山东专升本辅导--中值定理和导数的应用

1、山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用总要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。历年考点章考察点年份2005200620072008200920101极限与连续定义域（注意反三角函数）1111极限与连续又要极限（

2、两个）11121极限与连续连续定义11极限与连续分段函数连续性11极限与连续间断点类型（小分类）211极限与连续数列极限11极限与连续分段函数分段点处极限11极限与连续复合函数求值11极限与连续函数极限（通分约零因子）111极限与连续有界函数与无穷小乘积是无穷小11极限与连续求反函数11极限与连续高阶、低阶、同阶无穷小111极限与连续两已知函数复合，求复合后函数11极限与连续分段函数分段点处连续，求a值11极限与连续y=eA（-1/x）为无穷大，求x趋向12导数与微分导数定义11112导数与微分复合函数微分112导数与微分微导存在与可微关系112导数与微分隐函数求导（定点）12导数与微分得指函

3、数求导、微分112导数与微分隐函数全微分12导数与微分参数方程求导12导数与微分判断函数连续、可导性（绝对值函数）12导数与微分对应法则不具体函数求微分12导数与微分f'(xA2)=1/x,则f(x)=12导数与微分两函数商的微分公式12导数与微分求函数不可导点的个数f（x）=x（xA2-1）|x|12导数与微分f(x)可导，已知f'(x),求(f(g(x)12导数与微分f(x)=x(x-1)(x-2)(x-99),求f'(x)12导数与微分y=lnx,求y的n阶导数，y=1/（xA2-2x-3）,求y的n阶导数22导数与微分d(sinx)/d(xA2)=13中值定理与

4、导数应用法线方程13中值定理与导数应用导数应用切线1113中值定理与导数应用单调区间、单调性113中值定理与导数应用求函数极限（L法则）11113中值定理与导数应用应用-最优化（用料最省，面积最大）1113中值定理与导数应用证明：微分中值定理1113中值定理与导数应用驻点13中值定理与导数应用最值点11/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用3中值定理与导数应用证明：导数、单调性证明不等式13中值定埋与导数应用求斜率13中值定理与导数应用综令：来函数隼调区间、极值、凹凸区间、拐点12113中值定埋与导数应用蓼数方程中过定点切线方程计算13中洎定埋与导数也用求切点13中值定理与导数应

5、用判断国数隼调性、凹凸性13中值定理与导数应用来函数极限（通分后L法则）14不定枳分不定枳分（概念）计算1114不定枳分不定枳分（分部枳分、换兀）114不定积分不定积分（换元法）14不定积分综合：不定枳分定义（原函数已知）求不定积分14不定枳分sf(x)dx=xA2+C,求sxf(1-xA2)dx14不定积分slnsinxdtanx=14不足枳分不定枳分计算s1/（2+cosx）dx15定积分及其应用变上限积分求导115定枳分及其应用定枳分求卸枳115定积分及其应用对称区间定积分15定积分及其应用定积分计算（换元）1115定积分及其应用定积分换元法115定积分及其应用定积分计算（分部积分法）1

6、15定积分及其应用无穷限的广义积分（凑微分法）15定积分及其应用利用变上限积分求导，求函数极限25定枳分及其应用已知分段函数，求变上限定枳分表达式15定枳分及其应用s(0-1)eA(x+eAx)dx15定积分及其应用定积分计算奇函数对称区间P15定积分及其应用定积分(带绝对值)s(pi/2-(-pi/2)|sinx|/(4-cosA2*x)dx15定积分及其应用含变上限定积分的分段函数连续求a,求f'（x）15定积分及其应用含变上限定积分的函数求切线和极限：16向量代数与空间解析几何向量位置关系16向量代数与空间解析几何求平面方程1216向量代数与空间解析几何直线与平面位置关系1116

7、向量代数与空间解析几何水平、铅直渐近线16向量代数与空间解析几何向量|a+bF2=(a+b).(a+b)求模16向量代数与空间解析几何点到平面距离17多元函数微积分学二重积分计算211117多元函数微积分学二元显函数全微分111117多元函数微积分学偏导数计算17多元函数微积分学利用二重积分概念计算（几何法）17多元函数微积分学对应法则不具体多元函数求偏导17多元函数微积分学两次积分交换积分次序17多元函数微积分学二重积分求面积18无穷级数级数收敛必要条件18无穷级数得级数收敛区间、收敛半径、收敛域118无穷级数收敛半径18无穷级数数项级数收敛性判断（比较法etc）1118无穷级数函数展开成嘉

8、级数（按x-x0）118无穷级数求收敛区间、和函数18无穷级数得级数在定点处敛散性18无穷级数得级数sigma(-1)An*(x-1)An/n收敛区间19微分方程微分方程通解（二阶齐次）1119微分方程常数变易法解微分方程1119微分方程微分方程一阶初值特解（分离变量）1129微分方程一阶微分方程，化dx/dy型19微分方程微分方程通解（二阶非齐次y''-2y'-12/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用3y=x)9微分方程y*y''-y'A2=0通解1学时分配早个数|学时12522353296410：25214611I?71638

9、1229131316032第三部分中值定理与导数的应用考试大纲(学时6)(1)了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。(2)熟练掌握洛必达法则求"0/0”、"8/OO"、"0?0°"、"oo-00”、“18”、“00”和“80”型未定式的极限方法。(3)掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增减性证明简单的不等式。(4)理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大(小)值的方法，并且会解简单的应用问题。(5)会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。(6)会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线

10、。重要知识点一、中值定理(证明题)1.(2006)(0,1)xx1设函数f(x)在0,1连续，且f(x)>0,试证明ff(t)dt+01f(t)内有且仅有一个根。dt=0在2.(2008中值定理)函数f(x)=lnx在区间1,2上满足拉格朗日公式中的等于3/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用3 .(2010零点定理)设函数f(x)在0,1连续，且对于0,1上的任意x所对应的函数值f(x)均为0Ef(x)<1,试证明在(0,1)上至少存在一点之，使得f伐)=£。4 .证明方程x=asinx+b,其中a>0,b>0,至少有一个正根，并且它不超过a+

11、b。5 .验证y=x3-2x2+x-1在区间0,1上的正确性。6 .验证f(x)=jx_1在区间1,4上满足拉格朗日中值定理的条件，并求出定理结论中的洛必达法则求极限1.(2007)求极限lim(1xQx六)2.(2006)求极限.,11、limcotx(-)x,Dsinxx3.(2008)求极限sin2xlimxcos(r-x)4.(2009)求极限1lim(x11x5.(2009)求极限xe一elim1sinx3)-x6.(2010)tanx-x求极限lim3xQx37.用洛必达法则求下列极限:1一。InsinX吧E口孙v1口(1+h)IIE；r>Hsinxsinahmlim口(7)

12、rIncan7H型而E(8)limL*tan工tan3r'(9)(1Q)limisecx-cos_rrlh(1+7lim丁+garccotx4/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用三、函数单调性、单调区间与极值、最值、凹凸区间、拐点1 .(2009)函数f(x)=2x3-9x2+12x+1在区间0,2上的最大值点是2 .(2009)函数y=f(x)满足f<xo)=0,则x=x°必为f(x)的A.极大值点B.极小值点C.驻点D.拐点3 .(2010)函数f(x)=2x3-9x2+12x的单调减区间是4 .(2005)函数y=xe"的凸区间5 .(2

13、006)函数y=x3-x2-x+1的单调区间、极值及凹凸区间、拐点.6 .(2007)若在区间(a,b)内，导数f'(x)A0,二阶导数f"(x)<0,则函数f(x)在该区间内A.单调增加，曲线为凸的B.单调增加，曲线为凹的C.单调减少，曲线为凸的D.单调减少，曲线为凹的7 .(2008)求函数y=3x2x3的单调区间、极值、凹凸区间与拐点。8 .只(2)y=Zr+X(4)(6)确定下列函数的单调区间;(1)y=64一18一7q小_y4V+(5)工一1尸;9.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:C1)5/+3工+5+er(产铲F(2)¥=工。1、(4)+(6)

14、j=(121nx-7).10.5/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用求下列函数的极值；(1)y=2/6/-181T+7；(3)y=-x44-2j2?/a、_1+3hy=y4+5x2(7)j=ercosxi(9)y=3-2Cr+l3t11.(2),yJr-ln(1+j>；(6)y-3M+4&+4h*+h+1求下列函数的最大值.最小值:（）y=2与-37,1&(2) 一8/+2,141<31(3) hZ1一大，-L12.5 .同函数y=2V-6>18一？在何处取得最大值？并求出它的最大值.解函数在口,仃上可导，且炉=6/一】力一18=6（，+1&g

15、t;（上一3）.令4=0.将驻点不=一1（舍去）*小=3.比较9|一=-2901,”3=一61.川7一仃,得函数在1=】处取得最大值，且jg大值为田/二一2"6 .问函数了=三一日（HV。在何处取得城小值？d解函数在（一8,0）内可导,且，=2+号=在咛经4=2-里.w4-ii<JL令炉=0,得驻点父=一3,由yT3=6>0知k=-3为极小值点.又函数在g,0）内的驻点惟一故极小值点就是最小值点,即1二一3为最小值点，且最小值为j|>t=27,7 .问函数了才等不上?。）在何处取得最大值？解函数在0,+8）上可导，且，-+Ln1-三y一一申3"-77rTT

16、?，j2r（3-）y汗十1尸.令了'=0,得驻点#=一】（畲去）,1=1.由91m=二=一/<0知h=1O06/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用为极大值点，又函数在d+8)上的驻点惟一，故极大值点就是最大值点.即1=1为最大值点，且最大值为引&四、参数方程中过定点切线方程计算2.2,X=t，.1.(2007)曲线在t=1处的切线万程为y=4t五、导数部分证明题1.(2009)当x>0,0<a<1时，xa-ax<1-a232.证明：当x>0时,xln(1x)233 .证明：当x>0时，in(1+x)>arctanx

17、1x4 .证明：当x>1时，xlnx>x-13x5 .证明：当x>0时，x>sinx>x-66 .证明：当x>1时，ex>ex7.证明下列不等式;(i)当£>o时£t(2)当h>0时.l+rln(x4'7T+7r)>/T+xr；8.7/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用设函数FG)在定义域内可导，y=f(工)的图形如图3-1所示.则导函数,的图形为图3-2中所示的四个图形中的哪一个？图3-2六、应用题(最优化)1.(2007)在周长为定值l的所有扇形中，当扇形的半径取何值时所得扇形的面积最大

18、?2.(2009)某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形料场，一边可以利用原有的墙壁其他三边需要砌新的墙壁，问堆料场的长和宽各为多少时，才能使砌墙所用的材料最省？3.(2010)现有边长为96厘米的正方形纸板，将其四角各剪去一个大小相同的小正方形，折做成无盖纸箱，问剪区的小正方形边长为多少时做成的无盖纸箱容积最大？盖纸箱一定存在，故当剪区的小正方形连长为16厘米时，做成的无盖纸箱容积最大。4.8/11山东省专升本辅导-第三章-中值定理和导数的应用某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存神只够砌20m长的墙壁,问应国成怎样的长方形才能使工这间小屋的面积最大？J解如图3-3,设这间小屋的宽为，长

19、为小则小5屋的面积为S=h*图37已知本+力=20.即y=202工.故S=h(202x)=2。l2/(0JQ).S'=204.t.ST=一虫令VhQ,得融点h=5.由<0知h=5为极大值点又驻点惟一,故极大值点就是最大值点，即当宽为3m长为10m时这间小屋的面积最大.5.要造一网柱形油辘，体树为匕问底半径干和高人等于多少时,才能使表面积最小？这时底直径局高的比是多少？解已知北户外=1/,即A=奈.制柱形油摊的表而积A=2n产+2亦力=2?(/+2北厂=2兀产+型,rW(0.+co).F/V=4"一丝.A"=4tt+4*广r令A'=0,得广不,由A”小+87r=12n>0,知r'屋为极小值户寒点，又驻点惟一，故极小值点就是展小值点.此时八=5=2良=2厂,即2r：=1,所以当底半径为和高人时，才能使表面积最小,这时底直径与高的比为】L6.某地区防空洞的徜而拟建成期形加半圆f图3-4).赦面的面积为5mL同底宽工为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省？解设截面的周长为人已知f=i+2y+等及工7+.£号住)”=5