第11章 梁与结构的位移

1、第十一章第十一章 梁和结构的位移梁和结构的位移11-1 概述11-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分11-3 叠加法11-4 单位荷载法11-5 图乘法11-6 线弹性体的互等定理11-7 结构的刚度校核11-1 概述概述l1研究的对象：微小、弹性变形情况下，静定梁和静定结构的位移计算。l2计算位移的目的： （1）刚度验算变形符合使用要求 （2）超静定结构内力分析变形条件“鸟巢”-国家体育场整个卸载工作将拆除鸟巢钢结构的78个临时支撑钢柱，钢结构在独立承担重力后将出现不同程度的下沉，最大下沉距离不超过30厘米。根据设计要求，外圈的下降总量将控制在6770毫米，中圈161178毫米，内圈2082

2、86毫米。 l3位移结构杆件横载面的位置发生的移动（1）挠曲线梁的变形曲线称为挠曲线。（2）挠度梁横截面沿与梁轴线垂直方向的线位移称为梁的挠度。（3）转角截面绕中性轴转过一角度，称为该点处横截面的转角。它等于挠曲线上这点处的斜率。如图所示梁变形后的曲线称为挠曲线，其曲线方程如图所示梁变形后的曲线称为挠曲线，其曲线方程( )f x称为称为挠曲线方程挠曲线方程。另截面挠度为截面位置的单值连续函。另截面挠度为截面位置的单值连续函数，且在小变形情况下，截面转角：数，且在小变形情况下，截面转角：dtg dfx小变形小变形即挠曲线上任意点的即挠曲线上任意点的斜率斜率为该点处横截面的为该点处横截面的转角转角

3、。l4求位移两种方法（1）挠曲线方程：确定梁的位移梁的位移方便。（2）单位荷载法及图乘法：确定结构的位移结构的位移方便，不但适用于荷载产生的位移，而且可求支座移动、温度变化所引起的位移。11-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分梁的挠曲线近似微分方程及其积分纯弯曲梁纯弯曲梁 1ME Iz剪切弯曲，当梁的高跨比较小（剪切弯曲，当梁的高跨比较小（ h / l 00)( xffxM00)( xf( )( )MxfxEI 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：二、求挠曲线方程（弹性曲线）二、求挠曲线方程（弹性曲线）)()(xMxfEI 1( )( )d,( )( )EIfxM xxCxfx12

4、( )( ( )d )d,( )EIf xM xxxC xCf x 1.微分方程的积分2.位移边界条件PABCPD讨论：讨论： 适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条边界条件、连续条 件件）确定。）确定。 优点：使用范围广，直接求出较精确；优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。缺点：计算较繁。支点位移条件：支点位移条件：连续条

5、件：连续条件：光滑条件光滑条件：0Af0Bf0Df0DCCffCC右左或写成CC右左或写成CCffPABCPD例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程( )()M xP Lx 写出写出微分方程并积分微分方程并积分)()(xLPxMfEI 211()2EIEIfP LxC 213)(61CxCxLPEIf解：PLxf应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数061)0(23CPLEIf021)0()0(12CPLfEIEI322161 ; 21PLCPLCxfPL写出挠曲线

6、方程并画出曲线写出挠曲线方程并画出曲线3233)(6)(LxLxLEIPxfEIPLLff3)(3maxEIPLL2)(2max端点处：端点处：最大挠度及最大转角例例2简支梁挠曲线简支梁挠曲线解：解：建立坐标系并写出弯矩方程建立坐标系并写出弯矩方程231146EIwEIqlxqlxC 22121)(qxqlxxM34111224EIwqlxqlxCxD 211( )22EIwM xqlxqx 写出写出微分方程并积分微分方程并积分qABLx应用位移边界条件应用位移边界条件求积分常数求积分常数440,0,(0)01,0,( )0241,024ABxwEIwDxl wEIw lqlClDCqlD 写

7、出弹性曲线方程并画出曲线写出弹性曲线方程并画出曲线323433(46)24(2)24zzqwxlxlEIqwxlxl xEI4max3538424zBzqlwEIqlEI最大挠度及最大转角最大挠度及最大转角qABLx11-3叠加法叠加法一、载荷叠加：一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和变形的代数和。)()()()(221121nnnPPPPPP )()()()(221121nnnPfPfPfPPPf 挠度：挠度：转角：转角：例1按叠加原理求按叠加原理求A C点转角挠度

8、点转角挠度PP=+AAABBBCaa解、解、载荷分解如图载荷分解如图由梁的简单载荷变形表，由梁的简单载荷变形表， 查简单载荷引起的变形。查简单载荷引起的变形。EIPafPC63EIPaPA424524qCqafE IEIqaqA33叠加叠加qAPAA)43(122qaPEIaEIPaEIqafC624534qPP=+AAABBBCaa例例2 如图所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EI为常数，求为常数，求B点位移及转角。点位移及转角。 3344( /2)648( /2)8128CqCqq lqlEIEIq lqlyEIEI查表Fl/2ql/2ABC2323BPBPFlFlyEIEI

9、，解：1)在F作用下2)在q作用下ABqABCyBqyCq Cq BFFyBFB查表：C3448B 72384BqCqBqCqCqqlEIlqlyyEI则在 点3) )在在q和和F共同作用下共同作用下BBPBqBBPBqyyy11-4单位荷载法单位荷载法&外力的功外力的功实功：例如：力在本身引起的位移上作的功。111W2P虚功:力在其它因素引起的位移上作的功。力与位移是彼此无关的量彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态彼此无关的状态。例如：W12=P12&变形体的虚功原理变形体的虚功原理 变形体平衡的必要和充分条件是：对任意微小虚位移，变形体平衡的必要和充分条件是：

10、对任意微小虚位移，外力所作的虚功外力所作的虚功总和等于此变形体各微段上总和等于此变形体各微段上内力所作的变形内力所作的变形虚功虚功总和。即总和。即 W外=W内W外外外力虚功 W内内内力虚功变力做功变力做功贮能贮能2001122WPdk dkP 外力缓慢做功外力缓慢做功W ，无损失地转化为变形位能，无损失地转化为变形位能U，贮存于弹性贮存于弹性体内部：体内部： U = W 进而计算可变形固体的位移、变形进而计算可变形固体的位移、变形和内力，称为能量方法。和内力，称为能量方法。 P 广义力（力，力偶）广义力（力，力偶） 广义位移（线，角位移）广义位移（线，角位移）Pd2001122WPdk dkP

11、 11-4-2线弹性杆件的变形位能线弹性杆件的变形位能1( )2dWN x d2( ) d2LNxUWxEAdNdxEEA1.1.轴向拉压杆的变形能计算轴向拉压杆的变形能计算 微元微元 dx dx 上轴力上轴力N(x)N(x)做功做功NdxdEA 1( )2dWN x d1( )2dWT x d( )pT x dxdGI( )pdxT x dxddxGGI 2.2.扭转杆的变形能计算扭转杆的变形能计算微元微元 dx dx 上扭矩上扭矩T(x)T(x)做功做功2( ) 2LPTxUWdxGI3.3.弯曲杆的变形能计算微元弯曲杆的变形能计算微元 dx dx 上弯矩上弯矩M(x)M(x)做功做功12

12、dWMd()y ddyMdEEI 1MEIdxMdxdEI2( ) d2LMxUWxEI四、变形能的普遍表达式四、变形能的普遍表达式1 1、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直、轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直, ,相互不做功相互不做功2 2、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力、变形能与加载次序无关，位能相互叠加（略掉剪力 的影响）的影响）222( )( )( )ddd222LLLPNxTxMxUxxxEAGIEI(例题：例题：11-6,7)11-4-3 单位荷载法单位荷载法1研究的对象：一般为研究的对象：一般为变形情况下静定结变形情况下静定结构的位移计算。构的位移计算。(包括梁、刚架、桁架

13、等各种结构包括梁、刚架、桁架等各种结构)2理论依据理论依据（1）变形位能在数值上等于外力在变形过程中所）变形位能在数值上等于外力在变形过程中所作的功。（适用于所有的变形体）作的功。（适用于所有的变形体）加载方式假定：外力由零逐渐增大，变形过程中动加载方式假定：外力由零逐渐增大，变形过程中动能始终为零。能始终为零。（2） （适用于线弹性的梁）（适用于线弹性的梁）2( )122PPLMxdxPEI对应一般结构对应一般结构kiP1P变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)如图示，求如图示，求k点竖向位移点竖向位移.由变形体虚功方程由变形体虚功方程:We =Wi We =P iP， P=1Wi =N

14、iP +QiP +MiP ds iP =NiP +QiP +MiP ds -适用于各种杆件体系适用于各种杆件体系(线性线性,非线性非线性).线弹性时线弹性时PiipM MdsEIPiipF FdsEA对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：EIMGAQkEANPPPPPP , ,dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 适用于线弹性适用于线弹性直杆体系直杆体系 杆件结构位移计算的一般公式 受弯梁：PiipM MdsEI 拉压杆：注意事项注意事项注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4)

15、 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) 一般公式右边三项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。 通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程通过虚设单位广义力作用的力状态，利用虚功方程求位移的方法求位移的方法单位荷载法。单位荷载法。虚拟状态的设置：在应用单位荷载法计算时，应据所求位移 不同，设置相应的虚拟单位力状态相应的虚拟单位力状态。 例例 1：已知图示粱的：已知图示粱的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。1PxlhbqAdsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.0)(, 0)(xNxNPi( )1,

16、( )()iPQ xQxq lx2( ),( )() / 2iPM xxl Mxq lx dxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl)(5 . 2/,10/1/, 5/6,12/,3钢砼GElhkbhIbhAGAqklEIqlQM2,8:24设24GAlEIkMQ1001MQ 对于细长杆对于细长杆,剪切变形剪切变形对位移的贡献与弯曲变对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计形相比可略去不计. 例2 求图示刚架A点 的 竖 向位移Ay。E、A、I为常数。ABCqL LLAABC1解：1. 设置单位力状态xx选取坐标如图。则各杆弯矩方程为:AB段：xM BC段：LM2.

17、实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MP=MP=xx2qx22qL23. 可得：Ay=EI8qL54，()EIdsMMP=l0(-x)(-2qx2)EIdx+l0(-L)(-2qL2)EIdx1. 梁和刚架梁和刚架KP=EIdsMMP2.2.桁架桁架KP=EALNNdsEANNEAdsNNPPP3. 组合结构组合结构KP=EIdsMMPEALNNP 在实际计算时，根据结构的具体情况,位移计算公式可以简化：11-5 图乘法图乘法MKP=EIdsMMP 1. 图乘法: 计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算下面的积分 （1）杆轴为直线； （2）EI=常数； 和M两个弯矩图中 至少有一个是直线

18、图形。（3）当结构符合下述条件时：上述 积分可以得到简化，积分式可用 和M图形互乘表示M 设等截面直杆AB段的两个弯矩图中， 为一段直线，MP图为任意形状，则上式中的ds可用dx代替。故 且tan=常数，则积分为：ta nMxMP图图xy面积面积 ABOABMPMdxd =MPdxx图MMtantanPpMM dsxM dxxdEIEIEIMP图xy形心形心C面积 ABOABMPMdxd=MPdxxxC图MyCyC=xCtg 有而CxxdtanPMM dsxdEIEItan PcCMM dsxEIEIyEI 则积分运算化简为一个弯矩图的面积乘以其形心处所对应的另一个直线弯矩图上的竖标 yC。

19、如果结构上所有各杆段均可图乘则位移计算公式可写成KP=CPyMM dsEIEI2. 图乘法的注意事项（1）必须符合上述三个前提条件（2）竖标yC只能取自直线图形（3）与yC若在杆件同侧则乘积取正 号，反之取负号。3. 常用的几种简单图形的面积和形心Lh2L/3L/32hL形心Lhab（L+a)/3(L+b)/32hL形心Lh二次抛物线顶点L/23hL2二次抛物线Lh3L/4L/43L/85L/8 1 21=2(hL) /32= (hL) /3顶点4 .图乘的技巧： 当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别与另一图形相乘，然后把所得结果叠加。图MMP图abcd dL则)y2

20、bLy2aL(EI1baya=2/3c+1/3dyb=1/3c+2/3d图MMP图abcd dyayb此时ya=2/3c1/3dyb=2/3d1/3cybyadxMMEI1P当当yC所属图形是由若干段直线组成时，或各杆所属图形是由若干段直线组成时，或各杆段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。段的截面不相等时，均应分段相乘，然后叠加。123y1y2y3123y1y2y3=EI1 (1y1+ 2y2+ 3y3)I1I2I3=333222111EIyEIyEIy例 求下图所示刚架C、D两点间距离的改变。设EI=常数。ABCDLhqMP图图M11hhyC=h形心8qL2解： 1. 作实际状态的MP

21、图。2. 设置虚拟状态并作图M。3. （）CD=EI=EI1(328qL2L)h=12EIqhL3yC 例 求图示刚架A点的竖向位移Ay 。ABCDEIEI2EIPLLL/2解： 1. 作MP图、图MP2PL2PLPLMP图图M1L；2. 图乘计算。Ay=（）2PL4PLEIyC=EI1(2L L2PL(L 4=16EIPL2)-2EI123L)PL2EIEIEI 例 求图示外伸梁C点的竖向位移Cy。 EI=常数。qABCL2L28qLM图11y2y3+解：1. 作MP图2. 作M图3. 图乘计算y1=8L3y2=3Ly3=4LCy=)(EI128qLEIy4Cy128qLMP图28qL232

22、L11-6 线弹性体的互等定理线弹性体的互等定理&功的互等定理功的互等定理应用条件应用条件:1):1)P P ;2);2)小变形。即小变形。即: :线性变形体系。线性变形体系。1. 功的互等定理功的互等定理: :P1P2N N1 1 M M1 1 Q Q1 1GAkQEIMEAN1011111F1F2GAkQEIMEAN2022222N N2 2 M M2 2 Q Q2 22112PWdsGAkQQEIMMEANN2121211221PWdsGAkQQEIMMEANN1212121221PP 即即线弹性体上第一组外力（已达最终值）在由第二组外力引起的相应位移上所作的总虚功，等于第二组外

23、力（已达最终值）在由第一组外力引起的相应位移上所作的总虚功。功的互等定理2. 位移互等定理位移互等定理2112= PP212121若：P1=1，P2=1P2P12112 由单位荷载由单位荷载P P1 1=1=1所引起的与荷载所引起的与荷载P2相应的位移相应的位移2121等于由单等于由单位荷载位荷载P2=1所引起的与荷载所引起的与荷载P1相应的位移相应的位移12 。注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。3 反力互等定理反力互等定理k11k21k22k12kck221120ckk221110c1=1c2=11221kk 在任一线性变形体系

24、中，由单位位移在任一线性变形体系中，由单位位移C1 1=1=1所引起的与位移所引起的与位移C2 2相应的相应的反力反力r r2121等于由单位位移等于由单位位移C2 2=1=1所引起的与位移所引起的与位移C1 1相应的反力相应的反力r r1212 。 注意注意: :1）这里支座位移可以是广义位移这里支座位移可以是广义位移, ,反力是相应的广义力。反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用与超静定结构。反力互等定理仅用与超静定结构。11-7 结构的刚度校核结构的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)：以梁为例式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比