第二章数学模型2

1、问题：问题： 已知系统的输入信号，系统的输出已知系统的输入信号，系统的输出随时间变化的规律如何？随时间变化的规律如何？微分方程的求解微分方程的求解经典法求解经典法求解拉氏变换法求解拉氏变换法求解简单简单2.3 2.3 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用1.1. 拉氏变换拉氏变换 f(t)F(s)2.2. 拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理3.3. 拉氏反变换拉氏反变换F(s) f(t)4.4. 拉氏变换法求解微分方程拉氏变换法求解微分方程2.3 2.3 拉氏变换及其应用拉氏变换及其应用 已知时域函数已知时域函数 f (t) ，如果满足相应的收敛条，如果满足相应的收敛条件，则可以定义其拉氏变换为

2、件，则可以定义其拉氏变换为F sf tedtst( )( )01.1.拉氏变换的定义拉氏变换的定义复自变量复自变量dtetfsFtfLst)()()(0记为记为2.2.常用信号的拉氏变换常用信号的拉氏变换 a 0 f(t) a1 t 11lim0aaSa( ),ttt000单位脉冲信号单位脉冲信号1)(00dtt0 (t) t 单位脉冲信号单位脉冲信号 0 f(t) t 0 (t) t 1 时间波形 表示为 Lttedttdtst ( )( )( )0001( ),ttt000数学表达式数学表达式1)(00dtt单位阶跃信号单位阶跃信号数学表达式数学表达式0, 00, 1)( 1ttt 0 t

3、 f(t) 1 Ltedtsesstst ( )111100单位斜坡信号单位斜坡信号数学表达式数学表达式f tttt( ),000 0 t f(t) t 00)(1)( 1ststedtsdtetttL20011sdtetesstst21)( 1sttL指数信号指数信号数学表达式数学表达式f tett( ),00tf(t)1sdtedteeeLtssttt10)(0正、余弦信号正、余弦信号数学表达式数学表达式Ltssin2222cossstLttfsin)(ttfcos)(ttfcos)(3.3.拉氏变换的基本定理拉氏变换的基本定理线性定理 若函数分别有其拉氏变换：若函数分别有其拉氏变换：)(

4、)()()(2211sFtfsFtf)()()()(2121sbFsaFtbftafL则则延迟定理)()(sFtf)()(sFetfLs0tf(t)0tf(t-)若若则则 0 t f(t) T=0.5s 解：解：)2()()()(211tftftftf)( 1)()2( 1)(1TtTtTtTttfssesesssF5 . 0225. 02115 . 01)(25 . 025. 05 . 01sesess由延迟定理对于周期信号有由延迟定理对于周期信号有F sF seF seF sTsTs( )( )( )( )1121F seeTsTs121( )()111eF sTs( )1 (5 . 01

5、5 . 0111)(5 . 025 . 025. 025 . 025. 05 . 0sssssseseseseseesF衰减定理衰减定理)()(sFtf若若则则)()(sFtfeLt例：求函数例：求函数 的拉氏变换的拉氏变换tetftsin)(解：解：22sinstL22)(sinsteLt微分定理微分定理若若)()(sFtf且且 f(t) 的各阶导数存在，的各阶导数存在，则则 f (t) 各阶导数的拉氏变换为：各阶导数的拉氏变换为：Lddtf tsF sf( )( )( )0Lddtf ts F ssff( )( )( )( )22200Lddtf ts F ssfsffnnnnnn( )(

6、 )( )( )( )()121000微分定理微分定理若初始条件为零若初始条件为零)()(ssFtfdtdL)()(222sFstfdtdL)()(sFstfdtdLnnnfffn( )( )( )()00001S 为微分算子为微分算子积分定理积分定理若若)()(sFtf则则Lf t dtsF ssf( ) ( )( )1101为积分算子为积分算子s1若初始条件为零，则若初始条件为零，则)(1)(sFsdttfL)(1)(sFsdttfLnn初值定理初值定理且在且在 t=0+处有初值处有初值 f ( t0+ )若若)()(sFtffs F ss()lim( )0终值定理终值定理若若)()(sF

7、tf且且 f () 存在，则存在，则 fs F ss( )lim( ) 0卷积定理卷积定理)()()()()()(2121021sFsFtftfLdftfLt)()(11sFtf)()(22sFtf若若则则求求？f tfdt120()( )4. 拉氏变换的优点拉氏变换的优点：简化函数简化函数22sinstLaseLat1)()()()(21021sFsFdftfLt简化运算简化运算5. 拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换：拉氏变换：已知已知 f ( t ) 求求 F (s)拉式反变换：拉式反变换： 已知已知 F (s) 求求 f ( t ) f tLF sjF se dscjcjst( )( )(

8、)112根据拉氏变换的根据拉氏变换的 基本定理基本定理部分分式法部分分式法分母全部为单根分母全部为单根分母有重根分母有重根F sB sA sb sbsb sbsasasa sammmmnnnnn( )( )( )1110112210)()()(sAsBsF)()()(21nsssssssBassassassnn1122issiisssFa)()(ai 为F (s) 对应于极点 si 的留数。)()(221111nnssassassaLsFLtfnitsitsntstsineaeaeaea12121例例:已知已知 求求 F (s) 拉氏反变换。拉氏反变换。651)(2ssssFf tLF sLs

9、seett( ) ( ) 112312232解：解：)()()(221222212)1(22211ssCssCssCssCssCmmmmmsssssBsF)()()(21CF sssmms s222( ) () CddsF sssmms s2122() ( ) () CmddsF sssmmms s21112112()! ( ) () ()。f tLF s( )( )1C eCmteCmteC teC es tmms tmms ts ts t12121222211222212()!()!()例例：求：求的拉氏反变换的拉氏反变换 f (t) 。F sss ss( )()()2312解：解：F s

10、CsCsCsCs( )()123223131111)43() 1(1)21(31)121(1322ssssttteteettf4321121)( 132)(3例：例：3455)(22sssssF3421)(2ssssF) 1)(3(23422ssssss)3(121) 1(121sstteettf32121)()(解：解：6. 应用拉氏变换解微分方程应用拉氏变换解微分方程 方程两边作拉氏变换方程两边作拉氏变换代入初始条件和输入信号代入初始条件和输入信号写出输出量的拉氏变换写出输出量的拉氏变换作拉氏反变换求出系统输出的时间解作拉氏反变换求出系统输出的时间解 例例 ui=5V uo R=10K C=10 RCdutdtutu tCCi( )( )( )RC LdutdtL utL u tCCi( )( ) ( )RC sUsuUsU sCCCi( )( )( )( )0( .)( ).( )0110105sUsussCC解解： UsusssCC