第7章 曲面体001

1、第七章 曲面体 71 曲面体的投影 72 平面与曲面体表面相交 截交线截交线 平面与曲面体表面相交，在一般情况下，截交线是由平面曲线或平面曲线和直线所组成的封闭图形。截交线是曲面体和截平面的共有点的集合。 只需作出截交线上直线段的端点和曲线上的一系列点的投影，并连成直线和光滑曲线，便可得出截交线的投影。为了较准确地得到截交线的投影，一般要求作出截交线上特殊点的投影，如最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点，可见与不可见的分界点，截交线本身固定有的特殊点（如椭圆长、短轴的端点，抛物线顶点）等。 求作截交线的方法求作截交线的方法 1、辅助平面法 为了求作截平面P与圆锥的截交线上的点，选用水平面Q

2、作为辅助平面。平面Q与圆锥面的交线C为一水平圆，平面Q与已知的截平面P的交线为直线AB。圆C和直线AB同在平面Q内，它们如相交，交点和即为锥面和截平面的共有点，所以是截交线上的点。作一系列水平辅助面，可得到相应的一系列交点，连成光滑曲线即为截交线。 选取辅助平面时应使它与曲面体的交线的投影为简单而又易于绘制的直线或圆。因此，辅助平面往往选为投影面平行面或投影面垂直面。 2、素线法 假如曲面体的曲表面为直纹面，那么可通过求出曲面上直素线与截平面的交点来作出截交线上的点。如图所示，素线SA与截平面P的交点是锥面和截平的共有点，所以是截交线上的点。3、当截交线的某一投影为已知时，也可利用作表面上点的

3、方法作出截交线的其余投影。 平面与圆柱相交 对于柱面，当截平面平行于柱面的素线时，交线为直线；当截平面不平行于素线时，交线为平面曲线。 对于圆柱面，根据截平面与圆柱的相对位置不同，交线为两平行直线、圆或椭圆。 例例: 已知被截后圆柱的正面投影和侧面投影，试作截交线的水平投影及其实形。 例例1 1、平面与实心圆柱相交、平面与实心圆柱相交2 2、平面与空心圆柱相交、平面与空心圆柱相交1 1、平面与实心圆柱相交、平面与实心圆柱相交2 2、平面与空心圆柱相交、平面与空心圆柱相交有虚线有虚线实心圆柱实心圆柱空心圆柱空心圆柱1 1、平面与实心圆柱相交、平面与实心圆柱相交2 2、平面与空心圆柱相交、平面与空

4、心圆柱相交pqPQ非圆曲线画法非圆曲线画法找特殊点找特殊点中间点中间点光滑连接曲线光滑连接曲线P/P/圆柱体圆柱体轴线，轴线，P P 圆柱面交线圆柱面交线为直线为直线Q Q 圆柱体圆柱体轴线，轴线，P P 圆柱面交线圆柱面交线为椭圆曲线为椭圆曲线检查轮廓线投影检查轮廓线投影若增加圆柱孔若增加圆柱孔结果将如何？结果将如何？求外表面交线求外表面交线求内表面交线求内表面交线检查孔的轮廓检查孔的轮廓线投影线投影检查交线检查交线 圆柱截断的应用实例管道端部的挡土墙 平面与圆锥相交 对于圆锥面，根据截平面P与圆锥的相对位置不同，交线有两相交直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线，这五种交线统称为圆锥截线。 例例:

5、已知截头圆锥的正面投影,试作其截交线的水平投影、侧面投影和实形。 PP P 轴线轴线交线为圆交线为圆 PP P 轴线轴线 交线为椭圆交线为椭圆 P P 轴线轴线 = = 交线为抛物线交线为抛物线PP P P 轴线轴线 0 0 交线为椭圆交线为椭圆P P过锥顶过锥顶交线为直线交线为直线P P 轴线轴线 = = 交线为抛物线交线为抛物线P P 轴线轴线 0 0 交线为双曲线交线为双曲线 截交线为椭圆截交线为椭圆正面投影积聚成直线正面投影积聚成直线水平、侧面投影均为水平、侧面投影均为椭圆椭圆椭圆画法椭圆画法是什么点？是什么点？椭圆短轴的投影椭圆短轴的投影交线可见性交线可见性轮廓线投影轮廓线投影特殊点

6、特殊点中间中间点点光滑连接曲线光滑连接曲线PP圆锥被正垂面截断的工程实例渠道进水口的边坡。 平面与球相交 平面与球相交，不论截平面的位置如何，截交线总是圆。例例: 已知球被铅垂面P截断，试作出被截后球的正面投影、侧面投影和截交线的实形。 截交线的水平投影为直线，其余两投影为椭圆，可利用球面上作点的方法作出椭圆上的点。 例例: 已知带切口的半球的正面投影，试作出其余两投影。 切口由一个水平面和两个侧平面组成，并对称于半球的对称面。水平面与球的截交线，在水平投影中反映圆的实形。侧平面与球的截交线，在侧面投影中反映圆的实形。 作业：73 直线与曲面体表面相交 直线与曲面体相交，如果直线是从立体的一端

7、穿入，另一端穿出，则称为直线与立体贯穿。 如果曲面体表面的投影或直线的投影具有积聚性，那么，贯穿点的投影在有积聚性的投影中为已知，其余投影可利用表面上作点的方法求得。 例例: 已知圆柱与一般位置直线AB相交，试作其贯穿点。 因为柱轴为铅垂线，柱面的水平投影积聚为圆。圆柱的上、下底面为水平面，正面投影积聚为水平线。所以贯穿点N、M的投影可利用积聚性求得。 直线穿入立体内的部分不画。贯穿点以外的直线段应区别其可见性。 例例: 已知正垂线与圆锥相已知正垂线与圆锥相交，试作其贯穿点。交，试作其贯穿点。 因为直线AB为正垂线，正面投影积聚为一点a(b)，所以贯穿点和的正面投影1（2）也与a(b)重合。过

8、此点作水平辅助面Q，在水平投影中可作出贯穿点的投影1和2，由此得到侧面投影1和2。 平面体与曲面体相贯，其相贯线一般是由若干段平面曲线或由平面曲线和直线所组成的空间封闭线。74 平面体与曲面体表面相交 每一段平面曲线（或直线段）是多面体上一个棱面与曲面体的截交线；相邻两段平面曲线或曲线与直线的交点，是多面体的棱线与曲面体的贯穿点。因此求作多面体和曲面体的相贯线，可以归结为求作截交线和贯穿点。 求作多面体和曲面体相贯线求作多面体和曲面体相贯线的方法主要有的方法主要有辅助平面法辅助平面法和和素线素线法法，有时也可用，有时也可用表面上作点的方表面上作点的方法法作出相贯线。作出相贯线。例：例：补全主视

9、图补全主视图 空间分析：空间分析： 四棱柱的四个棱面分别与四棱柱的四个棱面分别与圆柱面相交，前后两棱面与圆圆柱面相交，前后两棱面与圆柱轴线平行，截交线为两段直柱轴线平行，截交线为两段直线；左右两棱面与圆柱轴线垂线；左右两棱面与圆柱轴线垂直，截交线为两段圆弧。直，截交线为两段圆弧。 投影分析：投影分析： 由于相贯线是两立体表面由于相贯线是两立体表面的共有线，所以相贯线的侧的共有线，所以相贯线的侧面投影积聚在一段圆弧上，面投影积聚在一段圆弧上，水平投影积聚在矩形上。水平投影积聚在矩形上。acbabc31237156852786例例: : 求三棱柱与半球求三棱柱与半球 的相贯线的相贯线SHTHRH1

10、5 例例: 已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。 例例: 已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。 圆柱轴线为铅垂线，柱圆柱轴线为铅垂线，柱面的水平投影积聚为圆，相面的水平投影积聚为圆，相贯线的水平投影在此圆上。贯线的水平投影在此圆上。四棱锥的锥顶在柱轴上，四四棱锥的锥顶在柱轴上，四个棱面中的两个为正垂面，个棱面中的两个为正垂面，两个为侧垂面，部分相贯线两个为侧垂面，部分相贯线的正面投影和侧面投影位于的正面投影和侧面投影位于这些棱面的有积聚性的投影这些棱面的有积聚性的投影上。上。例例: 已知四棱锥与圆柱相贯，求作相贯线。已知四棱锥与圆

11、柱相贯，求作相贯线。 从图中还可知，四段截从图中还可知，四段截交线均为椭圆，相邻两段交线均为椭圆，相邻两段椭圆弧的交点为棱线与柱椭圆弧的交点为棱线与柱面的贯穿点。面的贯穿点。 由以上分析可知，可以由以上分析可知，可以用表面作点的方法来解题。用表面作点的方法来解题。 例例: 已知三棱柱与圆锥相贯，求作相贯线。已知三棱柱与圆锥相贯，求作相贯线。 三棱柱的三个棱面为正三棱柱的三个棱面为正垂面和水平面，正面投影为垂面和水平面，正面投影为三角形，相贯线的正面投影三角形，相贯线的正面投影在此三角形上。从正面投影在此三角形上。从正面投影可知，棱面可知，棱面AB、AC、CB与与锥面的交线分别为水平圆、锥面的交

12、线分别为水平圆、椭圆、直素线、它们组成了椭圆、直素线、它们组成了相贯线。相贯线。75 两曲面体相贯两曲面体的相贯线，在一般情形下是封闭的空间曲封闭的空间曲线线，特殊情形下可能是平面曲线或直线平面曲线或直线。求作相贯线，一般通过求出两曲面体表面上一系列的共有点，连成光滑曲线，并判别其可见与不可见部分，即得相贯线。根据两曲面体的表面形状、曲面体与投影面的相对位置和曲面体之间的相对位置，求相贯线上点的常用作图方法有：表面定点法，辅助表面定点法，辅助平面法。平面法。 如果两回转体相交，其中如果两回转体相交，其中有一个是有一个是轴线垂直轴线垂直于投影面于投影面的的圆柱圆柱，则相贯线在该投影，则相贯线在该

13、投影面上的投影积聚在圆柱面上。面上的投影积聚在圆柱面上。利用回转体表面取点的方法利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影。可以作出相贯线的其余投影。 按已知曲面立体表面上点按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法，的投影求其它投影的方法，称为表面取点法。称为表面取点法。相贯线的求法利用表面取点法求作相贯线中利用表面取点法求作相贯线中例:如图所示已知两圆柱的三面投影，求作它们的相贯线。 分析： 由投影图可知，直径不同的两圆柱轴线垂直相交，由于大圆柱轴线垂直于W面，小圆柱轴线垂直于H面，所以，相贯线的侧面投影和水平投影为圆，只有正面投影需要求作。 相贯线为前后左右对称的空间曲线。求正交

14、两圆柱的相贯线求正交两圆柱的相贯线（1）求特殊点：作图步骤：1342131”3”2”4”24 直接定出相贯线的最左点 和最右点的三面投影。 再求出出相贯线的最前点和最后点的三面投影。求正交两圆柱的相贯线1234121”3”2”4”24（2）求一般点：在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5、6，找出水平投影5、6，然后作出正面投影5、6。 5”6”5656 (3) 光滑连相贯线：相贯线的正面投影左右、前后对称，后面的相贯线与前面的相贯线重影，只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影，即完成作图。 圆柱面相贯有外表面与外表面相贯、外表面与内表面相贯和两内表面相贯，如图所示。这三种情况的相贯线的

15、形状和作图方法是一样。 (a) 两外表相交 (b) 外表面与内表面相交 (c) 两内表面相交图3-41 求正交两圆柱的相贯线 两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相两圆柱相交时，相贯线的形状和位置取决于它们直径的相对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小对大小和轴线的相对位置，表中表示两圆柱面的直径相对大小变化时对相贯线的影响。变化时对相贯线的影响。这里特别指出的是这里特别指出的是，当相贯线（也可，当相贯线（也可不垂直）的不垂直）的两圆柱面直径相等两圆柱面直径相等，即公切一个球时，相贯线是相，即公切一个球时，相贯线是相互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确

16、定的互垂直的两椭圆，且椭圆所在的平面垂直于两条轴线所确定的平面。平面。 水平圆柱较大 两圆柱直径相等 水平直径较小 上下两条空间曲线 两个互相垂直的椭圆 左右两条空间曲线 垂直相交两圆柱直径相对变化时的相贯线当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）相交两圆柱轴线相对位置变化时对相贯线的影响相交两圆柱轴线相对位置变化时对相贯线的影响 两轴线垂直相交 两轴线垂直交叉 两轴线平行 全 贯互 贯例例: : 求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。求轴线交叉垂直圆柱相贯线的投影。 1“(2“)

17、123“1234445“(6 “)565687yy8“(7“)873 例例:补全主视图补全主视图 外形交线外形交线 两外表面相贯两外表面相贯 一内表面和一外表面相贯一内表面和一外表面相贯 内形交线内形交线 两内表面相贯两内表面相贯 无轮是两外表面相贯，无轮是两外表面相贯，还是一内表面和一外表面还是一内表面和一外表面相贯，或者两内表面相贯，相贯，或者两内表面相贯，求相贯线的方法和思路是求相贯线的方法和思路是一样的。一样的。小小 结：结：图3-44 圆柱与半球的相贯线辅助平面P 用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是：作一辅助平面P，使它与回转体都相交，求出P平面与两回转体的截交线，作出两回转体表面

18、截交线的交点，即为两回转体表面的共有点，亦即相贯线上的点。 为了简化作图，选择什么位置的平面作为辅助平面是很重要的。选择辅助平面时应遵守下述原则:所选择的辅助平面与两相交立体表面所产生的截交线的投影，应该是简单易画的圆或直线。辅助平面法求相贯线辅助平面法求相贯线辅助平面法：辅助平面法： 根据根据三面共点三面共点的原理，利用辅助平面求出的原理，利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点，从而画出相两回转体表面上的若干共有点，从而画出相贯线的投影。贯线的投影。作图方法：作图方法： 假想用辅助平面截切两回转体假想用辅助平面截切两回转体，分别得出，分别得出两回转体表面的截交线。由于截交线的交点两回转体

19、表面的截交线。由于截交线的交点既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因既在辅助平面内，又在两回转体表面上，因而是相贯线上的点。而是相贯线上的点。辅助平面的选择原则：辅助平面的选择原则： 使使辅助平面与两回转体辅助平面与两回转体表面的截交线表面的截交线的投的投影影简单易画简单易画，例如直线或圆。，例如直线或圆。一般选择一般选择投影面平行面投影面平行面例例: :求圆柱与半球相贯线的投影求圆柱与半球相贯线的投影 相贯线的侧面投影积聚在圆柱的表面上。水平圆柱与半球的公共对称面平行于V面，故相贯线是一条前后对称的空间曲线。求圆柱与半球的相贯线求圆柱与半球的相贯线作图步骤：1）求特殊点：4141”4”12）

20、求一般点：PvPvPwPw2”6”26QvQvQwQw3”5”352(6)3）判断可见性，依次光滑连接各点： 4）补画水平转向轮廓线。 3(5)例:求圆柱与圆锥相贯线的投影，如图所示。 分析：分析： 由投影图可知，圆柱与圆锥的轴线垂直交叉，相贯线是一条左右对称封闭的空间曲线。由于圆柱轴线垂直与侧面，所以相贯线的侧面投影已知，可以用表面取点的方法求相贯线的投影。求圆柱与圆锥的相贯线求圆柱和圆锥的相贯线作图步骤：作图步骤：1”2”(4”)3”112424335”6”56561）求特殊点：求圆柱和圆锥的相贯线642422”(4”)2）求一般点：787”(8”)783）判断可见性，依次光滑连接各点：

21、4）补全正面转向轮廓线。 46yyPW2PV24yy4 PV1PW13PV3PW351112 22453 35 例例: : 求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。求圆柱与圆锥正交时相贯线的投影。例例: : 求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。求铅垂圆台与半球的相贯线的投影。PV2yy55343543112122yy4 PH1PV3PV4 相贯线的特殊情形 两曲面体的相贯线一般为封闭的空间曲线，两曲面体的相贯线一般为封闭的空间曲线，但但在特殊情形下，相贯线可以是平面曲线或直在特殊情形下，相贯线可以是平面曲线或直线。线。1当两圆柱面的素线平行时，相贯线为直线和一段圆弧。当当两圆柱面的素线平行时，相贯线为直线

22、和一段圆弧。当两圆锥共锥顶时，相贯线为直线。如图所示。两圆锥共锥顶时，相贯线为直线。如图所示。 相贯线的特殊情形 2当两旋转面共轴时，它们的相贯线为圆，且圆所在的当两旋转面共轴时，它们的相贯线为圆，且圆所在的平面垂直于轴线，如图所示。平面垂直于轴线，如图所示。 3当两个二次曲面（如圆柱面、圆锥面）外切或内切于当两个二次曲面（如圆柱面、圆锥面）外切或内切于同一个二次曲面（如球面）时，则这两个二次曲面的相贯线分同一个二次曲面（如球面）时，则这两个二次曲面的相贯线分解为两条二次曲线（如圆、椭圆）。当曲线所在的平面垂直于解为两条二次曲线（如圆、椭圆）。当曲线所在的平面垂直于某个投影面时，则在该投影面上

23、的投影为直线。某个投影面时，则在该投影面上的投影为直线。 右图为两直径相等、轴线右图为两直径相等、轴线相交的圆柱相贯，它们外切于相交的圆柱相贯，它们外切于同一个球面，同一个球面，相贯线为两个椭相贯线为两个椭圆圆。当轴线正交时，为两个相。当轴线正交时，为两个相同的椭圆；当轴线斜交时，为同的椭圆；当轴线斜交时，为两个短轴相等、长轴不等的椭两个短轴相等、长轴不等的椭圆。圆。 右图为圆柱与圆锥相右图为圆柱与圆锥相贯的特殊情形。以柱轴与贯的特殊情形。以柱轴与锥轴相交的交点为球心，锥轴相交的交点为球心，作一球面，如果柱面和锥作一球面，如果柱面和锥面外切于此球，则面外切于此球，则相贯线相贯线为两个椭圆。为两

24、个椭圆。 右图为两圆锥相贯的特右图为两圆锥相贯的特殊情形。锥轴相交，以交点殊情形。锥轴相交，以交点为球心，作一球面，如果两为球心，作一球面，如果两锥面外切于此球，那么这两锥面外切于此球，那么这两圆锥的相贯线为椭圆。圆锥的相贯线为椭圆。 三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时三个或三个以上的立体相交在一起，称为组合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。 处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立处理组合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相交在一起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。体相交在一

25、起，从而确定其有几段相贯线结合在一起。组合相贯线组合相贯线例例: : 求作物体相贯线的投影求作物体相贯线的投影123例：补全主视图例：补全主视图 这是一个多体这是一个多体相贯的例子，首先相贯的例子，首先分析它是由哪些基分析它是由哪些基本体组成的，这些本体组成的，这些基本体是如何相贯基本体是如何相贯的，的，然后然后分别进行分别进行相贯线的分析与作相贯线的分析与作图。图。三面共点三面共点 作图时要抓住作图时要抓住一个关键点，相贯一个关键点，相贯线汇交于这一点。线汇交于这一点。例：求俯视图例：求俯视图一、本节的基本内容一、本节的基本内容 立体表面相贯线的概念立体表面相贯线的概念 求相贯线的基本方法求

26、相贯线的基本方法相贯线的性质：相贯线的性质：表面性表面性 共有性共有性 封闭性封闭性二、解题过程二、解题过程 交线分析交线分析 空间分析：空间分析： 投影分析：投影分析： 是否有积聚性投影？是否有积聚性投影？找出找出相贯线的相贯线的已知投影已知投影，预见未知投影，预见未知投影，从而从而选择解题方法。选择解题方法。面上找点法面上找点法 辅助平面法辅助平面法 分析相交两立体的表面形状，分析相交两立体的表面形状， 形体大小及相形体大小及相对位置，对位置，预见交线的形状预见交线的形状。特殊点包括：最上点、最下点、最左点、特殊点包括：最上点、最下点、最左点、 最右点、最前点、最后点、最右点、最前点、最后点、 轮廓线上的点等。轮廓线上的点等。 找点找点连线连线检查、加深检查、加深尤其注意检查回转体轮廓