结构）偶数跨对称结构 作用正对称荷载如图作用正对称荷载如图a，C结点不能有任何位移，截取一

26、结点不能有任何位移，截取一半刚架如图半刚架如图b。 作用反对称荷载如图作用反对称荷载如图c，将，将中间柱视为两根刚度为中间柱视为两根刚度为I/2的竖杆的竖杆组成，在顶点与梁刚结。如图组成，在顶点与梁刚结。如图e。 由于荷载是反对称的，两柱由于荷载是反对称的，两柱中间的横梁中间的横梁C处只有剪力。如图处只有剪力。如图f。 剪力剪力FSC对结构的内力和变形对结构的内力和变形无影响。简化的一半刚架如图无影响。简化的一半刚架如图d。7-6 对称性的利用解：结构是一个三次超静定结构，有两个对称轴。解：结构是一个三次超静定结构，有两个对称轴。 可取可取1/4结构分析，计算简图如图结构分析，计算简图如图b。

27、基本体系如图基本体系如图c。取极坐标系，取极坐标系，单位弯矩和荷载弯矩分别为：单位弯矩和荷载弯矩分别为：sin21P1FRMM例例7-6 试计算图试计算图a所示圆环的内力。所示圆环的内力。EI=常数。常数。7-6 对称性的利用各弯矩图如图各弯矩图如图a、b。 位移计算时略去轴力、剪力及曲位移计算时略去轴力、剪力及曲率影响，只计弯矩一项。则：率影响，只计弯矩一项。则：EIREIsM2d2111EIFREIsMM2d2PP1可得可得FRX11P117-7 超静定结构的位移计算结构的实际状态及弯矩图如图结构的实际状态及弯矩图如图a。试求试求CB杆中点杆中点K的竖向位移的竖向位移Ky。虚设力状态及弯矩

28、图如图虚设力状态及弯矩图如图b。 为作出图为作出图b，需要解算一个，需要解算一个2次超静定结构。次超静定结构。比较麻烦！比较麻烦！7-7 超静定结构的位移计算由力法计算超静定结构可知：由力法计算超静定结构可知： 在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的在荷载及多余未知力共同作用下，基本结构的受力和位受力和位移移与原结构与原结构完全一致完全一致。求超静定结构的位移可以用求求超静定结构的位移可以用求基本结构基本结构的的位移位移代替。虚拟状态如图代替。虚拟状态如图c、d。由图由图c)(1408313EIFaKy由图由图d)(1408313EIFaKy7-7 超静定结构的位移计算 计算超静定结构位移步

29、骤计算超静定结构位移步骤（1）计算超静定结构，求出实际状态的内力。）计算超静定结构，求出实际状态的内力。（2）任选一种基本结构，虚拟力状态。）任选一种基本结构，虚拟力状态。（3）计算所求位移。）计算所求位移。7-8 最后内力图的校核平衡条件校核平衡条件校核弯矩图校核弯矩图校核：如图如图a，取，取E点为隔离体，如图点为隔离体，如图b。应满足应满足 0EM即即0EFEBEDMMM剪力图和轴力图校核剪力图和轴力图校核：可取可取结点、杆件结点、杆件或或结构的一部分结构的一部分为隔为隔离体，考察是否满足：离体，考察是否满足：和和 0 xF 0yF7-8 最后内力图的校核位移条件校核位移条件校核 图图a为

30、刚架的最后弯矩图。检为刚架的最后弯矩图。检查查A处的水平位移是否为处的水平位移是否为0，虚拟，虚拟力状态并作弯矩图如图力状态并作弯矩图如图b。利用图利用图a与图与图b图乘，得图乘，得01满足位移条件满足位移条件7-8 最后内力图的校核 对于具有封闭无铰框格的刚架对于具有封闭无铰框格的刚架如图如图a，取图，取图b所示的虚拟力状态，所示的虚拟力状态，检查检查K截面相对转角是否为截面相对转角是否为0。0ddEIsMEIsMMKK 上式表明，在任一封闭无铰的上式表明，在任一封闭无铰的框格上，弯矩图的面积除以相应刚框格上，弯矩图的面积除以相应刚度的代数和等于度的代数和等于0。7-9 温度变化时超静定结构

31、的计算 图图a所示静定梁，当温度改变时，所示静定梁，当温度改变时，梁可以自由地变形不受任何阻碍。梁可以自由地变形不受任何阻碍。 图图b所示超静定梁，当温所示超静定梁，当温度改变时，梁的变形受到两端度改变时，梁的变形受到两端支座的限制，因而产生支座反支座的限制，因而产生支座反力及内力。力及内力。图图c所示刚架，温度改变如图。取图所示刚架，温度改变如图。取图d所示基本体系。所示基本体系。 基本结构在外因和多基本结构在外因和多余未知力共同作用下，去余未知力共同作用下，去掉多余联系处的位移与原掉多余联系处的位移与原结构的位移相符。结构的位移相符。7-9 温度变化时超静定结构的计算 式中系数的计算与以前

32、相同，与外因无关。自由项为基本结构由于温式中系数的计算与以前相同，与外因无关。自由项为基本结构由于温度变化引起的位移，计算式为度变化引起的位移，计算式为 典型方程为典型方程为000333323213123232221211313212111tttXXXXXXXXXsMhttlFiiitdN最后弯矩为最后弯矩为 332211XMXMXMM对于刚架位移计算公式为对于刚架位移计算公式为 sMhttlFEIsMMEIsMMKKKKtKKdddN对多余未知力对多余未知力Xi方向的位移校核式为方向的位移校核式为 0ditiiEIsMM7-9 温度变化时超静定结构的计算例例7-7 图图a所示刚架外侧温度升高

33、所示刚架外侧温度升高25，内侧温度升高，内侧温度升高35 ，试，试 绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。绘制其弯矩图并计算横梁中点的竖向位移。EI=常数，截常数，截 面对称于形心轴，高度面对称于形心轴，高度h=l/10，材料的线膨胀系数为，材料的线膨胀系数为。 解：这是一次超静定刚架，基本体系如图解：这是一次超静定刚架，基本体系如图b。 典型方程为典型方程为 01111tX虚拟力状态及内力图如图虚拟力状态及内力图如图c EIlEIsM35d32111lsMhttlFt230d11N17-9 温度变化时超静定结构的计算解典型方程得解典型方程得21111138lEIXt温度变化时，超静定结构的内

34、力与各杆刚度的绝对值有关。温度变化时，超静定结构的内力与各杆刚度的绝对值有关。 求横梁中点竖向位移虚拟力状态及内力图如图求横梁中点竖向位移虚拟力状态及内力图如图b。)(75.34ddNlsMhttlFEIsMMKKKK最后弯矩为最后弯矩为 11XMM 弯矩图如图弯矩图如图a。7-10 支座位移时超静定结构的计算 图图a所示静定梁，当支座所示静定梁，当支座B发生竖向位移时不会受到任何阻发生竖向位移时不会受到任何阻碍。结构只随之发生刚体位移，不产生弹性变形和内力。碍。结构只随之发生刚体位移，不产生弹性变形和内力。 图图b所示超静定梁，当支座所示超静定梁，当支座B发生竖向位移时将受到发生竖向位移时将

35、受到AC梁的梁的牵制，使各支座产生反力，梁产生内力。牵制，使各支座产生反力，梁产生内力。7-10 支座位移时超静定结构的计算 图图a所示刚架，当支座所示刚架，当支座B由于某种由于某种原因发生图示位移。基本体系如图原因发生图示位移。基本体系如图b。典型方程为典型方程为aXXXXXXXXX3333232131232322212113132121110 系数的计算同前。自由项代表基系数的计算同前。自由项代表基本结构由于支座移动引起的位移，计本结构由于支座移动引起的位移，计算式为算式为cFiiR7-10 支座位移时超静定结构的计算多余未知力分别等于多余未知力分别等于1时的弯矩图如图时的弯矩图如图c、d

36、、e。0，)1(，)1(321lbbllbbl最后弯矩为最后弯矩为 332211XMXMXMMcFEIsMMKKKRd位移计算为位移计算为 0dRcFEIsMMiiiXi方向位移条件校核式为方向位移条件校核式为 或为已知值或为已知值 7-10 支座位移时超静定结构的计算例例7-8 图图a所示两端固定的等截面梁所示两端固定的等截面梁A段发生了转角，试分析其段发生了转角，试分析其 内力。内力。 解：取基本体系如图解：取基本体系如图b。因因X3=0，典型方程为，典型方程为022221211212111XXXX多余未知力分别等于多余未知力分别等于1时的弯矩图如图时的弯矩图如图c、d。EIlEIl6，3

37、212122110，021可得可得lEIXlEIX2，4217-10 支座位移时超静定结构的计算最后弯矩为最后弯矩为 2211XMXMM如图如图e校核：检查校核：检查B支座转角是否为支座转角是否为0。虚拟力状态及弯矩图如图。虚拟力状态及弯矩图如图f。0)1 ()24(21)1 (1d1R1lEIlEIlEIcFEIsMMB位移计算为位移计算为 7-10 支座位移时超静定结构的计算例例7-9 图图a所示连续梁所示连续梁EI=常数，常数，B处为弹性支座，弹簧刚度处为弹性支座，弹簧刚度 k=10EI/l3。试作其弯矩图并求。试作其弯矩图并求D点的竖向位移。点的竖向位移。 解解：（：（1）取基本体系一

38、如图）取基本体系一如图b。典型方程为典型方程为 kXX1P1111相应弯矩图如图相应弯矩图如图c、d。EIqlEIl425，641P311可得可得)(32251qlX最后弯矩为最后弯矩为 P11MXMM如图如图e7-10 支座位移时超静定结构的计算（2）取基本体系二如图）取基本体系二如图f。典型方程为典型方程为 0P1111 X相应弯矩图如图相应弯矩图如图g、h。EIlcFEIsM1516d1R2111EIqlcFEIsMM607d3P1RP1P1可得可得64721qlX 弯矩图同弯矩图同e（3）求）求D点竖向位移，虚拟状态弯矩图如图点竖向位移，虚拟状态弯矩图如图i。)(3072181d4RE

39、IqlcFEIsMMDDy7-11 用弹性中心法计算无铰拱常用超静定拱型式常用超静定拱型式超静定拱超静定拱：弯矩分布比较均匀，够造简单，工程中应用较多。弯矩分布比较均匀，够造简单，工程中应用较多。无铰拱无铰拱两铰拱两铰拱7-11 用弹性中心法计算无铰拱计算超静定拱：需事先确定计算超静定拱：需事先确定拱轴线方程拱轴线方程和和截面变化截面变化规律。规律。常用的拱轴线形式：常用的拱轴线形式：悬链线，抛物线，圆弧，多心圆悬链线，抛物线，圆弧，多心圆等。等。超静拱合理拱轴线：超静拱合理拱轴线：忽略轴向变形影响忽略轴向变形影响时，与相应时，与相应三铰拱相同三铰拱相同。考虑轴向变形考虑轴向变形时：超静定拱产

40、生弯矩，但数值不大，可进行修时：超静定拱产生弯矩，但数值不大，可进行修 改调整。改调整。超静定拱拱截面：变截面，等截面。超静定拱拱截面：变截面，等截面。无铰拱截面：拱址处弯矩大，截面常设计成由拱顶向拱址逐渐无铰拱截面：拱址处弯矩大，截面常设计成由拱顶向拱址逐渐 增大的形式。增大的形式。拱桥设计中的经验公式拱桥设计中的经验公式cos)1 (1 1lxnIIC（7-8）IC：拱顶截面二次矩，：拱顶截面二次矩，n ：拱厚变化系数。：拱厚变化系数。KKCIIncosIK：拱址处截面二次矩，：拱址处截面二次矩， ：拱址处拱轴切线倾角。：拱址处拱轴切线倾角。Kn 愈小，拱厚变化愈激烈。愈小，拱厚变化愈激烈

41、。n的范围：的范围：0.251。n =1时时KCIIcos截面面积截面面积A近似为近似为KCAAcos当拱高当拱高fl/8时可近似为时可近似为CAA常数常数7-11 用弹性中心法计算无铰拱7-11 用弹性中心法计算无铰拱 图图a所示无铰拱是三次超静定结构。所示无铰拱是三次超静定结构。利用对称性取基本体系如图利用对称性取基本体系如图b。00，322331130211202112如何做？如何做？ 将图将图a所示无铰拱沿拱顶截面切开，所示无铰拱沿拱顶截面切开，再切口粮边沿对称轴方向引出两个刚度无再切口粮边沿对称轴方向引出两个刚度无穷大的刚臂，如图穷大的刚臂，如图c。 刚臂本身是不变形的，保证切口两刚

42、臂本身是不变形的，保证切口两边截面无任何相对位移，此结构与原无铰边截面无任何相对位移，此结构与原无铰拱的变形一致，可以代替原无铰拱。拱的变形一致，可以代替原无铰拱。7-11 用弹性中心法计算无铰拱 取基本体系如图取基本体系如图d，这是两个带刚臂，这是两个带刚臂的悬臂曲梁。的悬臂曲梁。 利用对称性，适当选择刚臂的长度，利用对称性，适当选择刚臂的长度，可以使典型方程中全部可以使典型方程中全部系数都为系数都为0。符符号号规规定定坐标原点：刚臂端点坐标原点：刚臂端点O；坐标方向：坐标方向：x轴向右为正，轴向右为正，y轴向下为正；轴向下为正；弯弯 矩：拱内侧受拉为正；矩：拱内侧受拉为正；剪剪 力：绕隔离

43、体顺时针方向为正；力：绕隔离体顺时针方向为正；轴轴 力：压力为正。力：压力为正。7-11 用弹性中心法计算无铰拱多余未知力分别为多余未知力分别为1作用时，如图作用时，如图a、b、c。sincoscossin0013N3S32N2S21N1S1FFxMFFyMFFM，00，32233113EIsyEIsyEIsyyEIsyEIsMMGAsFFkEAsFFEIsMMSSddd)(d00dddd11212S1S2N1N2121127-11 用弹性中心法计算无铰拱0dd12112EIsyEIsyS令令沿拱轴线作宽度为沿拱轴线作宽度为1/EI的图形（如图）。的图形（如图）。 ds/EI代表图中的微面积，

44、代表图中的微面积，ys即为这个图形面积的形心坐标。图形的面积即为这个图形面积的形心坐标。图形的面积与与EI有关有关称为弹性面积图，其形心称为称为弹性面积图，其形心称为弹性形心弹性形心。弹性中心法：弹性中心法：把刚臂端点引到弹性中心上，将把刚臂端点引到弹性中心上，将X2、X3置于主轴置于主轴 方向上，使全部系数都等于方向上，使全部系数都等于0。可得刚臂长度可得刚臂长度yS为为EIsEIsyySdd17-11 用弹性中心法计算无铰拱典型方程简化为三个独立方程典型方程简化为三个独立方程 000P3333P2222P1111XXX 由于拱的曲率对计算结果影响很小，可用直杆计算公式求系数和自由由于拱的曲

45、率对计算结果影响很小，可用直杆计算公式求系数和自由项，多数情况可忽略轴向变形和剪切变形的影响。如下表项，多数情况可忽略轴向变形和剪切变形的影响。如下表fhc22332P ， 3Pfl/5hcl/10M，FN， FSM，FSHcl/10MM计算系数和自由项时需考虑影响的内力计算系数和自由项时需考虑影响的内力7-11 用弹性中心法计算无铰拱拱顶截面高度拱顶截面高度hcl/10，fl/5时，时，22中的轴力影响项可略去。中的轴力影响项可略去。7-11 用弹性中心法计算无铰拱当当cos，cosCCAAII时时CCCAxAsIxIsIsdd, dcosdd有有可得可得xxMEIxyMEIxMEIxxEIxAIxyEIlxEICCCCCCCCdddddcosddPP3PP2PP1233222211用数值积分法即总和法计算用数值积分法即总和法计算任一截面内力按叠加法求得任一截面内力按叠加法求得NP32NSP32SP321sincoscossinFXXFFXXFMxXyXXM基本结构荷载作用下产生的基本结构荷载作用下产生的7-12 两铰拱及系杆拱 图图a为一次超静定的两铰拱，为一次超静定的两铰拱，支座发生竖向位移时不引起内力，支座发生竖向位移时不引起内力，适用于不均匀沉陷的地基。适用于不均匀沉陷的地基。 拱址处弯矩为拱址处弯矩为0逐