第一章微分方程基础

1、高等数学高等数学 第一章第一章 微分方程微分方程1.1 微分方程的概念微分方程的概念1.2 一阶线性微分方程一阶线性微分方程1.3 可降阶的高阶微分方程可降阶的高阶微分方程1.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1.5 微分方程在实际中的应用举例微分方程在实际中的应用举例本章主要内容本章主要内容 1,M x yx例 、求过（2，1）点，且在曲线上任一点 （）处的切线斜率等于2 的曲线方程.解( ).yf x设所求曲线的方程为 2 ,dyxdx其中曲线过（2,1）点积分积分3,C 求得2 3.yx所求曲线方程为2y xC1.1 微分方程的基本概念微分方程的基本概念解,( )tsss

2、t设制动后秒钟行驶米4.022 dtsd0,2000ttsdtds代入条件后知代入条件后知1220,0CC20.220 .stt 10 .4d svtCd t 故故2120.2stC tC 0.420,dsvtdt 定义、把含有未知函数的导数或微分的方程叫定义、把含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程做微分方程例如例如 25430,50,3,3105sin .yxydyxdxx yxyxyyy xyyxx定义定义微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶的阶数叫做微分方程的阶. .( )( ,)0,nF x y yy(1),nx y

3、yy 一般地，一般地，n n阶微分方程的形式是阶微分方程的形式是其中其中中的某些变量可以不出现中的某些变量可以不出现.(4)50ey定义定义如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为如果将一个函数代入微分方程中，使方程成为恒等式，则称这个函数是该微分方程的解恒等式，则称这个函数是该微分方程的解. .2yxC23yx2d yxd x例如例如2120.2stC tC 20.220 ,stt 220.4d sdt 定义定义如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解叫做微分方程

4、的通解解叫做微分方程的通解. . 2dyyxC Cxdx函数为任意常数 是=2 的通解.例如例如22121220.2C ,C0.4d sstC tCdt 函数(为任意常数)是的通解.定义、如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解定义、如果微分方程的一个解不含任意常数，则称这个解是微分方程的某一个特定条件下的解，简称为特解是微分方程的某一个特定条件下的解，简称为特解. .例如例如2220.2200.4d ssttdt 函数是的特解.2dyyxxdx函数-3是=2 的特解.用来确定任意常数的条件叫做初始条件用来确定任意常数的条件叫做初始条件. .,12,120,0,20,xydstsvdt例如

5、 例 中的时和例 中的时都是初始条件.求微分方程的解的过程叫做解微分方程求微分方程的解的过程叫做解微分方程. .注意注意如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微如果不特别声明，也没有给出初始条件，解微分方程就是求微分方程的通解分方程就是求微分方程的通解.解解sincos,dykktkktdt 求导，得 2222cossin,d ykktkktdt 2223cossin0yktktdykykdt例、 验 证是 微 分 方 程的 解 （为 常 数 ） 。22(cossin)(cossin)0.kktktkktkt22,d yxdt将和 的表达式代入所给微分方程中 得cossin.yktkt故是所给

6、微分方程的解23sin5.yxx例4、解微 分方程2(3sin5),y dxxxdx解、对两端积 分，得 31 cos5.yxxxC即 31(cos5)y dxxxxC dx对上式再积分，得，421215sin.42yxxxC xC即 20sin),|3.xdyxxdx y例5、解微分方程方 程（32(3sin),dyxxdx解:对两端积 分，得 313cos.3yxxC 0|36.xyC将初始条件代入上述通解中，得313cos6.3yxx所以，满足初始条件的特解为 内容小结(1)微分方程的定义(2)微分方程的求解22.yxy例1、解微分方程 很明显，直接积分法是行不通的很明显，直接积分法是行

7、不通的. .将方程写成形式将方程写成形式22,dyxydx20dxyyxy上式两端同乘以 ，并同除以，把变量 和“分离”，212.dyxdxy得 212.dyxdxy两端求积分，得21-,xCCy即其中 是任意常数.22y dxxy dx22.yxy dx1.2 一阶线性微分方程的微分方程一阶线性微分方程的微分方程( ) ( )dyf x g ydx求解可分离变量的微分方程的步骤如下：1( )( )0 .( )dyf x dx g yg y第一步 分离变量 ，1( ).( )dyf x dxg y第二步 两边积分 ( )( ),G yF xC第三步 求出积分 1( )( )( )( )G yF

8、 xf xCg y其中，分别是，的原函数， 为任意常数.可可分离变量的微分方程x2y2 y.解微分方程 例 2.dyxydx 原方程可改为 解 20 .dyxdx yy分离变量，得12,dyxdxy两边积分，得 2211 xCCxyee e即，2211().CCxxye eCeCe所求微分方程的通解为 想一想、函数想一想、函数y=0=0是本题中微分方程是本题中微分方程的解吗？如果是，的解吗？如果是，它是否包含在上述它是否包含在上述通解中？通解中？03)|1.xxyyeyx求微分方程（1+e满足初始条件 例 的特解.1xxeydydxe 原方程可 解改为 两边积分，得 21ln(1).2xyeC

9、01|1ln22xyC把初始条件入上式，求得22ln(11 2ln2xye 所求微分方程的特解为 ）定义定义( )( )dyP x yQ xdx形如的方程一阶线性微分方，称为，简称程线性方程.( )0,( )0dyQ xP x ydx .( )0,( )( )dyQ xP x yQ xdx.特点：所含未知函数和未知函数的导数都是一次的特点：所含未知函数和未知函数的导数都是一次的. .一阶齐次线性微分方程一阶非齐次线性微分方程5321,yyx2(sin )cos ,yx yx350.xyx y353 ,yyx2sin ,yyyx4ln0.yy是是否否1.2.2一阶齐次线性微分方程一阶齐次线性微分

10、方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法1. 线性齐次方程线性齐次方程( )0.dyP x ydx(使用分离变量法使用分离变量法)( ),dyP x dxy 1ln( ),yP x dxC 齐次方程的通解为齐次方程的通解为1( )|.P x dxCye e1( ).P x dxCye e ( ).P x dxyCe1CCe 10yx微分方程y -例4 2. 线性非齐次方程线性非齐次方程( )( ).dyP x yQ xdx( )Cu x令( )( )P x dxyu x e( )( )( )( ) ( ),P x dxP x dxyu x eu x P x eyy将 和 代入原方程得积

11、分得积分得( )( )( ).P x dxu xQ x edxC（常数变易法）（常数变易法）( )( )( ),( ).P x dxP x dxu eQ xuQ x e一阶线性非齐次微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e( )( )( )( ).P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx对应齐次方程通解对应齐次方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解常数变易法求解一阶非齐次线性方程的步骤：常数变易法求解一阶非齐次线性方程的步骤： ( )1P x dxyCe求齐次线性方程的通解：； ( )( )2( )C( )(

12、 )( )P x dxP x dxu xyCeu xyu x eu x求：将中的常数 换为待定函数（即常数变易），得到非齐次线性方程的解得形式，并将它代入原非齐次线性方程中，求出； ( )3( )( )P x dxu xyu x e求非齐次线性方程的通解：将求出的代入，得到非齐次线性方程的通解.解法 公式法2( )2 , ( )cos,xP xx Q xxe因为所以由一阶非齐次线性方程的通解的公式得222cosxdxxdxxyexeedxC222cosxxxexee dxC2cosxexdxC2sin.xexC2x2xcos5 .yyxe例 求方程的通解31-0 1 |6xxyyxy 例 求微

13、分方程满足条件的特解.2 11- . yyxxx解 原方程改写为 2 11( )-,( ),P xQ xxxx令代入通解公式得112 3111.2dxdxxxyexedxCxCxx11|0.2xyC3111.22yxx所以特解为 例例4 已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放已知某种放射性元素的衰变率与当时尚未衰变的放射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律射性元素的量成正比，求这种放射性元素的衰变规律.解解 设这种放射性元素的衰变规律是设这种放射性元素的衰变规律是Q=Q(t). 依题意，有依题意，有,(0).dQkQ kkdt 为比例常数，且分离变量，得分离变量，得.dQkdtQ

14、 ,dQk dtQ 两端积分，得两端积分，得0ln.QktC 000kt CCCktktQeeeCeCe即，（）.11 -ln().tmgkvCkm1t .kkCmmgevCeCkK 将初始条件将初始条件 代入上述通解中，得代入上述通解中，得 0|0tv.mgCk t(1).kmmgvek特解为.dvmmgkvdt0|0.tv,dvdtmgkvm.dvdtmgkvm例例5 5 一物体在空中下落，所受空气阻力与速度成正一物体在空中下落，所受空气阻力与速度成正比，当时间比，当时间t t=0=0时，物体的速度为零，求该物体下落的速度时，物体的速度为零，求该物体下落的速度与时间的函数关系与时间的函数关

15、系. .解解 设物体下落的速度为设物体下落的速度为v(t).同时受到重力同时受到重力P与阻力与阻力R的作用的作用物体所受的合外力为物体所受的合外力为 F = mg kv.根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律F=ma,得到得到v（t）应满足方程）应满足方程sin(,)( ). mmEEtERLi t如图所示的电路中，电源电动势为都是常数 ，电阻 和电感 都是常量.求电流随时间的变化规律例3 (1)解列方程.0.diELiRdtsinsin.mmEdiREEtitdtLL把代入上式得0|0.ti(2) ( ),( )sin,mERP tQ ttLL求通解.令代入通解公式得.diREidtLL( )si

16、n.RRttmLLEi teetdtCL222( )sincos,RtmLEi tRtLtCeRL方程通解为C其中为任意常数.(3) 求特解.将初始条件代入上述通解中，得222mLECRL)cossin(sin2222tLtRLLRetdtetLRtLR222222( )sincos.RtmmLELEi tRtLteRLRL222222(4) .cossinRLRLRL讨论令，222222( )sin-.RtmmLELEi tteRLRL（）正弦函数正弦函数 趋于零趋于零2( ,)yf x y、型的微分方程3( ,)yf y y、型的微分方程)1( )nyf x（、型的微分方程1.3可降阶的高

17、阶微分方程可降阶的高阶微分方程1cos2yxx例 、求微分方程 的通解定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程定义：二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程)1( )nyf x（、型的微分方程，特点是右端仅含x的函数，方程只要连续n次积分就可得通解21sinyxxc解 ： 逐 项 积 分 ， 得3121cos3xxc xc y4212311sin122yxxcxc x c再积分得通解：2. 型的微分方程型的微分方程 (不显含不显含y的微分方程的微分方程)解法：解法：,yP令.yP则代入原方程代入原方程, 得得( , ).Pf x P11( ,)( ,).Px Cyx C求得其通解得1(

18、,).yx C dx对两端积分，得这种解微分方程的方法称为降阶法.( ,)yf x y通解通解 1 .yyx例2，求微分方程的通解,ypyp令则将它们代入原方程1.ppx2121.2yC xC则原微分方程的通解为解解11dpdxpx1lnlnlnpxC1pC x1yC x3. 型的微分方程型的微分方程(不显含不显含x的微分方程的微分方程) yp令( , ),yf y y将它们代入中得( , ).dppf y pdy原方程的通解为1.dyx21C(y,C )( ,)yf y ydpdp dydpdpyppdxdy dxdydy1( ,)py C1( ,)yy C2 0.yyy例 求微分3方程 的

19、通解,dpypypdy 令则将解它们代入原方程20.dpyppdy.xye1C2则原微分方程的通解为Cdpdypy1lnlnlnpyC11pC yyC y或1.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程1. 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构2. 2. 二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程3. 3. 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程1.4 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程定义定义1、对于两个不恒等于零的函数、对于两个不恒等于零的函数y1与与y2，如果存在一个常数，如果存在一个常数C，使，使y2=Cy1，则称函数，则称函数y2与与y1线性相关；否则

20、，称函数线性相关；否则，称函数y2与与y1线性无关线性无关.2121221221,();.3xxxxyyyCyyeyeeye3由 定 义 知 如 果 函 数与线 性 相 关 则 它 们 的 比常 数否 则 就 线 性 无 关函 数和线 性 相 关 ；y与线 性 无 关 。1. 线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构定义定义2( ) ( )( )yP x yQ x yf x方程,( ),( ),( ).P x Q xf xx二阶称为其中都是 的连线性微分方程续函数(1)( )0,(1)( ) ( )0, (2)f xyP x yQ x y当时 方程成为 ( )0,(1)f x 二阶齐次称为,当

21、时方程线性微分方程称为二阶非齐次线性微分方程.定理定理1 1 如果函数如果函数y1，y2都是方程都是方程(2)(2)的解，则的解，则y=C1y1+C2y也是也是方程方程(2)(2)的解，其中的解，其中C1 1，C2 2 是任意常数是任意常数. .证证 将将y=C1y1+C2y2代入代入(2)(2)式左边，得式左边，得定理定理1 1表明，齐次线性方程的解具有叠加性表明，齐次线性方程的解具有叠加性. .根据定理根据定理1 1，可由方程，可由方程(2)(2)的两个解，构造出任意多个解的两个解，构造出任意多个解. .11221122112211112222()( )()( )()( )( )( )(

22、).C yC yP x C yC yQ x C yC yC yP x yQ x yC yP x yQ x y0 0 xxeyey22213,20yyyxxeCeCy22213112211221122()( )()( )()C yC yP x C yC yQ x C yC y定理定理2 2（二阶齐次线性微分方程解的结构定理）如果函数（二阶齐次线性微分方程解的结构定理）如果函数 都是方程都是方程(2)(2)的两个线性无关的特解，则的两个线性无关的特解，则 21, yy2211yCyCy是方程是方程(2)(2)的通解，其中的通解，其中 是任意常数是任意常数. .21,CC定理3 （二阶非齐次线性微分

23、方程解的结构定理） 设y*是二阶非齐次线性微分方程（1）的一个特解，Y是它对应的齐次方程(2)的通解，则y=Y+y* 是二阶非齐次线性微分方程（1）的通解。(* )( )(*)( )(*)( )( ) *( ) *( ) *.YyP x YyQ x YyYP x YQ x YyP x yQ x y0 f (x) 02 yyy212xxyC eC e4121*xy4121221xeCeCyxx* (1),yYy把代入方程中证得(*)( )(*)( )(*)YyP x YyQ x Yy2. 2. 二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程在二阶常系数齐次线性方程在二阶常系数齐次线性方程( )(

24、)0yP x yQ x y,( )( )yyP xQ x中 如果的系数，都是常数，则上式为二阶常系其中p,数齐次线q是常数性微,叫做分方程.0,ypyqy121 1222,0,:.ypyqyyyyC yC y根据定理 只需取出方程的两个线性解无关的特解 与则就是它的通解法0ypyqy微分方程的特征方程为20.rprq.r特征方程的根 叫做微方程的特征根分2121,24,2ppqr rr特征方程的两个根可以用公式.:求 出 它 们 有 下 列 三 种 情 况（1 1）有两个不相等的实根）有两个不相等的实根: :12120.r xr xypyqyyC eC e方程的通解是340.yyy 例1，求微

25、分方程的通解 解、所给微分方程的特征方程为2340rr12124,1().rrrr 412.xxyC eC e所以方程的通解为21rr (2) (2) 有两个相等的实根有两个相等的实根: :0ypyqy方程的通解:12();rxyCC x e rrr212020 20 |4,22|-ttd sdsssdtdts 求微分方程满足例初始条件的特解.2 210,rr 其特征方程为 解所以，所求方程的通解为12().tsCC t e0012|4,|-2,42.ttssCC，(42 )tst e所求特解为.2(1)0.r1.r (3) (3) 有一对共轭复根有一对共轭复根：12,( ,R,0).ri r

26、i 0ypyqy方程的通解为12(cossin).xyeCxCx4130.yyy例3、 求微分方程的通解24130,rr特征方解程为 1 223 ,ri，212(cos3sin3 ).xyeCxCx所以方程的通解为二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤: :（1）写出微分方程相应的特征方程）写出微分方程相应的特征方程;（2）求出特征方程的特征根）求出特征方程的特征根;（3）根据特征根的不同情况）根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解. (见下表见下表)0 qyypy 特征根的情况特征根的情况 通解的表达式通解的表达式实根实根21rr 实根实根2

27、1rr 复根复根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 20rprqxxo004 OmOxv弹簧上端固定,下端挂一个质量为 的物体，点为平衡位置.如果在弹性限度内用力将物体向下一拉,随即松开，物体就会在平衡位置上下作自由振动,忽略物体所受的阻力(如空气阻力等)不计,并且当运动开始,物体的位置为,初速度为,求物体的例运动规律.( ).xx t 设物体的运动规律为解,fkx 弹性恢复力根据牛顿第二定律 得kxdtxdm22220.d xkxdtm2222,0.kd xxmdt令则有220,.rri 其特征方程为特征根为12cossi

28、n.xCtCt12sincoscos.xCtCt Asin().xt0000,vxxxtt0102,.vCx C00cossin.vxxtt)(tan)sin(0022020vxtvxxA3. 3. 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程( ) ( )0 .ypyqyf xf x1122*1122 0, ( ) , ( )ypyqyC yC yypyqyf xyyC yC yyypyqyf x先求出它对应的齐次方程 的通解再求出的一个特解 ，将他们相解法加得即为的通解.( )(1) ( ),.xnnf xe P xP xn，其中是一个 次多项式是常数*( )( ).,0;1;2.kx

29、nnyx Q x eQ xnkkkk有形如的特解,其中是一个待定的 次多项式, 是一个整数当 不是特征根时当 是特征根,但不是重根时,当 是特征根,且为重根时,xnexPqyypy)( 233.51yyyx求微分例方程的通解该方程对应解 的齐次方程为230.yyy2230.rr121,3.rr 312.xxyC eC e齐次方程的通解为0( )310( )31.xnf xxeP xx，0*AB.kyx取，可设原方程的特解为*,0.yAy 23()31,AAxBx代 入 原 方 程 ， 化 简 得32331.AxABx33,231.AAB11,.3AB 1*.3yx 3121.3xxyC eC ex原方程的通解为22 4.6xyyxe求微分方程的通解例