立体几何中向量法求空间角ppt课件

1、立体几何中-向量法求空间角新泰一中 丁衍君 2019、12、28空间的角：空间的角：空间的角常见的有：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研讨线线角时，就主要求 范围内 的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ；0,2 两个平面所成的角是用二面角的平面角来两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是度

2、量。它的范围是 。 0, 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以思索经过两个向量的夹角去求这些空间角。因此我们可以思索经过两个向量的夹角去求这些空间角。(0, 2 异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D, 与 的关系？CD AB思索：思索：, 与 的关系？DC AB结论：结论：cos|cos,| a b|一、线线角：一、线线角： ab，ab，设直线的方向向量为 ，的方向向量为CAaBbDaabb2n BA ，直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, 设平面 的法向量为 ，则与 的关系？nn BA

3、思索：思索：结论：结论：sin|cos,| n AB 二、线面角：二、线面角： nnBAAB2n BA ，ll三、面面角：三、面面角：二面角的范围：0, 法向量法法向量法 1n 1n 2n 2n 12n n ，12n n ，12n n ，12n n ，cos12cos, n ncos12cos, n n留意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；留意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角同进同出，二面角等于法向量夹角的补角例例12019年福建卷如图，四面体年福建卷如图，四面体ABCD中，中，O、E分别是分别是BD、BC的中点，的中点，I求证：求

4、证：AO平面平面BCD；II求异面直线求异面直线AB与与CD所成角的大小；所成角的大小；III求点求点E到平面到平面ACD的间隔。的间隔。2BDCDCBCA2 ADAB C A D B O E x C A B O D y z E解：解：I提示提示;数量积为零数量积为零 II解：以解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，为原点，如图建立空间直角坐标系，(1,0,0),( 1,0,0),BD 则13(0, 3,0), (0,0,1),( ,0),( 1,0,1),( 1,3,0).22CAEBACD .2cos,4BACDBA CDBA CD 所以异面直线所以异面直线AB与与CD所成角的所成角的余

5、弦值为余弦值为 2.4III解：设平面解：设平面ACD的法向量为的法向量为( , , ),nx y z那么那么.( , , ).( 1,0, 1)0,.( , , ).(0, 3, 1)0,n ADx y zn ACx y z 0,30.xzyz1,y (3,1, 3)n 13(,0),22EC 令令得得是平面是平面ACD的一个法向量，又的一个法向量，又.321.77EC nhn 所以点所以点E到平面到平面ACD的间隔的间隔 x C A B O D y z E例例2、(2019，天津，天津)如下图，在四棱锥如下图，在四棱锥P-ABCD中，底中，底面面ABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PD 底

6、面底面ABCD，PD=DC，E是是PC的中点。的中点。(1)证明：证明：PA/平面平面EDB；(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为证明：设正方形边长为1，那么，那么PD=DC=DA=1.连连AC、BD交于交于G点点DADC DP 以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系。如图所示。则(0 0 0)(0 01)(10 0)(010)(110)DPACB， ， ， ， ， ，(101)PA ， ，1 1(0)2 2EPCE又 为中点，点坐标为 ，1 1(0)2 2GBDG 为中点，点坐标为，11(0)

7、22EG ， ，2/PAEGPAEGPAEGPAEG 可得。因为与不共线，所以/PAEDBEGEDBPAEDB又平面，平面平面(2)求求EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值。所成的角的正切值。ABCDPEGxyz(1)(0 0 0)(0 01)1 1(110)(0)2 2DPBE由知， ， ， ， ，PDABCDPDABCD 解：因为平面，所以是平面的法向量。11(0 01)(1)22PDEB ， ， ，10062cos6312PD EB ，所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正弦值为所成的角的正弦值为66所以所以EB与底面与底面ABCD所成的角的正切值为所成的角的正切值为55zxy

8、 方向朝面内，方向朝面内， 方向朝面外，属方向朝面外，属于于“一进一出的一进一出的情况，二面角等情况，二面角等于法向量夹角于法向量夹角mn1、如图，知：直角梯形、如图，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的角的余弦值所成的角的余弦值 (2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (3)二面角二面角BASO的余弦值的余弦值OABCSxyz【测试】【测试】 OABCSxyz(1)OAOC OS 解：以， ， 为正交基底建立空间直角坐标系如图。(0 0 0)(0 01)(2

9、 0 0)(110)OSAB则， ， ， ， ，(2 01)(110)SAOB ， ， ， ，20010cos552SAOB ，1、如图，知：直角梯形、如图，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(1)异面直线异面直线SA和和OB所成的所成的 角的余弦值角的余弦值 OABCSxyz1、如图，知：直角梯形、如图，知：直角梯形OABC中，中， OABC,AOC=90，SO面面OABC， 且且OS=OC=BC=1，OA=2。求：求：(2)OS与面与面SAB所成角的余弦值所成角的余弦值 (2)(2 01)(111)SASB解：， ， ， ，()SABnxyz设平面的一个法向量为， ，201120 xzxyzxyz 取，则，(112)(0 01)SABnOS 故平面的一个法向量为， ，又， ，0026cos316nOS ，所以所以OS与面与面SAB所成角的余弦值为所成角的余弦值为33OABCSxyz(112)SABn 解：由(2)知平面的一个法向量为， ，OCSAOOCSAO 又由平面知是平面的法向量