微专题16解析几何中的隐形圆问题

1、微专题16解析几何中的“隐形圆”问题真题愿解看点整合I组考向扪之,真题感悟(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).；设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，7求圆N的标准方程；设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点，且BC=OA,求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得fA+#=TQ,求实数t的取值范围.解圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上，可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切，与

2、圆M外切，所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7y0=5+y0,解得w=1.因此，圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1.,.,.,4一0(2)因为直线l/OA,所以直线l的斜率为厂=2.20设直线l的方程为y=2x+m,即2xy+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|2x6-_7+m|=Jm/J55因为BC=OA=d22+42=2/5,而MC2=d2+BC2所以25=+5,解得m=5或m=15.故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0.法一TA+TP=TQ,即TA=TQTP=PQ,故|TA|=|陶,因为|TA=N(t2)2+42,又0<|PQ|W10,所以0

3、<7(t2)2+42<10,解得tC2-2721,2+2®,对于任意tC22*,2+2/21,欲使TA=PQ,此时0V|TA|<10,只需要作直线TA的平行线，使圆心到直线的距离为丹25-吟，必然与圆交于P,Q两点,止匕时|TA=|PQ|,即TA=pQ,因此对于任意tW220,2+221,均满足题意,综上，tC22弧，2+221.法二设P(xi,yi),Q(x2,y?).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,X2=X1+2t,所以y2=y1+4.因为点Q在圆M上，所以(x26)2+(y27)2=25将代入，得(x1t4)2+(y1一3)2=25.于是点P

4、(X1,y1)既在圆M上，又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上，从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点，所以550叱(t+4)62+(37)2<5+5,IW>2-2721<t<2+2>/21.因此，实数t的取值范围是22s/2i,2+221.考点整合高考中圆的方程是C级考点，具重要性不言而喻.但在一些题目中，条件没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程),从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题，课本习题给出的“阿波罗尼斯圆”是“隐形圆”典型的例子1

5、 .问题背景苏教版数学必修2»P112第12题：1已知点M(x,y)与两个定点0(0,0),A(3,0)的距离之比为/,那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.2 .阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A,B为两定点，动点P满足PA=PB则已1时，动点P的轨迹为直线；当入金1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证设AB=2m(m>0),PA=入PB以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标

6、系，则A(-m,0),B(m,0).又设P(x,y),则由FA=入PBlM(x+m)入m、，夫1为半径的圆.上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.热点聚焦I份类突破I册热点彳物热点一轨迹问题【例1】如图，圆01与圆02的半径都是1,0102=4,过动点P分别作圆01、圆02的切线PM,PN(M,N分别为切点)，使得PM=V2PN,试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.+y2=M(xm)2+y2,两边平方并化简整理得(犬1)x22m(犬+1)x+(；21)y2=m2(1乃.当彩1时，x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线；轨迹为以点猿+a?22ac整理行x尸c+y=口_2241m2x方1m

7、+y=（犬1）2,以OiO2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系,则Oi(2,0),02(2,0),由已知PM=#PN,得PM1当a=1时，化简得x=0.a2+1所以当a*1时，P点的轨迹是以a2c,0为圆心,=2PN2因为两圆的半径均为1,所以PO21=2(PO21).设P(x,y),则(x+2)2+y21=2(x2)2+y2-1.即(x6)2+y2=33,所以所求轨迹方程为(x6)2+y2=33.探究提高动点的轨迹问题是高考的热点之一，解决轨迹问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，列式化简得所求轨迹方程【训练11设A(c,0),B(c,0)(c>

8、0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.解设动点P的坐标为(x,y),pa/c、/Z(x+c)2+y由PR=a(a>0),行r、22=a.PB(x-c)+y2化简得(1a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1a2)十(1a2)y2=0.当aw1时，得x2+2c(1+a2)1-a2x+c2+y2=0,2ac门为半径的圆;当a=1时，P点的轨迹为y轴.热点二含“隐形圆”的范围与最值问题【例2】(2013江苏卷)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线v=x-

9、1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.y=x1,解联立c得圆心为C(3,2).y=2x4,切线的斜率存在，设切线方程为v=kx+3.皿|3k+3-2|贝Ud=/2=r=1,V1+k2故所求切线方程为丫=3或3乂+4丫12=0.设点M(x,y),由MA=2MO,知也2+(y3)2=2正2+y2,化简得x2+(y+1)2=4.即点M的轨迹为以(0,1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切.故1&CD&3,又C(a,2a4),D(0,1),故1<Va2+(2a-3)

10、2<3.解得0<a<12.5所以圆心C的横坐标a的取值范围为0,?.5探究提高(1)如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下五个策略:策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆;策略二：动点P对两定点A,B的张角是90(kPAkPB=1或PAPB=0)确定隐形圆；策略三：两定点a,b,动点p满足区m=入确定隐形圆；策略四：两定点A,B,动点P满足PA2+PB2是定值确定隐形圆；策略五：两定点A,B,动点P满足AP=入BP>0,后1)确定隐形圆(阿波罗尼斯圆).(2) “隐形圆”发掘出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相关知识点

11、，一般解决思路可从“代数角度”或“几何角度”入手.【训练2】在4ABC中，边BC的中点为D,若AB=2,BC=>/2aD,则AABC的面积的最大值是.解析以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系.则A(1,0),B(1,0),由BD=CD,BC=2AD知，AD=V2BD,D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程xx+1x+12为(x3)2+y2=8.设C(x,y),得D亨，2,所以点C的轨迹方程为弓23+2=8,即(x5)2+y2=32所以Sabc=；X2|y|=|y|&/32=46，故Saabc的最大值是42.答案42热点三含“隐形圆”的定点与定值问题【例3】已知圆C:x2+y2

12、=9,点A(-5,0),在直线OA二上(O为坐标原点)存在定点B(不同于点A)满足：对圆C上任:一点P,都有常为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.、/解法一假设存在满足条件的点B(t,0),当P为圆C与x轴的左交点(一3,0)时，宵=%3"；IPA2当p为圆c与x轴的右交点e,0)时，震=1tzm,PA8依题意1t43=，司，解得t=5(舍去)或t=9.285卜面证明点B90对于圆C上任一点P,都有PB为常数.5PA设P(x,y),则y2=9x2,所以,922PB2x+5+y2,18,81,n218X+wx+卞+9X(5x+17)52525188125PA2=(x+5)2+y2=

13、x2+10x+25+9-x2=2(5x+17)=9从而四=325'人PA5为常数.故满足条件的点B的坐标为法二假设存在满足条件的点B(t,0),PBCCC使得胡为常数XA0),则PB2=迁A,Pa所以(xt)2+y2=f(x+5)2+y2,将y2=9x2代入得,x22xt+12+9x2=；2(x2+10x+25+9-x2),即2(522+t)x+34入2t29=0对xC3,3恒成立,5+t=0,所以2,2cc解得34,t29=0,、3仁5'仁1,9或(舍去),t=-f5故满足条件的点B的坐标为探究提高本题以阿波罗尼斯圆为背景构建定点问题，体现了阿波罗尼斯圆在解析几何中的经典地位

14、.【训练3】已知。O:x2+y2=1和点M(4,2).过点M向。O引切线1,求直线l的方程;求以点M为圆心，且被直线y=2x1截得的弦长为4的。M的方程；设P为(2)中。M上任一点，过点P向。引切线，切点为Q,试探究：平面内是否存在一定点R,使得器为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值;PR若不存在，请说明理由.解(1)直线1的斜率存在，设切线1的方程为y2=k(x4),易得华U=1,解得卜二噌9.#2+115切线l的方程为y-2=号要仅一4).圆心到直线y=2x1的距离为乖，设圆的半径为r,则2=22+(的)2=9,OM的方程为(x-4)2+(y-2)2=9.(3)假设存在满足条件的点

15、R(a,b),设点P的坐标为(x,y),相应的定值为20).根据题意可得PQ=Jx2+y2-1,."了11一、2二%xbj(x-a)2+(y-b)2即x2+y21=夫(x2+y22ax2by+a2+b2).(*)又点P在圆M上，.(x4)2+(y2)2=9,即x2+y2=8x+4y11,代入(*)式得8x+4y12=充(82a)x+(4-2b)y+(a2+b2-11).若系数对应相等，则等式包成立，猿(82a)=8,猿(4-2b)=4,f(a2+b2-11)=12,2110解得a=2,b=1,k=也或a=£,b=£,k=&,553存在定点R,使得PQ为定值

16、，点R的坐标为(2,1)时，定值为加；点R的坐标PR为2,1时，定值为号.553【新题感悟】(2019南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),B(5,0).若圆M:(x-4)2+(ym)2=4上存在唯一点P,使得直线FA,PB在y轴上的截距之积为5,则实数m的值为.解析根据题意，设P的坐标为(a,b),则直线PA的方程为y=b(x+1),其a+1在y轴上的截距为,直线PB的方程为v=4(x5),其在y轴上的截距为a+1a55b也.若点P满足使得直线PA,PB在y轴上的截距之积为5,则有上X一二5a5a+1a5=5,变形可得b2+(a2)2=9,则点P在圆(x2)2+y

17、2=9上.若圆M:(x-4)2+(ym)2=4上存在唯一点P,则圆M与(x2)2+y2=9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切，又由圆心距为勺(4-2)2+m2>2,则两圆只能外切，则有4+m2=25,解可得：m=3/2i.答案班1专胸训练对接高考I一、填空题1.在平面直角坐标系xOy中，已知B,C为圆x2+y2=4上两点，点A(1,1),且ABXAC,则线段BC的长的取值范围为解析如图，设BC的中点为M(x,y).连接OB,OM,AM,WJBC=2BM=2AM,所以OB2=OM2+BM2=OM2+AM2,即4=x2+y2+(x1)2+(y1)2,12123化简得x2+y2=2,1 16

18、所以点m的轨迹是以2,2为圆心，,为半径的圆，所以AM的取值范围是反亚加十亚,2 ，2所以bc的取值范围是加一42,V6+V2.答案册-也V6+V22 .在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x-a)2+(ya+2)2=1,点A(0,2),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2=10,则实数a的取值范围是.解析设点M(x,y),由MA2+MO2=10,即x2+(y2)2+x2+y2=10,整理得x2+(y1)2=4,即点M在圆E:x2+(y1)2=4上.圆C上存在点M满足MA2+MO2=10等价于圆E与圆C有公共点，所以|21|<CE<2+1,即10a2+(a3)2<3,整理得

19、102a26a+909,解得0&a&3,即实数a的取值范围是0,3.答案0,33 .已知圆O:x2+y2=1,圆M:(x-a)2+(y-a+4)2=1.若圆M上存在点P,过点P作圆O的两条切线，切点为A,B,使得/APB=60°,则实数a的取值范围为.解析由题意得圆心M(a,a-4)在直线xy4=0上运动，所以动圆M是圆心在直线x-y-4=0上，半径为1的圆.又因为圆M上存在点P,使经过点P作圆O的两条切线，切点为A,B,使/APB=60°,所以OP=2,即点P也在x2+y2=4上，于是2-10a2+(a-4)2<2+1,即10，a2+(a4)2<

20、;3,解得实数a的取值范围是2坐，2+乎.答案2乎，2+平4 .在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y24x=0.若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是.解析由题意知原命题等价于直线上存在点P使得PC=2亚,从而(PC)minW2V2,即圆心C(2,0)到直线y=k(x+1)的距离d=Tk=&2V2,解得2&k&2®W+k2答案-2/2,2蚯5 .在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0),B(3,0),C(0,a),D(0,a+2),若存在点P,使得PA=V2PB,PC=PD,则实数a的取值范围是.

21、解析设P(x,y),则d(x-1)2+y2=表7(x-3)2+y2,整理得(x5)2+y2=8,即动点P在以(5,0)为圆心，2，2为半径的圆上运动.另一方面，由PC=PD知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动，因而问题就转化为直线y=a+1与圆(x5)2+y2=8有交点.所以|a+1|W2、/2,故实数a的取值范围是2421,2y21.答案2421,22-16 .如图，在等腰ABC中，已知AB=AC,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于解析因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x3)2+y2=4(yw0).设C(x,y

22、),由AC边的中点为D(2,0),知A(4x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4,即(x1)2+y2=4(yw0),所求的面积为4冗.答案4九7.(2019宿迁,K拟)已知A,B是圆Ci：x2+y2=1上的动点，AB=，3,P是圆C2：1-乎2=2,(x-3)2+(y-4)2=1上的动点，则|PA+Pfe|的取值范围为解析设AB的中点为C,由垂径定理可得CCiXAB,则CCi=1oo113即点C的轨迹万程是x2+y2=4,CiC2=V32+42=5,则PCmax=5+1+2=-2-,PCmin=51=7,所以|五十地|=|2无|7,13.答案7,138.(2019苏、锡

23、、常、镇调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x+1)2+y2=2,点A(2,0),若圆C上存在点M,满足MA2+MO2<10,则点M的纵坐标的取值范围是.解析设M(x,y),因为MA2+MO2<10,所以(x2)2+y2+x2+y2<10,化简得x2+y2-2x-3<0,则圆C:x2+y2+2x-1=0与圆C':x2+y22x3=0有公共1一cc点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线的方程为x=-2,代入x2+y2-2x300可得一¥&y&¥，所以点M的纵坐标的取值范围是乌,乎.答案T，9二、解答题9.在x轴正半轴上

24、是否存在两个定点A,B,使得圆x2+y2=4上任意一点P至UA,1B两点的距离之比为常数/如果存在，求出点A,B坐标；如果不存在，请说明理由.解假设在x轴正半轴上存在两个定点A,B,使得圆x2+y2=4上任意一点P到1、A,B两点的距离之比为吊数2.设P(x,y),A(x1,0),B(x2,0),其中x2>x1>0,则Yx"2N=1对满足x2+y2=4的任何实数对(x,y)包成立，'(x-x2)2+y22整理得，2x(4x1x2)+x24x2=3(x2+y2),将x2+y2=4代入得，2x(4x1x2)+x24x2=12,这个式子对任意x2,2恒成立，所以一定有4x1x2=0,x24x2=12,因为x2>x1>0,所以解得x1=1,x2=4.所以