概率论与数学统计课件21剖析

1、 概率论与数理统计概率论与数理统计主讲教师：李真主讲教师：李真 博士博士广东财经大学广东财经大学 数学与统计学院数学与统计学院第二章第二章 随机变量随机变量 随机变量随机变量 离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量 随机变量函数的分布随机变量函数的分布随机变量概念的产生随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可用数在实际问题中，随机试验的结果可用数量来表示，就产生了随机变量的概念。量来表示，就产生了随机变量的概念。2.1 随机变量随机变量 一方面，有些试验，其结果与数有关一方面，有些试验，其结果与数有关( (试试验结果就是一个数验结果就是一个数) )； 另一方面，有

2、些试验，另一方面，有些试验，其结果看起来与数值无关，其结果看起来与数值无关， 但可引进一个变但可引进一个变量来表示试验的各种结果。量来表示试验的各种结果。 即即, 试验结果可以试验结果可以数值化数值化。 试验结果与数值有关的例。试验结果与数值有关的例。 例例1 掷一颗骰子，观察其向上的点数是掷一颗骰子，观察其向上的点数是几。几。 记记 i=向上的点数是向上的点数是 i ，i=1,2,6。 则样本空间则样本空间 = 1, 2, 3, 4, 5, 6， 引入引入 X(i ) = i，i=1,2,6，可，可中的每中的每个元素个元素 i 都都与一个随机取值的实数与一个随机取值的实数X(i ) = i

3、对应，对应，i=1,2,6 。 记记 i=下火车下火车 i 人人，i=0,1,2,。 则样本空间则样本空间 = 0,1, 2, ， 引入引入 X(i ) = i，i=0,1,2,，可使，可使中的中的每个元素每个元素 i 都都与一个随机的实数与一个随机的实数 X(i )=i 对对应，应，i=0,1,2, 。 例例2 未来某天北京站下未来某天北京站下火车的人数。火车的人数。 例例3 测量某机床加工的零件长度与零件测量某机床加工的零件长度与零件规定长度的偏差规定长度的偏差 ( (单位单位: : 毫米毫米) )。 由于通常可以知道其偏差的范围，故可以由于通常可以知道其偏差的范围，故可以假定偏差的绝对值

4、小于某一固定的正数假定偏差的绝对值小于某一固定的正数 。若。若是这样，则样本空间是这样，则样本空间 = ，| |。 对每个对每个，可取一个随机的实数值，可取一个随机的实数值X()=与之对应。这样就建立了样本空间与之对应。这样就建立了样本空间与区间与区间- - , 之间的对应关系。之间的对应关系。 试验结果看起来与数值无关，但可引进一个试验结果看起来与数值无关，但可引进一个 变量来表示试验的各种结果的例。变量来表示试验的各种结果的例。例例4 在投篮试验中，用在投篮试验中，用0表示投篮未中，表示投篮未中，1表示罚篮命中，表示罚篮命中，3表示三分线外远投命中，表示三分线外远投命中，2表示三分线内投篮

5、命中，则表示三分线内投篮命中，则随机试验的各随机试验的各种结果均可数值化。种结果均可数值化。例例5 在掷硬币试验中，用在掷硬币试验中，用1表示带国徽或人表示带国徽或人头的一面朝上，头的一面朝上，00表示另一面朝上，表示另一面朝上，随机试随机试验的各种结果也均可数值化。验的各种结果也均可数值化。 。这种随机试验结果与数值的对应关系，在数这种随机试验结果与数值的对应关系，在数学上可理解为学上可理解为:.X样本空间中的样本点映为一个数。样本空间中的样本点映为一个数。)(X定义一个映射关系定义一个映射关系X()，将，将 X() 随试验结果的不同而取不同的值。故随试验结果的不同而取不同的值。故, 在试验

6、之前只知道其可能取值的范围，而不在试验之前只知道其可能取值的范围，而不能预知其取哪个具体的值。能预知其取哪个具体的值。 由于试验结果的出现具有一定的概率，所以由于试验结果的出现具有一定的概率，所以 “ X() 取每个值或某个确定范围内的值取每个值或某个确定范围内的值” 也有一定的概率。也有一定的概率。 称这种定义在样本空间称这种定义在样本空间上的实值函数上的实值函数为为随机变量随机变量，简记为，简记为 r.v. ( random variable ) 。注意：注意： 定义定义2.1.1 设设 E 是随机试验，是随机试验，是其样本是其样本空间。如果对每个空间。如果对每个, 总有一个实数总有一个实

7、数 X()与与之对应，则称之对应，则称上的实值函数上的实值函数 X() 为为 E 的一个的一个随机变量随机变量。 在不引起混淆的前提下，可将随机变量在不引起混淆的前提下，可将随机变量X()简写成简写成 X。 随机变量通常用英文大写字母随机变量通常用英文大写字母X,Y, Z 或或 希腊字母希腊字母,等表示，等表示， 其取值其取值一般用小写母一般用小写母 x, y, z 等表示。等表示。 有了随机变量，随机试验中的各种事件有了随机变量，随机试验中的各种事件都可以通过随机变量的关系式表达出来。都可以通过随机变量的关系式表达出来。引入随机变量的意义引入随机变量的意义 如：如：用用 X 表示单位时间内某

8、信号台收到表示单位时间内某信号台收到呼叫的次数，则呼叫的次数，则 X 是一个随机变量。是一个随机变量。 事件事件 收到呼叫收到呼叫 X 1；没有收到呼叫没有收到呼叫 X=0。课堂练习（另）课堂练习（另）上一章第五节课堂练习（另）上一章第五节课堂练习（另）随机变量的分类随机变量的分类 (通常分两大类通常分两大类)： 如如“取到次品的个数取到次品的个数”， “收到的呼叫数收到的呼叫数”等。等。随随机机变变量量离散型随机变量离散型随机变量 连续型随机变量连续型随机变量所有可能的取值所有可能的取值可以逐个列举。可以逐个列举。如：如：“电视机的使用寿命电视机的使用寿命”，实际中常遇到，实际中常遇到的的“测量误差测量误差”等。等。全部可能取值不仅有无全部可能取值不仅有无穷多个，而且不能一一穷多个，而且不能一一列举，充满某些区间。列举，充满某些区间。（见（见2.2） 这两种类型的随机变量因都是随机变量，这两种类型的随机变量因都是随机变量，自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方自然会有许多相同或相似之处；但因其取值方式不同，故又有其