第三节分子的对称性与点群

1、第三节分子的对称性与点群第三节分子的对称性与点群 Symmetry-character of molecule and point groupSymmetry-character of molecule and point group一、对称元素与对称操作一、对称元素与对称操作二、常见分子的点群二、常见分子的点群一、对称操作与对称元素一、对称操作与对称元素 Symmetry operation and symmetry chemical elementSymmetry operation and symmetry chemical element1.1.什么是对称性什么是对称性 所谓对称性是指

2、，若某一现象（或体系）在某一变换下不改变，则所谓对称性是指，若某一现象（或体系）在某一变换下不改变，则该现象（或体系）具有与该变换所对应的对称性。该现象（或体系）具有与该变换所对应的对称性。 对称（对称（symmetrysymmetry）在自然界是一种常见的现象。）在自然界是一种常见的现象。例如：例如：放大的食盐晶体放大的食盐晶体显微镜下的雪花显微镜下的雪花2.2.什么是对称操作什么是对称操作 如果在圆环上加一个小球，其对称操作就受到限制，只能是转动如果在圆环上加一个小球，其对称操作就受到限制，只能是转动 22的整数倍图形才能复原。的整数倍图形才能复原。RevolveRevolveO OO O

3、RevolveRevolveO O 此类对称操作我们称此类对称操作我们称为，旋转对称操作为，旋转对称操作 所谓对称操作是指能使图形复原的操作。分子的几何构型可用对称图所谓对称操作是指能使图形复原的操作。分子的几何构型可用对称图形来表示。形来表示。 例如，在没有标记的一个圆中，对于围绕例如，在没有标记的一个圆中，对于围绕其中心并垂直于圆面的轴其中心并垂直于圆面的轴 O O旋转任意角度，其旋转任意角度，其图形均不变，此操作是对称的。图形均不变，此操作是对称的。O OO ORevolveRevolveRevolve Revolve /2/2/4/4RevolveRevolveO O4 42 21 1

4、3 3图形改变图形改变/4/4RevolveRevolve图形不变图形不变O O4 42 21 13 3 对一个体系进行空间对称操作，通常可以有旋转、镜象反映、中心反对一个体系进行空间对称操作，通常可以有旋转、镜象反映、中心反演、平移、标度变换等多种形式。演、平移、标度变换等多种形式。3.3.常见的对称操作常见的对称操作空间旋转空间旋转 例如，在圆内加一对相互垂直直线的体系。使图形围绕通过中心且例如，在圆内加一对相互垂直直线的体系。使图形围绕通过中心且垂直于圆面的轴垂直于圆面的轴 O O 旋转。为了讨论方便，我们将其编号：旋转。为了讨论方便，我们将其编号：O O1 13 32 24 4/2/2

5、RevolveRevolve图形不变图形不变O O3 31 14 42 2图形不变图形不变O O2 24 43 31 1/2/2RevolveRevolve图形复原图形复原O O1 13 32 24 4/2/2RevolveRevolve 上例中对体系进行的空间旋转对称操作，当绕通过中心且垂直于圆上例中对体系进行的空间旋转对称操作，当绕通过中心且垂直于圆面的轴面的轴 O O旋转某角度后（上例为旋转某角度后（上例为/2/2），其图形不变，这种操作称之为），其图形不变，这种操作称之为空间旋转。空间旋转。 再如，若把苯分子的碳骨架平面视为正六边形，将图形绕通过中心再如，若把苯分子的碳骨架平面视为正六

6、边形，将图形绕通过中心且垂直于平面的轴旋转，则有：且垂直于平面的轴旋转，则有：1 12 26 63 35 54 4RevolveRevolve60606 61 15 52 24 43 3图形不变图形不变RevolveRevolve60605 56 64 41 13 32 2图形不变图形不变RevolveRevolve2402401 12 26 63 35 54 4图形复原图形复原 空间旋转对称操作是分子对称性讨论中的重要操作之空间旋转对称操作是分子对称性讨论中的重要操作之一。任何一种分子至少可找出一种空间旋转操作。一。任何一种分子至少可找出一种空间旋转操作。RevolveRevolve2图形不

7、变图形不变（复原）（复原）镜像反映镜像反映 当一个体系对空间平面进行反映操作时，若其图形不变，该操作称为当一个体系对空间平面进行反映操作时，若其图形不变，该操作称为镜像镜像反映反映对称操作。对称操作。 例如：例如：1 12 24 43 3图形不变图形不变镜像反映镜像反映4 43 31 12 2图形复原图形复原镜像反映镜像反映1 12 24 43 3 镜像反映对称操作同样是分子对称性讨论中的重要操作之一。大多数镜像反映对称操作同样是分子对称性讨论中的重要操作之一。大多数常见分子都可找出一种或多种镜像反映操作。常见分子都可找出一种或多种镜像反映操作。 例如，乙烯分子：例如，乙烯分子：C CC CH

8、 HH HH HH H镜像反映操作镜像反映操作C CC CH HH HH HH H镜像反映操作镜像反映操作C CC CH HH HH HH H镜像反映操作镜像反映操作中心反演中心反演 当一个体系对空间某点进行反演操作时，若其图形不变，该操作称当一个体系对空间某点进行反演操作时，若其图形不变，该操作称为中心反演对称操作。为中心反演对称操作。 例如：例如：1 12 24 43 3图形不变图形不变中心反演中心反演3 34 42 21 1图形复原图形复原中心反演中心反演1 12 24 43 3a aC CC CH HH HH HH H2 21 13 34 4b b 中心反演对称操作也是分子对称性讨论中

9、的重要操作之一。在常见中心反演对称操作也是分子对称性讨论中的重要操作之一。在常见分子中，有许多分子存在着中心反演对称操作。分子中，有许多分子存在着中心反演对称操作。 例如，乙烯分子：例如，乙烯分子：中心反演中心反演b bC CC CH HH HH HH H4312a a图形不变图形不变空间平移空间平移 当对一个体系沿空间某方向平移一个单位后，其形状不变，该操作当对一个体系沿空间某方向平移一个单位后，其形状不变，该操作称为空间平移对称性（称为空间平移对称性（Symmetry of space translationSymmetry of space translation）操作。）操作。 例如：

10、例如：平面格子平面格子空间格子空间格子直线点阵直线点阵 空间平移对称操作是在由无穷个单元构成的体系中有效，对具体分空间平移对称操作是在由无穷个单元构成的体系中有效，对具体分子的对称性研究无效。子的对称性研究无效。标度变换标度变换 所谓所谓“标度变换标度变换”，通俗地讲，就是把一个体系，通俗地讲，就是把一个体系“放大放大”或或“缩缩小小”，其标度不变。，其标度不变。 例如：例如：鹦鹉螺壳鹦鹉螺壳EnlargeEnlargeContractContract 可见，对于分子对称性的研究而言，可见，对于分子对称性的研究而言，“标度变换标度变换”仅只是把分子仅只是把分子骨架图形骨架图形“放大放大”或或“

11、缩小缩小”，无意义。，无意义。 各种对称操作的实现，必须借助于一定的几何实体（如：点、线、各种对称操作的实现，必须借助于一定的几何实体（如：点、线、面），这些几何实体称为对称元素。面），这些几何实体称为对称元素。 在分子中，常见的对称元素有旋转轴、反映面、对称中心和像转轴在分子中，常见的对称元素有旋转轴、反映面、对称中心和像转轴（对称轴与反映面的组合对称轴与反映面的组合）等。）等。4.4.对称元素对称元素对称轴对称轴 C Cn n 旋转轴（旋转轴（symmetry axis of rotationsymmetry axis of rotation）简称转轴，或对称轴。是）简称转轴，或对称轴。是

12、指体系的几何图形绕指体系的几何图形绕“轴轴”旋转一定角度后，图形不变的对称元素，常旋转一定角度后，图形不变的对称元素，常记为记为 C Cn n。( (式中，式中，n n 称为称为“轴次轴次”) ) 例如，前面列举的苯、乙烯：例如，前面列举的苯、乙烯：RevolveRevolve6060C C6 6C C = = C CH HH HH HH HC C = = C CH HH HH HH HRevolveRevolve180180C C2 2 当一个几何图形围绕某轴转动当一个几何图形围绕某轴转动 2/n 2/n 后，该几何图形不变；当其对后，该几何图形不变；当其对围绕某轴转动围绕某轴转动 m m

13、次次 2/n 2/n 后，几何图形完全复原。该对称轴称为后，几何图形完全复原。该对称轴称为 n n 重重旋转轴，记为旋转轴，记为 C Cn n ，n n 称为轴次；连续完成称为轴次；连续完成 m m 次转动常用次转动常用 C Cn nm m 表示。表示。轴次轴次 n nn =n =22x xx x 图形每次操作转动的角度（弧度）图形每次操作转动的角度（弧度）n =n =360360 图形每次操作转动的角度图形每次操作转动的角度RevolveRevolve6060C C6 6C C = = C CH HH HH HH HC C = = C CH HH HH HH HRevolveRevolveC

14、 C2 2例如：例如：n = 360n = 360/60/60 = 6 = 6n = 2/n = 2/ = 2 = 2旋转旋转6 6次次6060，图形复原，图形复原旋转旋转2 2次次180180，图形复原，图形复原6060C C6 61 1又如：又如：1 12 23 34 45 56 66 61 12 23 34 45 5图形不变图形不变6060C C6 61 15 56 61 12 23 34 4图形不变图形不变6060C C6 61 14 45 56 61 12 23 3图形不变图形不变C C6 62 2C C6 63 36060C C6 61 13 34 45 56 61 12 2图形不

15、变图形不变120120C C6 62 21 12 23 34 45 56 6图形复原图形复原C C6 63 3180180 在在 C Cn n 轴中（除了恒轴中（除了恒等元素等元素 E E 外）均包含外）均包含着着 C Cn n1 1、C Cn n2 2 C Cn nn-1n-1等等对称元素。对称元素。 在具体的分子中，往往同时会出现多个对称轴。我们常把轴次最高在具体的分子中，往往同时会出现多个对称轴。我们常把轴次最高的称之为的称之为“主轴主轴”。 例如：例如： COCO2 2分子（直线型）分子（直线型）主轴主轴O C OO C OC C（主轴）（主轴） 此外，在垂直此外，在垂直 C C 轴方

16、向上，通过分子轴方向上，通过分子中心点还有中心点还有 个个 C C2 2 轴。轴。O C OO C OC C2 2 若分子中，同时出现多个轴次最高的对称轴。若分子中，同时出现多个轴次最高的对称轴。“主轴主轴”可在轴次最可在轴次最高的对称轴中任意选择一个。高的对称轴中任意选择一个。 如，乙烯分子有三个相互垂直，并通过如，乙烯分子有三个相互垂直，并通过分子中心点的分子中心点的C C2 2轴。轴。C C = = C CH HH HH HH HC C2 2C C2 2C C2 2反映面反映面 反映面又称为对称面（反映面又称为对称面（plane of symmetryplane of symmetry）

17、或称为镜面（）或称为镜面（mirror mirror planeplane）。是指几何图形经）。是指几何图形经“平面平面”反映后，图形不变的对称元素，常反映后，图形不变的对称元素，常记为记为。 在分子对称性的研究中，我们常将对称面分为在分子对称性的研究中，我们常将对称面分为V V、h h 、d d 三种三种情况。情况。 在点群中，在点群中，V V与与C Cn n作用，必然产生作用，必然产生n n个个V VO C OO C O在在包含主轴的方向上，有包含主轴的方向上，有个对称面（个对称面（V V）。）。V V 对称面对称面V V 是指包含主轴（共平面）的平面反映面。例如，是指包含主轴（共平面）的

18、平面反映面。例如，COCO2 2 分分子（直线型）：子（直线型）：对称面对称面V VC C （主轴）（主轴）verticalvertical 对称面对称面h h 是指垂直主轴的平面反映面。是指垂直主轴的平面反映面。 例如，例如，COCO2 2 分子（直线型）：分子（直线型）：对称面对称面h hO C OO C Oh hC C （主轴）（主轴） COCO2 2分子中除分子中除h h 外，在包含主轴的方向上，并通过分子的中心点还外，在包含主轴的方向上，并通过分子的中心点还有有个对称面（个对称面（V V）。）。 又如，苯、萘分子：又如，苯、萘分子：h hh hh h苯苯萘萘或：或：horizonta

19、lhorizontal对称面对称面d d 对称面对称面d d 是指包含主轴且平分一对垂直主轴的二重轴的平面反映是指包含主轴且平分一对垂直主轴的二重轴的平面反映面（面（d d 是一种特定对称条件下的是一种特定对称条件下的v v）。）。 例如：若将环丙烷分子中的亚甲基视为球体，则环丙烷分子例如：若将环丙烷分子中的亚甲基视为球体，则环丙烷分子( (正三正三角形角形) )有有3 3个个d d。CC2 2CC2 2C C2 2C C3 3CHCH2 2CHCH2 2CHCH2 2d d 在包含主轴（在包含主轴（C C3 3 ），垂直分子平面方向），垂直分子平面方向上有对称面上有对称面V V 。 该对称面

20、该对称面包含包含1 1个个 C C2 2 轴。因此，分子中轴。因此，分子中有有3 3个对称面（个对称面（d d）。1 12 21 1 =2 2 = 60= 60对称中心对称中心 i i 对称中心是指，几何图形对对称中心是指，几何图形对“点点”的反演操作的反演操作( (中心反演中心反演) )后，图形后，图形不变的对称元素，常记为不变的对称元素，常记为 i i 。 例如：例如： COCO2 2 分子（直线型）分子（直线型）中心反演中心反演i i图形不变图形不变O O1 12 2C CO OO O2 21 1C CO O图形复原图形复原O O1 12 2C CO O中心反演中心反演i i又如：苯分子

21、（正六边形）又如：苯分子（正六边形）中心反演中心反演i i图形不变图形不变2 23 3CHCHCHCHCHCHCHCHCHCHCHCH6 65 51 14 45 56 6CHCHCHCHCHCHCHCHCHCHCHCH3 32 24 41 1像转轴像转轴 S Sn nS Sn n = C= Cn n + +h h =h h + C + Cn n 所谓所谓“像转像转”对称操作，实际上是旋转与镜面反映的复合操作。像对称操作，实际上是旋转与镜面反映的复合操作。像转轴可表示为对称轴与对称面的组合。即：转轴可表示为对称轴与对称面的组合。即：1 12 23 34 4 例如：甲烷分子中的四次像转轴例如：甲烷

22、分子中的四次像转轴 S S4 4 = C= Ch h +h hC C4 4C C4 41 1操作操作旋转旋转90901 12 23 34 44 43 31 12 2反映操作反映操作1 12 23 34 4h h 图形不变图形不变C C4 43 3操作操作3 34 42 21 1旋转旋转2702701 12 23 34 4反映操作反映操作h h图形复原图形复原S S4 4问题思考与练习问题思考与练习4-7 4-7 试分析立方体的对称元素。试分析立方体的对称元素。环丙烷环丙烷苯苯4-8 4-8 若把环丙烷分子中的若把环丙烷分子中的CHCH2 2 及苯环中的及苯环中的CHCH分别看成是分别看成是“球

23、体球体”，分，分别分析环丙烷分子及苯分子的对称元素。别分析环丙烷分子及苯分子的对称元素。二、常见分子的点群二、常见分子的点群 The point group of familiar memberThe point group of familiar member “ “群群”是一种代数结构，简单地说是，满足某些相互联系规律的一是一种代数结构，简单地说是，满足某些相互联系规律的一些元素的集合，常用符号些元素的集合，常用符号 G GA,B,C,A,B,C,表示。表示。 对于对于1 1个具体的分子而言，其各个对称操作构成个具体的分子而言，其各个对称操作构成1 1个群，由于这些操个群，由于这些操作至少

24、保持分子的一点不动，该群则称为作至少保持分子的一点不动，该群则称为点群点群。 点群不存在平移操作，并且所有的对称元素都集中在一个共同的点点群不存在平移操作，并且所有的对称元素都集中在一个共同的点上。上。1.1.群与点群群与点群 在研究分子、晶体等物质结构时，我们往往会感觉到，某些分子或在研究分子、晶体等物质结构时，我们往往会感觉到，某些分子或晶体的对称性较高，而某些分子或晶体的对称性较差。晶体的对称性较高，而某些分子或晶体的对称性较差。 如何表达、衡量体系（如分子、晶体等）的对称性？数学上用对称如何表达、衡量体系（如分子、晶体等）的对称性？数学上用对称群、对称元素来描述。群、对称元素来描述。2

25、.2.常见分子的点群常见分子的点群 我们知道，分子可以是千千万万，但它们所属的点群却是很有限的我们知道，分子可以是千千万万，但它们所属的点群却是很有限的几种类型。常见的分子点群主要有：几种类型。常见的分子点群主要有：C Cn n、C Cnvnv、C CnhnhD Dn n、D Dnhnh、D DndndT Td dO Oh h分子点群分子点群的类型的类型高阶群高阶群四面体群四面体群立方体群立方体群二十面体群二十面体群I I低阶群低阶群 群中所含对称元群中所含对称元素的个数称为群阶素的个数称为群阶 C Cn n 群群 若分子中只有若分子中只有1 1个个 n n 重旋转轴，它就属于重旋转轴，它就属

26、于 C Cn n 群。群。 C Cn n 群共有群共有 n n 个对个对称元素（旋转操作）。称元素（旋转操作）。 E E，C C1 1n n，C C2 2n n，C C3 3n n， C Cn nn-1 n-1 群元素：群元素：群阶：群阶： n n例如：例如：CHFClBrCHFClBr、H H2 2O O2 2、CClCCl3 3CHCH3 3 CHFClBrCHFClBrC C1 1 群群群元素：群元素：E E（恒等元素）（恒等元素）群群 阶：阶：1 1H HF FClClBrBrC CH H2 2O O2 2C C2 2 群群群元素：群元素：GEGE，C C2 2 群群 阶：阶：2 2H

27、 HO OH Ha ac cb bc/2c/2b/2b/2O OC C2 2 通过上底面棱边通过上底面棱边 的中心点的中心点a/2a/2及及O-O O-O 键键的中心点。的中心点。a/2a/2C CH HH HH HClClClClClCl交错式交错式CClCCl3 3CHCH3 3C C3 3 群群群元素：群元素：G GE E，C C3 3群阶：群阶：3 3 V V与与C Cn n作用，必作用，必然产生然产生n n个个V V C Cnvnv 群群 在在 C Cn n 群的基础上，增加了群的基础上，增加了 n n 个包含主轴的对称面个包含主轴的对称面V V。即：分子中。即：分子中有有 1 1

28、个个 n n 重旋转轴，有重旋转轴，有 n n 个个V V。 C Cnvnv 群共有群共有 2n 2n 个对称元素。个对称元素。 E E，C C1 1n n，C C2 2n n，C C3 3n n，CCn nn-1n-1；V V，V V，V V(n)(n) 群元素：群元素：群群 阶：阶： 2n2n例如：例如：H H2 2O(VO(V形形) )、NHNH3 3（三角锥）（三角锥）NHNH3 3群元素：群元素： E E，C C1 13 3，C C2 23 3，V V，V V，V V C C3v 3v 群群H HO OH H2 2O OH H104.5104.5C C2v 2v 群群群元素：群元素：

29、 E E，C C1 12 2，V V，V V 群群 阶：阶：4 4H HH H107107H HN N群群 阶：阶：6 6h hCCn n = S= Sn n C Cnhnh 群群 在在 C Cn n 群的基础上，增加了群的基础上，增加了 1 1 个垂直主轴的对称面个垂直主轴的对称面h h 。由于垂直主。由于垂直主轴对称面轴对称面h h 的存在，必然导致产生的存在，必然导致产生 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 个像转操作。个像转操作。 E E，C C1 1n n，C C2 2n n，C C3 3n n C Cn nn-1n-1；h h；S S1 1n n，S S2 2n n， S Sn

30、 nn-1n-1 群元素：群元素：群群 阶：阶： n + 1 +( n - 1) = 2nn + 1 +( n - 1) = 2n例如：例如：HOClHOCl、反式、反式1,21,2氯乙烯氯乙烯ClClO OHOClHOCl C C1h 1h 群分子实际上只有群分子实际上只有1 1个个反映面反映面。常称为。常称为 C Cs s 群。群。H HC C1h 1h 群（群（C Cs s群）群）1,21,2氯乙烯氯乙烯C C2h 2h 群群群元素：群元素： E E，C C1 12 2，h h，i i 群群 阶：阶：4 4C CC CH HClClH HClCl 当对称轴轴次当对称轴轴次 n n 为为偶

31、数，偶数， S S2n2nn n 变为变为i i D Dn n 群群 在在 C Cn n 群的基础上，增加了群的基础上，增加了1 1个垂直主轴的二重轴个垂直主轴的二重轴 C C2 2 。由于。由于 C Cn n 主轴主轴与其垂直的与其垂直的 C C2 2 轴组合，必然导致产生轴组合，必然导致产生 (n - 1)(n - 1)垂直主轴的二重轴垂直主轴的二重轴 C C2 2 。群元素：群元素： E E，C C1 1n n，C C2 2n n， C Cn nn-1n-1；C C2 2，C C2 2， C C2 2(n)(n) 群群 阶：阶： 2n2nH HH HH HH HH HH HC C例如：交

32、错式例如：交错式C C2 2H H6 6C C3 3C-CC-C键轴中心线键轴中心线C C2 2 两个氢原子连线的中点两个氢原子连线的中点与与C-CC-C键中心点的连线。键中心点的连线。D D3 3 群群群元素：群元素：EE，C C1 13 3，C C2 23 3，C C2 2，C C2 2，C C2 2 D Dnhnh 群群 在在C Cn n群的基础上，有群的基础上，有 n n 个垂直主轴的二重轴个垂直主轴的二重轴C C2 2，还有，还有1 1个垂直主轴的个垂直主轴的对称面对称面 h h 。由于垂直主轴对称面。由于垂直主轴对称面h h 的存在，必然导致产生的存在，必然导致产生( n - 1)

33、( n - 1)个像转操作。个像转操作。群元素：群元素： E E，C C1 1n n，C C2 2n n，CCn nn-1n-1；C C2 2，C C2 2， C C2 2(n)(n)；h h； S S1 1n n，S S2 2n n， S Sn nn-1n-1；V V，V V，V V(n)(n) 群群 阶：阶：4n4n例如，乙烯、苯：例如，乙烯、苯：D D2h 2h 群群群元素：群元素： E E，C C1 12 2，h h，C C2 2，C C2 2，V V，V V，S S2 2 C CC CH HH HH HH H对称中心对称中心 i iD D6h 6h 群群群元素：群元素： E E，C

34、C6 6，h h，6C6C2 2，66V V，S S6 6 当当 n = 6 n = 6 时，时，C Cn n +h h = S= Sn n就是就是对称中心对称中心i i。 D Dndnd 群群 在在 D Dn n 群的基础上，加上群的基础上，加上1 1个通过个通过 C Cn n 轴又平分相邻两个轴又平分相邻两个 C C2 2 轴夹角的轴夹角的平面反映平面反映v v。群元素：群元素： E E，C Cn n1 1，C Cn n2 2， C Cn nn-1n-1；C C2 2，C C2 2， C C2 2(n)(n)；d d， d d， d d(n(n) )；S S2n2n1 1，S S2n2n3

35、 3， S S2n2n2n-12n-1 群群 阶：阶： 4n4n例如，丙二烯、二茂铁等分子例如，丙二烯、二茂铁等分子H HC CH H丙二烯丙二烯D D2d2d 群群群元素：群元素： E E，C C2 2，C C2 2，C C2 2，d d，d d，S S4 41 1，S S4 43 3 C CC CH HH HFeFeD D5d 5d 群群二茂铁二茂铁四面体群四面体群 四面体群（四面体群（T T 群）的特点是，分子具有四面体骨架构型。四面体群有群）的特点是，分子具有四面体骨架构型。四面体群有T T点群、点群、T Th h 点群和点群和 T Td d 点群三类。点群三类。 T T 点群是一个纯

36、旋转群，不含对称面点群是一个纯旋转群，不含对称面和对称中心和对称中心 i i。T T 点群的群元点群的群元素为：素为：EE，4C4C3 31 1，4C4C3 32 2，3C3C2 2 ；群阶为；群阶为1212。 属于属于T T点群类的分子很少见（如：新戊点群类的分子很少见（如：新戊烷）。烷）。 T T 群群 T Th h 群群 T Th h 点群是在点群是在 T T 点群的基础上，在垂直点群的基础上，在垂直 C C2 2 轴的方向上有一个对称面轴的方向上有一个对称面h h；C C2 2 轴与轴与h h 作用又产生对称中心。作用又产生对称中心。群元素：群元素： E E，4C4C1 13 3，4C

37、4C3 32 2，3C3C2 2，i i，4S4S1 16 6，4S4S5 56 6，33h h 属于属于T Th h 点群的分子同样很少见。如点群的分子同样很少见。如TiTi8 8C1C12 2+ + 、V V8 8C C1212+ + 等过渡金属元素等过渡金属元素与碳构成的原子簇合物。与碳构成的原子簇合物。群群 阶：阶： 2424TiTi8 8C C1212+ + T Td d 群群是在是在 T T 群的基础上，增加群的基础上，增加 3 3 个象转轴个象转轴 S S4 4 、6 6 个平分个平分 C C2 2 轴轴的对称面的对称面d d 。群元素：群元素： E E，4C4C3 3，3C3C2 2，3S3S4 4，66d d 群群 阶：阶