电路理论-5_3冲击响应与阶跃响应

1、1. 冲击响应冲击响应(1) )()()()()()()()(0) 1 (1) 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(tbtbtbtbtyatyatyatymmmmnnn0)0(0)0(, 0)0(, 0)0() 1()2() 1 (nyyyy 因为只有在因为只有在t=0t=0时时,（t t）才对电路系统作）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t t0 0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即：零输入响

2、应。即：0)()()()(0) 1 (1) 1(1)(tyatyatyatynnn)0()0(),0(),0()1()2()1(nyyyy2. h(t)求法求法解：（解：（1 1）建立电路方程：）建立电路方程：)()()(ttutuRc0)0()()()(:LLLittRidttdiL即(1)(1)直接法直接法: : （等效初始条件法）（等效初始条件法）000000)()()(dttdttRidtdttdiLLL1)0()0(LLiiLLiL1)0(LitRidttdiLLLL1)0(0)()(2) (2) 将其转换为等效零输入响应：将其转换为等效零输入响应：1( )( ) (3)intiih

3、 tAeU t（3 3）求解：三要素法得：）求解：三要素法得：)(1)0()(tUeLeitittLL(2)(2)比较系数法比较系数法 因为由电路系统的（因为由电路系统的（1 1）问题转为（）问题转为（2 2）问题，电路系统的）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般解应具有相同的函数形式，一般（1 1） 对于对于n nm m时，若电路系统方程的特征根互异，则由此时，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为得冲击响应为（2）n=m时，若特征根互异：时，若特征根互异： 1( )( )( ) (4)intmiih tbtAeU t（3）nm时，若特征根互异：时，若特征根互异： ( )01

4、( )( )( ) (5)im nntjjijih ttAeU t 若有重根，也可以同理推得公式。若有重根，也可以同理推得公式。 因为特征根是由特征方程求得的，那么只要求得系数因为特征根是由特征方程求得的，那么只要求得系数AiAi和和jj即可，为此采用比较系数法。即可，为此采用比较系数法。例：设描述电路系统例：设描述电路系统I/OI/O微分方程为：微分方程为： )(2)()(3)(4)()1()1()2(tftftytyty试求其冲击响应试求其冲击响应 h(t) 解：（解：（1 1） 求特征根：求特征根： 方程表为：方程表为：)(2)()(3)(4)()1()1()2(ttththth系统微分

5、方程的特征方程为：系统微分方程的特征方程为： 0342即即 0)3)(1(3, 121)1 (32)1 (1)1 ()()()(tUeAtUeAthtt) 1 (32) 1 (32) 1 (1) 1 (1)()()()()()(tUeAtUeAtUeAtUeAtttt)()(3)()(323211teAtUeAteAtUeAtttt)()3()()(32121tUeAeAtAAtt)()3()()()(32121)1(tUeAeAtAAthtt(2)(2)设系统的冲击响应为：设系统的冲击响应为： )()()(321tUeAeAthtt同理：同理： )()9()()3()()()(32121)1

6、(21)2(tUeAeAtAAtAAthtt将将 y(t) = h(t) , f(t) =(t) 等代入给定微分方程得：等代入给定微分方程得：)(2)()(3)(4)()1()1()2(ttththth)()9()()3()()(32121) 1 (21tUeAeAtAAtAAtt)()( 3)()3()()(432132121tUeAeAtUeAeAtAAtttt)(2)()1(tt)(2)()()3()()()1(21)1(21tttAAtAA2312121AAAA212121AA冲击响应为：冲击响应为： )()(21)(3tUeethtt)()(tgdtdth例：已知例：已知LTIS，当

7、激励为，当激励为12U(t)时，响应为时，响应为(2412e-2t)U(t)，试求单位冲击响应。试求单位冲击响应。)()2()(121)(2tUetgtgt（2）求）求h(t)()(2)(2ttUetht解解： （1 1）单位阶跃：）单位阶跃：)()()()()()()()(0) 1 (1) 1(1)(0) 1 (1) 1(1)(tUbtUbtUbtUbtyatyatyatymmmmnnn0)0(0)0(, 0)0(, 0)0() 1()2() 1 (nyyyy2.阶跃响应阶跃响应(1)(1)定义：定义：LTISLTIS在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状态在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状

8、态响应，叫做单位阶跃响应。即：响应，叫做单位阶跃响应。即：(1)()(00tUabtgP)2(tdhtg0)()(强迫响应：强迫响应：(2)求阶跃响应的常用方法求阶跃响应的常用方法（1）由）由h(t) g(t) nitihtUeAtgi1)()()( 故故010( )()( )intiibg tA eU ta由此可采用求冲击响应类似的方法，求得由此可采用求冲击响应类似的方法，求得 g(t)( )( )( )zpzsy tytytb.b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各激励信号呈线性。各激励信号呈线性。c.c.零输入线性：当激

9、励为零时，系统的零输入响应对应各起零输入线性：当激励为零时，系统的零输入响应对应各起始状态呈线性。始状态呈线性。3. LTI电路系统的基本性质电路系统的基本性质0)0()()(1)(ytxtydttdy（1）叠加性）叠加性 若若x1(t)，x2(t)分别激励系统时，相应的零状态响应为分别激励系统时，相应的零状态响应为y1(t)和和y2(t)，它们应当满足方程（，它们应当满足方程（1）（1）0)0()()(1)(1111ytxtydttdy0)0()()(1)(2222ytxtydttdy（2）（3）)()()()(1)()(212121txtxtytytytydtd0)0 ()0 (21yy（

10、4）如果在如果在t=0时，在电路中的相同位置上，同时加入时，在电路中的相同位置上，同时加入x1(t)+x2(t)，则相应的零状态响应为则相应的零状态响应为y(t)，则必然有，则必然有0)0()()()(1)(21ytxtxtydttdy根据微分方程的唯一性充分条件，式（根据微分方程的唯一性充分条件，式（4 4）和（）和（5 5）中，初始）中，初始状态和激励相同，而状态和激励相同，而1/ 1/ 仅决定于电路结构和元件参数，仅决定于电路结构和元件参数，也应是相同的。所以其解也必然相同。也应是相同的。所以其解也必然相同。（5）0)0()()(1)(3133ytxtydttdy（6）而如果用而如果用

11、同时乘方程（同时乘方程（2 2）的两边，则得：）的两边，则得：)0)0(0)0()()(1)(11111yytxtydttdy（7）于是：于是：y(t)=y1(t)+y2(t)()(13tyty这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。这就是说线性时不变电路系统的零状态响应对激励具有均匀性。 由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路由于既满足叠加性，又满足均匀性，所以线性时不变电路系统的零状态响应对各激励信号呈线性。系统的零状态响应对各激励信号呈线性。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。同时也可以证明另两条。也可推到线性时变系统。这个线性系统的性质具有非常重要的

12、意义。这个线性系统的性质具有非常重要的意义。)()(tytfzs f(t) 零状态yzs(t)(tfdtd)(tydtd( )()( )()f tf tty ty tttt根据导数的定义有：根据导数的定义有：)()()(lim)()()(limtydtdtttytytfdtdtttftftt)(tfdtd)(tydtd证毕。证毕。( )( )( )( )dU ttdtd tU tU tdt( )( )( )( )dg th tdtdytg tdt斜试求试求：（：（1）初态加大一倍，输入为）初态加大一倍，输入为f(t)/2 ，系统响应，系统响应 （2）初态不变，输入为）初态不变，输入为f(t-t0)时，系统响应时，系统响应解：解： 设在相同初态和设在相同初态和f(t)作用下，作用下，33( )( )(2sin2 ) ( )( ) 2( )(2sin2 ) ( )tzpzstzpzsyty tet U ty