自动控制理论第三章 (1)

1、第第3 3章章 线性系统的时域分析法线性系统的时域分析法 典型响应的性能指标典型响应的性能指标 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析 二阶系统的时域分析二阶系统的时域分析 控制系统的稳定性和代数判据控制系统的稳定性和代数判据 稳态误差的分析和计算稳态误差的分析和计算王承国王承国本章主要内容本章主要内容 本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性

2、及稳定判据、系统稳函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。态误差等。本章重点本章重点 通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等内容。态误差概念和误差系数的求取等内容。自动控制原理课程的任务与体系结构自动控制原理课程的任务与体系结构在

3、建立了控制系统的数学模型后，就可以对系统的在建立了控制系统的数学模型后，就可以对系统的性能进行分析。对控制系统性能的分析，主要是从性能进行分析。对控制系统性能的分析，主要是从稳定性、稳态性能和动态性能三个方面着手，即通稳定性、稳态性能和动态性能三个方面着手，即通常所说的常所说的“稳、准、快稳、准、快”。在经典控制理论中，常。在经典控制理论中，常用的分析方法有三种，即用的分析方法有三种，即时域分析法、根轨迹法和时域分析法、根轨迹法和频域分析法频域分析法。所谓时域分析法，是根据描述系统的微分方程或传所谓时域分析法，是根据描述系统的微分方程或传递函数，直接解出控制系统的时间响应，然后依据递函数，直接

4、解出控制系统的时间响应，然后依据响应的表达式或描述曲线来分析系统的性能。响应的表达式或描述曲线来分析系统的性能。（定（定量分析方法）量分析方法） 3.1 时域分析法概述时域分析法概述 3.1.1 时域法的作用和特点时域法的作用和特点 时域法时域法是最基本的分析方法是最基本的分析方法, ,学习复域法、频域法的基础学习复域法、频域法的基础 (1) (1) 直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确； (2) (2) 可以提供系统时间响应的全部信息；可以提供系统时间响应的全部信息； (3) (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。基于求解系统输出的解

5、析解，比较烦琐。一、典型输入函数一、典型输入函数 所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输所谓典型输入信号，是指根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本入信号形式，在数学描述上加以理想化的一些基本输入函数。输入函数。 典型输入信号的选取既应大致反映系统的实际典型输入信号的选取既应大致反映系统的实际工作情况，又应力求简单以便于分析，此外，还必工作情况，又应力求简单以便于分析，此外，还必须选取使系统处于最不利情况下的输入信号。须选取使系统处于最不利情况下的输入信号。 为什么要研究典型输入信号？为什么要研究典型输入信号？l控制系统的输入信号是随机和无法事先确定的。控制系统的输入

6、信号是随机和无法事先确定的。l为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的为了测试比较控制系统的性能，需要有一个共同的基础。基础。l可以采用很接近实际控制系统可以采用很接近实际控制系统经常遇到经常遇到的输入信号的输入信号，并在，并在数学描述上数学描述上加以加以理想化理想化后能用较为后能用较为典型且简典型且简单单的函数形式表达出来的信号。的函数形式表达出来的信号。l常用的典型输入信号有五种。常用的典型输入信号有五种。00( ) 0tr tA t00( ) 10tr tt1( )R ss00( ) 0tr tAtt00( ) 0tr ttt21( )R ssdrAdt200( ) 0tr tAtt

7、20 0 ( ) 1 02tr ttt31( )R ss222d rAdt 0( ) 0 0 Atr ttt及 0( ) 00ttt( )1R s 0() t() t( )1t dt( )sinr tAt22( )R ss3.1.2 时域法常用的典型输入信号时域法常用的典型输入信号1111( )( )( )( )nnnnnndddc tac tac ta c tdtdtdt101111( )( )( )( )mmmmmmdddbr tbr tbr tb r tdtdtdt12( )( )( )c tctct2( )c t1( )c t这两种分解有没有联系呢？这两种分解有没有联系呢？( )( )

8、( )( )( )C sNsG sR sD s( )( )( )P sR sQ s( )( )( )( )( )( )( )N sP sC sG s R sD sQ s11( )nlikikikABCsssssisks( )R s111( )( )2iknlcjs ts tstikcjikc tC s e dsAeB ej isksiAkB( ) 1( )r tt1( )ins tiih tA eB四、动态性能和稳态性能四、动态性能和稳态性能 稳：稳：( ( 基本要求基本要求 ) ) 系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置系统受脉冲扰动后能回到原来的平衡位置 准准: ( ( 稳态要求稳态要求 ）

9、稳态输出与理想输出间的误差稳态输出与理想输出间的误差( (稳态误差稳态误差) )要小要小 快快: ( ( 动态要求动态要求 ) ) 过渡过程要平稳，迅速过渡过程要平稳，迅速 延迟时间延迟时间 t d 阶跃响应第一次达到终值的50所需的时间 上升时间上升时间 t r 阶跃响应从终值的10上升到终值的90所需的时间 有振荡时，可定义为从 0 到第一次达到终值所需的时间 峰值时间峰值时间 t p 阶跃响应越过终值达到第一个峰值所需的时间 调节时间调节时间 t s 阶跃响应到达并保持在终值 5误差带内所需的最短时间 超超 调调 量量 峰值超出终值的百分比pc(t )c( )%100%c( )%h(t)

10、t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%h(t)t调节时间调节时间tsh(t)t时间时间tr上上 升升峰值时间峰值时间tpAB超调量超调量% =AB100%调节时间调节时间tsh(t)t上升时间上升时间tr调节时间调节时间 tsh(t)tABtrtpts%=BA100%()()100%()ppc tccptrtstdt常用的动态性能指标常用的动态性能指标通常上升时间和峰值时间评价系统通常上升时间和峰值时间评价系统的响应速度；超调量评价系统的阻的响应速度；超调量评价系统的阻尼程度，表征控制系统的震荡程度；尼程度，表征控制系统的震荡程度；调节时间是同时反映响应

11、速度和阻调节时间是同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。尼程度的综合性指标。3.2 一阶系统的时域分析一阶系统的时域分析( )1( )( )1C sG sR sTs( )( )( )dc tTc tr tdtRC电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统电路、恒温箱、液位调节系统、室温调节系统是常见的一阶系统( )1( )r tt1( )R ss11( )(1)1TC ss TssTs/( )( )( )1(0)t Tstc tc tc tet t /( )( )( )1t Tstc tc tc te / t Te2.718e 10.368e110.632e012345(0)1

12、0( )10.632(2 )10.865(3 )10.95(4 )10.982(5 )10.993( )1cec TecTecTecTecTec 3stT4stT35%stT 42%stT ( )( )r tt( )1R s 1( )1C sTs/1( )( )(0)t Tg tc tetT3stT4stT( )r tt21()Rss222111( )11TTC sTssssTs/( )()t Tc ttTTe/ t TTet 0t /( )( )( )t Te tr tc tTTet (0)0e( )eT 3stT4stT21( )2r tt31()Rss311( )1C sTss22/1(

13、 )(1)2t Tc ttTtTe0t 2/( )( )( )(1)t Te tr tc tTtTet (0)0e( )e RLC电路、电动机转速控制系统电路、电动机转速控制系统21221)()()(KKssKKsRsCs12n212nK K2222)()()(nnnsssRsCs212,1 (1)nns s 21 ( 1)nnj j2220nnssd-212,1nnssj 0112,ns s 110212,1nnss 12,ns sj ( )1( )r tt1( )R ss2221( )2nnnC ssss1( )( )c tLC s222212( )(2)()()nnnnC ss sss

14、ssss01212AAAsssss00( )1sAC s s111221( )()21(1)ssAC sss222221( )()21(1)ssAC sss2(1)221( )121(1)ntc te2(1)221(0)21(1)ntet稳态分量稳态分量：1 1暂态分量暂态分量：两个指数函数之和，指数部分由系统传递：两个指数函数之和，指数部分由系统传递函数极点确定。函数极点确定。21121( )( )1nnnnC sR sssss121(3 4)(1)snt()0e 200121( )lim( ) ( )lim1;()()sscsG s R sssssss 22(1 )22(1)( )21(1

15、)ntndc tedt( )0 00 0dc tttdt22(1 )22(1)21(1)ntne201222( )()()nnnnAAAC ss ssss01A21( )()1nnsdAC ssds 22( )()nnnsAC ss ( )1(1)ntnc tet ( )( )( )(1)ntne tr tc tet( )0e 2( )ntndc ttedt0( )0tdc tdt0( )0tdc tdt( )0tdc tdt表明临界阻尼系统的阶跃响应是表明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升单调上升的。的。 临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值14.7snt1

16、/nt222( )max( )(1)0ntnndh tdtd h tetdt222( )(2)nnnC ss ss2222221()(1)()(1)nnnnnnssss22221()()nndnddndssss( )1cossinnnttndddc tetet21(cossin) (0)1ntddettt22( )1(1cossin)1ntddec ttt 21dnarccos)0()1sin(1122ttentn21dn2221ddnT21ndrt1)1sin(11)(22rntrtetcrn0)1sin(2rnt( (注：注：为弧度为弧度) )0, ,2 ,3dpt( )/0dc tdt

17、d pt0sin0sin1)(2pdpdtnttttedttdcpnp21ndpt2(cossin)100%1n pte 2(cossin)100%1n ptdpdpett 21100%pe()()100%()ppc tcc100%n ptepp2( )11ntey t21nste 00.80.7072111(lnln)1snt )8 . 00(%55 . 3%24 . 4nnstu设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标（如调节时间）和已确定的阻尼比给出自其他指标（如调节时间）和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。然振荡角频率。22221

18、dpdnTt欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式)8 . 00(%55 . 3%24 . 4nnst21ndrt21ndpt21100%pe( )1cosnc tt n不同不同下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.01）二阶系统的阻尼比）二阶系统的阻尼比决定了其振荡特性：决定了其振荡特性： 0 时，阶跃响应发散，时，阶跃响应发散，系统不稳定（负阻尼）系统

19、不稳定（负阻尼）= 0时，出现等幅振荡时，出现等幅振荡011222( )( )2nnnC sR sss(t0)( )1R s u 欠阻尼：欠阻尼：00 1 1222( )( )2nnnC sR sss(t 0)21( )R ss 欠阻尼：欠阻尼：0 1 临界阻尼：临界阻尼： = 122( )sin(2 )1ntdnnec ttt 22( )(1)2ntnnntc tte 2222(1)222(1)221212( )21212121nntnntnc ttee 无阻尼：无阻尼： = 01( )sin()nnc ttt 3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（1 1）3.5.1 3.5.1 稳

20、定性定义稳定性定义 稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系稳定是控制系统正常工作的首要条件。分析、判定系统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论统的稳定性，并提出确保系统稳定的条件是自动控制理论的基本任务之一。的基本任务之一。定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当定义：如果在扰动作用下系统偏离了原来的平衡状态，当 扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来扰动消失后，系统能够以足够的准确度恢复到原来 的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。的平衡状态，则系统是稳定的；否则，系统不稳定。3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（2 2）3.5.2 3.5

21、.2 稳定的充要条件稳定的充要条件 系统稳定的充要条件：系统稳定的充要条件：系统所有闭环特征根均具有负的实部，系统所有闭环特征根均具有负的实部， 或所有闭环特征根均位于左半或所有闭环特征根均位于左半s平面。平面。0)(lim tkt根据系统稳定的定义，若根据系统稳定的定义，若 , ,则系统是稳定的。则系统是稳定的。 )()( )()()( )()()()(2121nnmmsssazszszsbsDsMs niiinnsAsAsAsAssC12211)()( nititnttinieAeAeAeAtk1212)( 0lim)(lim1 nitittieAtk ni, 2, 1 必要性必要性：0

22、i 充分性充分性：0 i ni, 2, 1 0)(1 nittiieAtk 3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（3 3）3.5.3 3.5.3 稳定判据稳定判据0)(0111 asasasasDnnnn(1)(1)必要条件必要条件)0( na0 ia1, 2, 1, 0 ni说明：说明：0128296)(2345 ssssssD)3)(2)(1()( ssssD)3)(23(2 sss611623 sssssss2)2)(1(2 2 s232 ss)3)(23(2 ssssss2323 6932 ss611623 sss08964)(245 sssssD010275)(234 sss

23、ssD例例1 1不稳定不稳定不稳定不稳定可能稳定可能稳定3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（4 4）0)(012211 asasasasasDnnnnnn(2) (2) 劳斯（劳斯（Routh）判据判据0321sssssnnnn 劳斯表劳斯表642 nnnnaaaa7531 nnnnaaaa4321bbbb4321cccc劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定 且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数 0a13211 nnnnnaaaaab15412 nn

24、nnnaaaaab17613 nnnnnaaaaab121311bbaabcnn 131512bbaabcnn 141713bbaabcnn 3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（5 5）s4s3s2 s1 s0解. 列劳斯表 1 7 10 5 2劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 33184 5335335275 10501105 331845331052533 10331841051033184 1010 33184 例例2：D(s)=s4+5s3+7s2+2s+10=0 3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（6 6）s3s2 s1 s0解. 列劳斯表 1

25、 -3 e 2劳斯表第一列元素变号 2次，有2个正根，系统不稳定。 2 230 例例3：D(s)=s3-3s+2=0 判定在右半判定在右半s平面的极点数。平面的极点数。 (3) (3) 劳斯判据特殊情况处理劳斯判据特殊情况处理202 某行第一列元素为某行第一列元素为0 0，而该行元素不全为而该行元素不全为0 0时时: :将此将此0 0改为改为e ，继续运算。继续运算。3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（7 7）解. 列劳斯表1 12 353 20 25s5s4s3s2s1s0316380316320123 380325353 5 25 0 0 02552 s10出现全零行时：出现全零

26、行时：用上一行元素组成辅助方用上一行元素组成辅助方程，将其对程，将其对S求导一次，求导一次，用新方程的系数代替全零用新方程的系数代替全零行系数，之后继续运算。行系数，之后继续运算。25 0列辅助方程：列辅助方程： 例例4 4 D(s)=s5+ 3s4+ 12s3+20s2+35s+25 0102552 ssdsd = (sj ) (s+1) (s+1j2) =0 出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号出现全零行时，系统可能出现一对共轭虚根；或一对符号相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。相反的实根；或两对实部符号相异、虚部相同的复根。 53.5 3.5 系统稳定性分析系统

27、稳定性分析（8 8）解. 列劳斯表1 0 -12 0 -2s5s4s3s2s1s0000 -2 16 /e0 0224 s8-2 0列辅助方程：列辅助方程： 例例5 5 D(s)=s5+ 2s4-s-2=0 082234 ssdsde第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定第一列元素变号一次，有一个正根，系统不稳定=(s+2)(s+1)(s-1)(s+j1)(s-j1)3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（9 9）例例6 6 系统结构图如右，系统结构图如右， (1)(1)确定使系统稳定的参数确定使系统稳定的参数( (K, ,x)的的范围范围; ; (2) (2)当当x=2时，确定使全

28、部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。解解.(1)(1)10020()(2 sssKsGa 100aKK 010010020)(23 KssssD 0123ssss1001K10020 0201002000 K K1000 K0 20 K3.5 3.5 系统稳定性分析系统稳定性分析（1010）(2)(2)当当 x=2 时，确定使全部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。0100100220)(23 KssssD0123ssss2316110037 K037100912K 61100 K61. 0 K12. 9 K当当 x=2

29、 时，进行平移时，进行平移：1 ss1 ss0)61100(233723 Ksss0100)1(100)1(40)1()(23 KssssD课程小结课程小结 3.5.1 3.5.1 稳定性定义稳定性定义 3.5.2 3.5.2 稳定的充要条件稳定的充要条件 3.5.3 3.5.3 稳定判据稳定判据0)(lim tkt（1 1）判定稳定的必要条件）判定稳定的必要条件 0)(0111asasasasDnnnn0 ia（2 2）劳斯判据）劳斯判据（3 3）劳斯判据特殊情况的处理）劳斯判据特殊情况的处理（4 4）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数范围）劳斯判据的应用（判定稳定性，确定稳定的参数

30、范围） 系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部系统闭环特征方程的所有根都具有负的实部或所有闭环特征根均位于左半或所有闭环特征根均位于左半s s平面平面 3.6 3.6 稳态误差分析稳态误差分析 (1)(1)稳态误差是系统的稳态性能指标，稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。是对系统控制精度的度量。本讲只讨论系统的原理性误差，本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。不考虑由于非线性因素引起的误差。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。 通常把在阶跃输入作用下没

31、有原理性稳态误差的系通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为统称为无差系统无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称；而把有原理性稳态误差的系统称为为有差系统有差系统。 概概 述述3.6 3.6 稳态误差分析稳态误差分析 (2)(2)3.6.1 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差3.6.2 3.6.2 计算稳态误差的一般方法计算稳态误差的一般方法 （1 1）判定系统的稳定性判定系统的稳定性 稳态误差稳态误差 )()(lim eteetss（2 2）求误差传递函数求误差传递函数 （3 3）用终值定理求稳态误差用终值定理求稳态误差 )()()(,)()()(sNsEssRsEsene

32、)()()()(lim0sNssRsseenesss 按输入端定义的误差按输入端定义的误差 )()()()(sCsHsRsE 按输出端定义的误差按输出端定义的误差 )()()()(sCsHsRsE 3.6.2 3.6.2 计算稳态误差的一般方法计算稳态误差的一般方法 (1)(1) 例例 系统结构图如图所示，已知系统结构图如图所示，已知 r(t)=n(t)=tr(t)=n(t)=t，求系统的稳态误差。，求系统的稳态误差。解解KTssTssTssKsRsEse )1()1()1(11)()()(0)(2 KsTssDKsKTssTssssRssesesssr11)1()1(lim)()(lim20

33、0 KTsssTTssKTssKsTKsNsEsnnnnen )1()1()1()1(11)()()( KKsKTsssTTssKssNssennnsensssn 2001)1()1()1(lim)()(limKKeeenssnssrss 13.6.2 3.6.2 计算稳态误差的一般方法计算稳态误差的一般方法 (2)(2) 例例2 已知系统结构图已知系统结构图, 求求 r(t)分别为分别为A1(t), At, At2/2时的稳态误差。时的稳态误差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(K

34、AsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系统自身的结构参数系统自身的结构参数影响影响e essss的因素：的因素： 外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等） 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）3.6.3 3.6.3 静态误差系数法静态误差系数法（1 1） 静态误差系数法静态误差系数法 r(t) r(t)作用时作用时e essss的计算规律的计算规律)1()1()1()1()(110 sTsTsssGvnm 1)(lim00 sGs)(

35、)1()1()1()1()()()(0111sGsKsTsTsssKsHsGsGvvnvm )(11)()(11)()()(01sGsKsHsGsRsEsve )(11)(lim)()(lim000sGsKsRssRssevsesssp 3.6.3 3.6.3 静态误差系数法静态误差系数法（2 2） )( 1)(tAtr )()(lim1)()(11lim)()(lim10100sHsGAsHsGsAssRssessesssp )(11)(lim)()(11)(lim)()(lim00100sGsKsRssHsGsRssRssevssesss vsspsKsHsGK010lim)()(lim pKA 1tAtr )()()(lim)()(11lim)()(lim101200sHsGsAsHsGsAssRssessesssv 1010lim)()(lim vssvsKsHsGsKvKA 22)(tAtr )()(lim)()(11lim)()(lim1201300sHsGsAsHsGsAssRssess