高等数学第六章6

1、实例：实例：用某班所有学生的考试成绩的算术平均用某班所有学生的考试成绩的算术平均值来描述这个班的成绩的概貌值来描述这个班的成绩的概貌.nyyyyn 21算术平均值公式算术平均值公式只适用于有限个数值只适用于有限个数值问题：问题：求气温在一昼夜间的平均温度求气温在一昼夜间的平均温度.入手点：入手点：连续函数连续函数 在区间在区间 上的平均值上的平均值.)(xf,ba讨论思想：讨论思想：分割、求和、取极限分割、求和、取极限.一、函数的平均值一、函数的平均值（1）分割：）分割：把把区区间间,ba分分成成n等等分分,1210bxxxxxann 每个小区间的长度每个小区间的长度;nabx 设各分点处的函

2、数值为设各分点处的函数值为nyyyy,210函数函数 在区间在区间 上的平均值近似为上的平均值近似为)(xf,ba;1210nyyyyn 每个小区间的长度趋于零每个小区间的长度趋于零.（2）求和：）求和：（3）取极限：）取极限：,lim1210nyyyyynn 函数函数 在区间在区间 上的上的平均值平均值为为)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度yab)( )()( fab 例例 1 1 计计算算纯纯电电阻阻电电路路中中正正弦弦交交流流

3、电电tIim sin 在在一一个个周周期期上上的的功功率率的的平平均均值值（简简称称平平均均功功率率）.解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间一个周期区间,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电

4、压的峰值的乘积的二分之一等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一 通常交流电器上标明的功率就是平均通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值 周期性非恒定电流周期性非恒定电流i（如正弦交流电）（如正弦交流电）的有效值规定如下：当的有效值规定如下：当)(ti在它的一个周在它的一个周期期T内在负载电阻内在负载电阻R上消耗的平均功率，上消耗的平均功率，等于取固定值等于取固定值I的恒定电流在的恒定电流在R上消耗的功上消耗的功率时，称这个值率时，称这个值I为为)(ti的有效值的有效值.二、均

5、方根二、均方根固固定定值值为为I的的恒恒定定电电流流在在R上上消消耗耗的的功功率率为为RI2,电流电流)(ti在在R上消耗的功率为上消耗的功率为Rti)(2,它在它在, 0T上的平均功率为上的平均功率为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值计算公式的推导有效值计算公式的推导即即正弦交流电正弦交流电tItim sin)( 的有效值的有效值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 20222sin4 ttIm.2mI 结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电

6、的有效值等于电流的峰值的 21.)(12 badxxfab函函数数)(xf在在,ba上上的的均均方方根根函数的平均值函数的平均值函数的有效值函数的有效值;)(1 badxxfaby.)(12 badxxfab（理解平均功率、电流的有效值等概念）（理解平均功率、电流的有效值等概念）三、小结三、小结思考题思考题 有有一一根根长长为为a的的细细棒棒，其其上上任任一一点点x（棒棒的的一一端端与与原原点点重重合合）的的密密度度cbx 2 ，求求棒棒的的平平均均密密度度.思考题解答思考题解答棒的平均密度为密度函数在棒的平均密度为密度函数在 上的平均值上的平均值., 0a adxcbxa02)(01 .31

7、2cba 一、计算函数一、计算函数xexy 2在在 2,0上的平均值上的平均值 . .二、二、 某可控硅控制线路中，流过负载某可控硅控制线路中，流过负载R的的)( ti电流电流（如（如教材教材 6-376-37 图）所示，即图）所示，即 2,sin50,0)(00tttttti ，0t其其中中称 为 触 发 时 间 ， 如 果称 为 触 发 时 间 ， 如 果02. 0 T秒秒 ( ( 即即)1002 （1 1） 当触发时间当触发时间0025. 00 t秒时，求秒时，求20 t内电内电 流的平均值；流的平均值；练练 习习 题题(2) (2) 当触发时当触发时0t间间为为时，求时，求 2,0内电流的平均值；内电流的平均值；(3) (3) 要使要使 215 平均平均i安和安和 35安，问相应的触发时间应安，问相应的触发时间应 为多少？为多少？三、三、 算出正弦交流电流算出正弦交流电流tIim sin 经半波整流后得到经半波整流后得到的电流的电流 2,00,sintttIim的有效值的有效值 . .一、一、231e . .二、二