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文档简介

1、章节题目第六节 微分法在几何上的应用内容提要曲线的切线与方程法平面方程曲面的切平面方程与法线方程重点分析曲线的切线方程与曲面的切平面方程的求法难点分析曲线以一般方程形式给出时切线方程的求法习题布置 2、4、6、10备注教学内容一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.割线的方程为考察割线趋近于极限位置切线的过程上式分母同除以曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量. 法平面：过M点且与切线垂直的平面.例：求曲线，,在处的切线和法平面方程.解当时，切线方程 法平面方程 特殊地：1.空间曲线方程为 法平面方程为 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方

2、程为 例2求曲线，在点处的切线及法平面方程.解1 直接利用公式;解2 将所给方程的两边对求导并移项，得由此得切向量 所求切线方程为 法平面方程为 二、曲面的切平面与法线设曲面方程为 在曲面上任取一条通过点M的曲线曲线在M处的切向量 令 则 由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通过的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面称为曲面在点的切平面.切平面方程为 通过点而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即特殊地：空间曲面方程形为 令 曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为全微分

3、的几何意义因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量在的全微分，表示曲面在点处的切平面上的点的竖坐标的增量. 若、表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为其中 例3 求旋转抛物面在点处的切平面及法线方程.解切平面方程为 法线方程为 例4 求曲面在点处的切平面及法线方程.解令 切平面方程 法线方程 例5 求曲面平行于平面的各切平面方程.解 设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，满足方程所求切点为 切平面方程(1)切平面方程(2)三、小结空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦

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