大学物理波动课件

1、 1 机械波的形成及描述机械波的形成及描述 一机械波的产生一机械波的产生 二描述波的物理量二描述波的物理量 2 平面简谐波平面简谐波 一波函数一波函数 二波动曲线二波动曲线 三波动方程三波动方程作业：作业：2.3、 2.6、2.7第二章第二章 波动学基础波动学基础 振动在空间的传播过程叫做振动在空间的传播过程叫做波动波动第二章第二章 波动学基础波动学基础 机械振动在媒质中的传播称为机械振动在媒质中的传播称为机械波机械波。如声波、水波、地震波等如声波、水波、地震波等变化电场或变化磁场在空间的传播称为变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。电磁波。如无线电波、光波等如无线电波、光波等虽然各类波的

2、本质不同，各有其特殊的性质和规律，虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律，共同的特征和规律：共同的特征和规律： 都以振动作为波源都以振动作为波源;都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播；都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传播；都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。都能产生反射、折射、干涉或衍射等现象。机械波机械波（需要媒质作为载体）（需要媒质作为载体）电磁波电磁波（无须媒质作为载体）（无须媒质作为载体）（简称波简称波）一一. . 机械波的产生机械波的产生1 机械波的形成及描述机械波的形成及描述 机械波产生的条件机械波产生的条件振源振源作机械振动的物体作机械振动的物体波源波源媒媒质质传

3、播机械振动的物体传播机械振动的物体在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，在物体内部传播的机械波，是靠物体的弹性形成的，因此这样的媒质又称因此这样的媒质又称弹性媒质。弹性媒质。什么是物质的弹性？什么是物质的弹性？机械振动是如何靠弹性来传播呢？机械振动是如何靠弹性来传播呢？物质的弹性物质的弹性形变形变:物体包括固体、液体和气体，在受到外力作物体包括固体、液体和气体，在受到外力作 用时，形状或体积都会发生或大或小的变化。用时，形状或体积都会发生或大或小的变化。当外力不太大因而引起的形变也不太大时，当外力不太大因而引起的形变也不太大时，去掉外力，形状或体积仍能复原。去掉外力，形状或体积仍能复原

4、。这个外力的限度称作这个外力的限度称作弹性限度。弹性限度。在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，在弹性限度内，外力和形变具有简单的关系，由于由于 外力施加的方式不同，形变可以有以下外力施加的方式不同，形变可以有以下几种基本方式：几种基本方式： 长变长变一段固体棒，当在其两端加以方向相反大小相等的一段固体棒，当在其两端加以方向相反大小相等的外力时，其长度会发生改变。外力时，其长度会发生改变。以以F 表示力的大小，以表示力的大小，以S 表示棒的横截面积，表示棒的横截面积，则叫则叫FS 叫做叫做应力应力，以，以 l 表示棒的长度，表示棒的长度，llFFS实验表明：实验表明：在弹性限度内，应力和应变

5、成正比。在弹性限度内，应力和应变成正比。以以 l 表示在外力表示在外力 F 作用下的长度变化。作用下的长度变化。则则 ll 叫相对长度变化，又叫叫相对长度变化，又叫应变应变 长变长变llYSF llFFS胡克定律胡克定律在弹性限度内，应力和应变成正比。在弹性限度内，应力和应变成正比。为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，为关于长度的比例系数，它随材料不同而不同，叫叫杨氏模量。杨氏模量。Y 切变切变一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的一块矩形材料，当它的两个侧面受到与侧面平行的大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，大小相等方向相反的力作用时，形状就要发生改变，如图，如图，FF

6、S外力外力F 和施力面积和施力面积 S 之比，为切变的之比，为切变的应力应力施力面积相互错开而引起的材料角度的变化施力面积相互错开而引起的材料角度的变化 ，叫切变的叫切变的应变。应变。FFSDd dD这种形式的形变叫这种形式的形变叫切变切变。 切变切变在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。在弹性限度内，切变的应力也和应变成正比。FFSFFdDSDdNNSF 称作称作切变弹性模量。由材料的性质决定。切变弹性模量。由材料的性质决定。N 体变体变一块物质周围受到的压强改变时，一块物质周围受到的压强改变时，其体积也会发生改变，如图，其体积也会发生改变，如图，以以 V 表示原体积，表示原体积，P 表示

7、压强的改变，表示压强的改变，以以 V V 表示相应体积的相对变化，表示相应体积的相对变化，即即应变应变，则有，则有VVBP VP叫体变弹性模量它由物质的性质决定叫体变弹性模量它由物质的性质决定B“”表示压强的增大总导致体积的减小表示压强的增大总导致体积的减小 机械波的传播机械波的传播 纵波和横波纵波和横波按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为按质元振动方向与波传播的方向之间的关系波划分为横波横波纵波纵波振动方向与波传播方向垂直的波。振动方向与波传播方向垂直的波。振动方向与波传播方向在一条直线上的波。振动方向与波传播方向在一条直线上的波。 如如弹簧中传播的波以及声波弹簧中传播的波以及声波

8、如如细绳中传播的波细绳中传播的波对横波、纵波来说，对横波、纵波来说，质元发生形变情形是什么样的呢？质元发生形变情形是什么样的呢？ 仅产生于固体中仅产生于固体中 可产生于固体、流体中可产生于固体、流体中横波横波从图上可以明显看出在横波中各质元发生从图上可以明显看出在横波中各质元发生切变切变，外形有波峰波谷之分外形有波峰波谷之分纵波纵波在纵波中，各质元发生在纵波中，各质元发生长变或体变长变或体变，因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同，因而媒质的密度发生改变，各处疏密不同，所以纵波也叫疏密波。所以纵波也叫疏密波。纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播纵波在气体、液体、固体媒质中都可以传播振动与波动振

9、动与波动波动与振动密不可分。任何波都是以振动作为波源的。波动与振动密不可分。任何波都是以振动作为波源的。区别区别振动研究一个质点的运动振动研究一个质点的运动波动波动研究研究大量有联系的质点大量有联系的质点振动的集体表现振动的集体表现联系联系振动是波动的根源振动是波动的根源波动是振动的传播波动是振动的传播振动是波动的基础，同时，波动又发展了振动振动是波动的基础，同时，波动又发展了振动把振动个体的运动扩展、传播出去，成为集体运动。把振动个体的运动扩展、传播出去，成为集体运动。 波的特征波的特征 媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动，媒质中各质元均在各自的平衡位置附近振动， 质元本身并不迁移，质元

10、并未质元本身并不迁移，质元并未“随波逐流随波逐流”。 (2)后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后后面质点重复前面质点的振动状态，有相位落后。(3) 波是振动状态的传播过程波是振动状态的传播过程, ,波形、能量向前传播波形、能量向前传播。 (4) (4) 在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离在媒质中沿波传播方向，相隔一定距离 存在同相质元存在同相质元-质元的振动状态相同质元的振动状态相同 波的几何描述波的几何描述波的传播可以用位相的传播来说明。波的传播可以用位相的传播来说明。各质元的各质元的位相的关系位相的关系以及以及波传播的方向波传播的方向，常用几何图形加以描述。常用几何图形加以描述。波线

11、：波线： 用带箭头的线表示波传播的方向。用带箭头的线表示波传播的方向。 波面：波面：媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。媒质中振动位相相同的质元组成的曲面。波前：波前：(同位相面同位相面)由于这一波面在波传播方向的由于这一波面在波传播方向的最前方，所以又叫做最前方，所以又叫做波前波前或或波阵面波阵面。根据波前的形状不同，根据波前的形状不同，波可分为波可分为平面波平面波，球面波球面波，柱面波柱面波。球面波球面波平面波平面波波波线线 波面波面二描述波的物理量二描述波的物理量 周期周期 T、频率、频率 波是机械振动的传播，波是机械振动的传播，由于振动具有时间上的周期性，由于振动具有时间上的周期性，所

12、以波也具有时间上的周期性，所以波也具有时间上的周期性，媒质中质元完成一次全振动的时间，媒质中质元完成一次全振动的时间，也即也即传过一个完整的波经历的时间传过一个完整的波经历的时间叫波的叫波的周期周期，周期的倒数叫周期的倒数叫频率频率。 u在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，在媒质中沿波传播方向，每隔一定距离，媒质的质元的振动状态在各时刻都相同媒质的质元的振动状态在各时刻都相同 -质元的振动同相质元的振动同相表明波具有表明波具有空间上的周期性。空间上的周期性。引入引入波长波长的概念来描述波在空间上的周期性。的概念来描述波在空间上的周期性。 波长波长 在波的传播方向上两个相邻的同相在波的传播方向上

13、两个相邻的同相(相位差为相位差为 ) )质元之间的距离叫做质元之间的距离叫做波长波长。记作。记作 相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长相邻两个波峰或波谷之间的距离等于一个波长 波长波长 在波的传播方向上两个相邻的同相质在波的传播方向上两个相邻的同相质元之间的距离叫做元之间的距离叫做波长波长。记作。记作 纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。纵波的一个波长内有一个疏部和一个密部。相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长相邻两个密部或疏部之间的距离等于一个波长横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了横波中的一峰一谷和纵波的一疏一密构成了一个一个“完整波完整波”包含了全部振动状态，包含了全部振动状

14、态，因此因此 一个波长就是一个一个波长就是一个“完整波完整波”的长度。的长度。 周期周期 T、频率、频率 与波长与波长 的关系的关系在一个周期内，某一确定的振动状态，在一个周期内，某一确定的振动状态，所传播的距离正好是所传播的距离正好是一个波长一个波长。u 表示振动状态表示振动状态(或振动相位或振动相位)的传播速度，的传播速度，则描述波动的三个特征物理量的之间的关系则描述波动的三个特征物理量的之间的关系 TuT T反映波的时间周期性反映波的时间周期性 反映波的空间周期性反映波的空间周期性波源定波源定媒质定媒质定改写改写 Tuu 表明：表明：波的频率等于单位时间内通过媒质波的频率等于单位时间内通

15、过媒质 某一点的某一点的“完整波完整波”的个数。的个数。u波速与质点的振动速度是不相同的物理量波速与质点的振动速度是不相同的物理量在各向同性的均匀媒质中，在各向同性的均匀媒质中， u = 恒量（不随时间变化）恒量（不随时间变化）u振动速度振动速度是是媒质中的质点在各自平衡位置附近往返媒质中的质点在各自平衡位置附近往返振动的速度，它随时间变化。振动的速度，它随时间变化。3、波速、波速 u 与振动速度与振动速度的区别的区别 波速波速 u 波速的大小决定于媒质的性质，波速的大小决定于媒质的性质，振动状态或振动位相的传播速度，也称振动状态或振动位相的传播速度，也称相速度相速度Y Y 杨氏弹性模量杨氏弹

16、性模量 体密度体密度Yu (2)(2) 固体棒中的纵波固体棒中的纵波(1)(1) 固体中的横波固体中的横波Gu G G 切变模量切变模量G G Y Y, , 固体中固体中 横波横波 纵波纵波(3)(3) 弹性绳上的横波弹性绳上的横波 Tu T T 绳的初始张力绳的初始张力, , 绳的线密度绳的线密度(4)(4) 流体中的声波流体中的声波k k体积模量体积模量, , 0 0 无声波时的流体密度无声波时的流体密度g= = CpCp/ /CvCv , , 摩尔质量摩尔质量gRTu 理想气体理想气体: :0ku 2 平面简谐波平面简谐波如果媒质中所传播的是简谐振动，如果媒质中所传播的是简谐振动，则媒质

17、中各质元均作简谐振动，则媒质中各质元均作简谐振动，则相应的波称作则相应的波称作简谐波简谐波，又叫，又叫正弦波。正弦波。平面简谐波：平面简谐波：波面是平面的简谐波。波面是平面的简谐波。球面简谐波：球面简谐波：波面是球面的简谐波。波面是球面的简谐波。任何形式的波都是由简谐波（或谐波）组成的任何形式的波都是由简谐波（或谐波）组成的最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！最基本、最简单、最重要的是平面简谐波！一平面简谐波的波函数（波的表达式）一平面简谐波的波函数（波的表达式）波函数的含义：波函数的含义：与简谐振动表达式对比说明与简谐振动表达式对比说明x =Acos ( t o )表示时刻表示时刻 t 质

18、点离开平衡位置质点离开平衡位置的位移，取决于位相的位移，取决于位相 t o 一平面简谐波的波函数（波的表达式）一平面简谐波的波函数（波的表达式） 波函数波函数波的表达式波的表达式应表示出中所有质元在时刻应表示出中所有质元在时刻 t 的位移，的位移，除了取决除了取决 t o 外，外，还应与质元的位置坐标有关还应与质元的位置坐标有关平面简谐波的表达式平面简谐波的表达式假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的假设一平面简谐波在理想的、不吸收振动能量的均匀无限大媒质中传播。均匀无限大媒质中传播。u波传播的速度为波传播的速度为 ，方向如图，方向如图u选择平行波线方向的直线为选择平行波线方向的直线为 x

19、 轴。轴。xo研究波动抓研究波动抓住一条波线住一条波线研究即可研究即可u在垂直在垂直 x 轴的平面上的各质元（振动状态相同），轴的平面上的各质元（振动状态相同），它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。它们在同一时刻对各自的平衡位置有相同的位移。因此，对于平面波来说只需知道因此，对于平面波来说只需知道 x 轴上各质元的轴上各质元的振动状态就可以了。振动状态就可以了。xo换句话说，平面波的波函数给出的是换句话说，平面波的波函数给出的是 x 轴上各质元轴上各质元的振动表达式的振动表达式),( xtyyu已知平面简谐波沿已知平面简谐波沿 x 轴正向传播，轴正向传播， x 轴上质元离开平衡位置的位

20、移用轴上质元离开平衡位置的位移用 y 表示表示xo)cos(atAy 0y设设 t 时刻位于原点时刻位于原点 o 的质元的振动表达式为：的质元的振动表达式为：0 xu假设在振动传播过程中，媒质并不吸收假设在振动传播过程中，媒质并不吸收振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。当当 o 点质元的振动以波速点质元的振动以波速 u 传到任一点传到任一点P 时时P)cos(atAy 0 xoy0 xu P 点质元重复点质元重复 o点质元的振动，点质元的振动，但但 P 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后。点落后。由于沿波传播方向每隔一个波长由于沿波传播方向

21、每隔一个波长 ，位相就要落后位相就要落后 2 ，每隔单位长度位相落后，每隔单位长度位相落后 2 设设 P 点距点距 o 点的距离为点的距离为 x，P 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后点落后 x 2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxP 点振动的位相要比点振动的位相要比 o 点落后点落后 x2 )cos(atAy 0 xoy0 xPuxat t 时刻时刻o 点质元的振动位相：点质元的振动位相：t 时刻时刻 P 点质元的振动位相：点质元的振动位相：xta2 )cos(atAy 0 xoy0 xPux结果：结果：xta2 t 时刻时刻 P点质元振动的振幅和频率与点质元振动的振幅和

22、频率与o 点相同，点相同， P 点振动的位相点振动的位相t 时刻时刻 P点质元振动的表达式：点质元振动的表达式：)cos(axtAy 2xoyPux)cos(axtAy 2因为因为P点是任选的，上式就是点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元轴上任意质元的振动表达式，即平面简谐波的的振动表达式，即平面简谐波的波函数波函数波函数波函数还有其它形式还有其它形式yup.xox1、波函数表达式的建立波函数表达式的建立),( xtyy 波函数波函数1 1）建立坐标）建立坐标2 2）写出参考点在）写出参考点在t t 时刻的振动方程：时刻的振动方程：)cos(0 tAyp求波函数的步骤及方法求波函数的步骤及方

23、法3 3）求波动方程）求波动方程u从时间落后角度推出从时间落后角度推出x x处质元的振动方程处质元的振动方程波函数波函数由波动的特点，我们知道任意质元由波动的特点，我们知道任意质元P P重复重复O O点的振动，点的振动，即即P P点比点比O O点晚点晚 t=x/u t=x/u 时间振动，所以时间振动，所以P P点在点在t t时刻的振动时刻的振动 = = O O点在（点在（t - x/ut - x/u）的振动）的振动)(cos uxtAyppp点质元的振动方程点质元的振动方程)cos(axtAy 2 TuT，2)(cos(axtAy 2)(cos(axTtAy 2)(cos(auxtAy 令令u

24、k 2波数波数)cos(akxtAy 是是 、 的函数的函数，分三种情况讨论分三种情况讨论：ytxyt)(cos uxtAyopxxuy1x.1）当当 x 一定时一定时（观察一个定点观察一个定点 xx1 ）看到看到（ xx1 ）处的质元作简谐振动处的质元作简谐振动x1 处的质元处的质元 振动曲线振动曲线 （yt 曲线曲线）)(cos11 uxtAyyxx)(),(1tytxyy xx1 处的处的质元作简谐振动的表达式质元作简谐振动的表达式波函数的物理意义波函数的物理意义：波函数的意义波函数的意义2）当当 t 一定时，即锁定某一时刻一定时，即锁定某一时刻（ t t1），则），则)(cos11 u

25、xtAyytt看到的是锁定时刻看到的是锁定时刻（ t t1 ）的的“快照快照”波形波形)(cos uxtAyxy)(),(1xyxtyy 波函数的物理意义波函数的物理意义：给定时刻给定时刻（ t t1）的的波形波形给出了给出了t1 时刻各个质元振动离开平衡位置时刻各个质元振动离开平衡位置 t 时刻时刻的的波形曲线波形曲线 （yx 图线图线） t u tt行波行波oxyttt xtu )(cos uxtAy)(cos utuxttA 波是振动状态的传播波是振动状态的传播重要结论重要结论1继续分析继续分析表明：表明：（t+ t ）时刻在时刻在（x+ x ）处的质点处的质点 振动状态振动状态与与t

26、时刻在时刻在 x 处的质点的处的质点的振动状态相同振动状态相同表明：表明： t 时刻时刻 x 处的质元处的质元振动状态经过了振动状态经过了t+ t 时间后时间后 传到了传到了 x+ x 处了处了xyo t u tt)(cos uxtAy3 3）当）当x、t 变化时变化时，),(txyy 行波行波u不同的时刻对应不同的波形不同的时刻对应不同的波形波形的传播波形的传播波函数的物理意义波函数的物理意义：考察下一时刻各个质元振动情况，考察下一时刻各个质元振动情况， 可得另一时刻的波形可得另一时刻的波形波函数给出了不同时刻的波形波函数给出了不同时刻的波形)cos(axtAy 2沿负向传播的平面简谐波的表

27、达式沿负向传播的平面简谐波的表达式xoyuxP)cos(axtAy 2求波动表达式（波函数求波动表达式（波函数)？)cos( tAyapx解：解：uxxta )(cos uxxtAyaxyuaxoa练习练习：已知波沿已知波沿 正向传播，波速为正向传播，波速为 ， 处处 振动方程为振动方程为xuaxx )(cos ttAy由题意可知：由题意可知：求波动表达式（波动方程求波动表达式（波动方程)为为关键是求关键是求 t二波动曲线二波动曲线)cos(axtAy 2根据波动表达式根据波动表达式以以 t 时刻，质元的平衡位置时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标，为横坐标，以质元离开平衡位置的位移以质元离开平

28、衡位置的位移y 为纵坐标，为纵坐标，画出的曲线，叫画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。时刻波形曲线。xyo u t)cos(axtAy 2xyo t u波长波长:波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 表示一个周期内波传播的距离。表示一个周期内波传播的距离。波的振幅波的振幅:波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值 表示质元离开平衡位置的最大位移。表示质元离开平衡位置的最大位移。-AA )cos(axtAy 2xyo t u tto-AA 不同时刻对应有不同的波形曲线不同时刻对应有不同的波形曲线 例例1. o 点振动表达式；点振动表

29、达式； P 点振动表达式；点振动表达式； Q，P 点的位相差点的位相差 波函数波函数 Q 点振动方向点振动方向 P 点振动方向；点振动方向；xyo1080 msu.220.40.QP0 t o 点振动表达式；点振动表达式；解：解：设设 o 点振动表达式点振动表达式xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAymmA402. ，由波形图由波形图TuT2 ，u2 140 s. o 点振动表达式；点振动表达式；解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t)cos(00 tAy1402 radsmA.，000 yt，20 ).cos(.240400 ty00 v20

30、 解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t 波函数波函数)cos(02 xtAymmA402. ，140 s.20 ).cos(.254040 xty解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t).cos(.054040 xty P 点振动表达式；点振动表达式；40. x)224 . 0cos(2 tyP)234 . 0cos(2 tyP解：解：xyo1080 msu.220.40.QP0 t Q，P 点的位相差点的位相差 Q 点振动方向点振动方向 P 点振动方向点振动方向向上向上向下向下st1 0 t210.omx/my/例例2. 波的周期、角频率和波数波的周期、

31、角频率和波数 波函数波函数某平面简谐波在某平面简谐波在 t=0 和和 t=1s 时的波形如图时的波形如图（ t=1s 时的波形对时的波形对 t=0 的波形图向右移过的波形图向右移过 /4 st1 0 t210.omx/my/解：解：比较两图可知在比较两图可知在 1s 内波沿内波沿 x 正方向移动正方向移动 /4 波的周期波的周期 sT4 122 sT12 mkm2 波的周期、角频率和波数波的周期、角频率和波数波长波长 st1 0 t210.omx/my/解：解：1210 smA，. 波函数波函数设设 o 点振动表达式点振动表达式)cos(00 tAy00000 vyt，20 )cos(.221

32、00 tyst1 0 t210.omx/my/解：解： 波函数波函数)cos(.xty 2210)cos(02 xtAymmA402. ，140 s.20 三波动方程三波动方程)cos(axtAy 2将平面简谐波的波函数分别对将平面简谐波的波函数分别对 t 及及 x 求两次偏导数求两次偏导数)cos(axtAty 2222)cos()(axtAxy 22222比较两式比较两式22222212tyxy )(波动方程的运动学推导波动方程的运动学推导22222212tyxy )(TuT ，2 2 u222221tyuxy 波动方程波动方程注意：注意：波动方程是由平面简谐波推导出的，波动方程是由平面简谐波推导出的，但对其它平面波仍然成立，但对其它平面波仍然成立，从数学上，平面简谐波波函数从数学上，平面简谐波波函数只是上述波动方程的一个特解。只是上述波动方程的一个特解。222221tyuxy 波动方程波动方程波动方程的动力学推导波动方程的动力学推导以平面波在固体细长棒中的传播为例以平面波在固体细长棒中的传播为例以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律，以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律，还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析波动方程的意义波动方程的意义设有一截面积为设有一截面积为S ，密度为，密度为 的固体细棒，的固体细棒，一平面