第十章误差椭圆

1、第十章第十章误差椭圆误差椭圆第十章第十章 误差椭圆误差椭圆10-1 概述概述10-2 点位误差点位误差10-3 误差曲线误差曲线10-4 误差椭圆误差椭圆10-5 相对误差椭圆相对误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆待定点P的真实位置和平差位置之间存在差值：由此而产生的距离 称为P点的点位真误差，简称真位差:10-1 概述概述yyyxxxP222yxPxAxyyPPPsuxy第十章第十章误差椭圆误差椭圆平差后待定点P 的坐标为 。且方差协方差矩阵为:坐标的中误差 和 表示点位在x方向和y方向上的中误差。一般地， ，即点位在不同方向上的中误差一般是不相等的。既然点位在不同方向上的中误差不相等，就

2、有必要研究点位在任意方向 上的中误差。) , (yxyyxyxyxxyxyxyxXXQQQQD2022xyyx第十章第十章误差椭圆误差椭圆为此，将坐标轴旋转一个角度 。点位在任意方向 上的中误差，就是点位在 轴上的中误差X x第十章第十章误差椭圆误差椭圆为此，下面就来求 。如图，由相似变换公式得：应用协方差传播律，得： 即点位在任意方向上的方差为 （1）习惯上，称点位在某方向上的方差为该方向上的位差。 xyxyxcossinsincos2sincossin2sinsincos 22222 22222yxyxyyxyxx)2sinsincos(222022xyyyxxxQQQ习题：习题：10.2

3、.07第十章第十章误差椭圆误差椭圆将两个垂直方向的位差相加，得：上式表明点位在任意两垂直方向上的方差之和为不变量。为此，定义点位在两垂直方向上的方差之和为点位方差：2222222222)cos(sin)cos(sinyxyxyx222yxp点位在任意方向 上的协因数为： （2）2sinsincos22xyyyxxQQQQ第十章第十章误差椭圆误差椭圆1、点位中误差2、任意方向的位差3、位差的极值方向与极值由于点位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定有极值。为了寻求此极值的方向，将（2）式对 求导数，并令其为零，即：yyxxyxpQQ20222)2sinsincos(222022xyyyxxx

4、QQQ10-2 点位误差点位误差第十章第十章误差椭圆误差椭圆用 表示极值方向，则有：即于是有三角方程： （3）因为所以（3）式有两个解： 和 。则极值方向也有两个： 和 ，即一个极大值方向，一个极小值方向，且极大值方向与极小值方向正交。0)2sinsincos(22xyyyxxQQQddddQ002cos2cossin2sincos200000 xyyyxxQQQ02cos22sin)(00 xyyyxxQQQyyxxxyQQQ22tan0)180tan(22tan0002180209000第十章第十章误差椭圆误差椭圆既然 和 为极大值方向和极小值方向，那么哪个是极大值方向？哪个又是极小值方向

5、呢？下面来讨论这个问题。将三角公式代入（2）式，得： （4）090022cos1sin,22cos1cos002002002000000002sin122212sin22cos2tan2212sin22cos)(212sin22cos122cos100 xyyyxxxyxyyyxxxyyyxxyyxxxyyyxxQctgQQQQQQQQQQQQQQQ第十章第十章误差椭圆误差椭圆（4）式的中括号内有两项，第一项恒大于零，第二项的 也恒大于零。 第二项中的 和 有正有负。只有它们同号，第二项大于零，才能使 取极大值。当它们异号时，第二项小于零， 取极小值。当 即 时， ；当 即 时， ；又因为对于

6、 和180+ ， 的符号不变，所以：当 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。当 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。用 和 , 和 表示极大值与极小值方向。知道了极大值与极小值的方向，下面再来研究极大值与极小值的大小。12202ctgxyQ02sin00Q00in20360218001809000sin200002sin0 xyQ0 xyQE180E180FF第十章第十章误差椭圆误差椭圆将极大值方向 与极小值方向 代入（2）式，就可以得到极大值与极小值。实用上，通常重新推导一套公式：因为顾及得：将上式代入（4）式，并顾及 ，得：EF0202112s

7、inctgyyxxxyQQQ22tan02204)(22sinxyyyxxxyQQQQ02022sin112ctg224)(21xyyyxxyyxxQQQQQQ020202022sin2cos112112sinctg第十章第十章误差椭圆误差椭圆令：K为算术平方根，恒大于零。则有：用E表示位差的极大值，F表示位差的极小值，则有： （5）（5）式就是计算位差极大值与极小值的实用公式。224)(xyyyxxQQQKKQQQyyxx21KQQQFKQQQEyyxxyyxxFFEE20202202022121第十章第十章误差椭圆误差椭圆极值方向极值方向当 时，极大值在一、三象限； 极小值在二、四象限。当

8、 时，极大值在二、四象限； 极小值在一、三象限。极大值与极小值极大值与极小值yyxxxyQQQ22tan00 xyQ0 xyQKQQQFKQQQEyyxxyyxxFFEE20202202022121224)(xyyyxxQQQK教材：教材：101习题：习题：10.2.08第十章第十章误差椭圆误差椭圆4、以极值表示任意方向上的位差任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向 是从X轴起算的。若从极大值方向（E轴）起算，其公式会是怎样的呢？下面来推导。如图，从X轴起算的任意方向 ，若从极大值方向（E轴）起算则为 。为了导出极值表示任意方向上的位差，分别以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，得：2

9、cosE2sinE第十章第十章误差椭圆误差椭圆 （6）因为 ，所以将上式代入（6）式，得： （7）若分别以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，经与以上同样的推导，得： （8）EyyxxEEKQQFE2cos21sincos2022220002cos2sin22tanyyxxxyQQQ2204)(22sinxyyyxxxyQQQQKQQQQQQQQQyyxxxyyyxxxyxyyyxxE224)(222cos220222221sincosxyyxxyyxxEEQQQQFE2sinE2cosE220222221cossinyyyxxyyxxEEQQQQFE第十章第十章误差椭圆误差椭圆（7）式

10、和（8）式就是用极值E、F计算纵横坐标中误差的公式。若规定任何方向都由E 轴起算，则纵坐标轴X相对于E轴的方位角为 （如图）。故（7）式可写为：由于X轴是以E轴起算的所有方向中的一个特定方向，所以以E轴起算的任意方向 上的位差为： （9）（9）式就是以E轴为起算方向，用极值E、F计算任意方向 上的位差的实用公式。E360)360(sin)360(cos22222EExFE22222sincosFE第十章第十章误差椭圆误差椭圆 以极大值方向与极小值方向的交点为极点、以极大值方向E为极轴、以不同的方位角 （由E轴起算）和位差 为极坐标的点的轨迹，是一条闭合曲线，形状如下图。图中任意方向 上的向径O

11、P就是该方向上的位差 。该曲线将各方向上的位差清清楚楚地图解出来了。由图知，该曲线关于E轴和F轴对称。称该曲线为点位误差曲线。10-3 误差曲线误差曲线第十章第十章误差椭圆误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆 点位误差曲线不是标准曲线，在计算机普遍使用之前作图不方便。为此，总是用一个长半轴等于E，短半轴等于F的椭圆来近似表示（如图），并称此椭圆为点位误差椭圆，简称误差椭圆。由图知，此误差椭圆仅由长半轴E、短半轴F、以及长半轴E的方位角 确定。因此，称E、F和 为误差椭圆的三个参数。EE10-4 误差椭圆误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆误差椭圆除了在长轴E、短轴F上能精确表示位差外,其它任何

12、方向都不能直接从误差椭圆上量取位差的大小。要通过误差椭圆得到任意方向位差的大小，其方法是：垂直任意方向 作误差椭圆的切线PD，则垂足D至O的长度就是任意方向 上的位差，即_OD第十章第十章误差椭圆误差椭圆证明：证明：如图，中间的虚线表示误差曲线，外面的虚线是半径为E的大圆弧，最里面的虚线是半径为F的小圆弧。现作以OE为起始方向的角度 的向径，交大圆于 ，交小圆于 ，过 作y轴的平行线交x轴于a点。过 作x轴的平行线交y轴于b点，两平行线的交点P，正好是椭圆上的一点。这是因为：P PPP sinsincoscos_FPoobaPyEPoaoPbxpp 第十章第十章误差椭圆误差椭圆即 （9）（9）

13、式的第一式乘以 ，第二式乘以 ，得： （10）（10）式的两式相加，得：故有： （11）（11）式为椭圆方程，所以P点正好是椭圆上的一点。222222sincosFyExpp2222222222sincosFEyEFExFpp222222FEyExFpp2F2E12222FyExpp第十章第十章误差椭圆误差椭圆下面再来证明 。以椭圆上的点 为切点作椭圆的切线，再过O点作此切线的垂线 该垂线从E轴起算的方位角为 ，垂足为D点。由图知：上式两边平方得：_OD),(ppyxPPO sinsincoscossincos11_FEyxCDOCODpp211222211122212222222111222

14、12221121221222)cossinsincos(sincos)sinsincoscos2cossinsincos(sincossinsincoscos2)cos1 (sin)sin1 (cossinsincoscos2sinsincoscosFEFEEFFEFEEFFEEFFEOD（12）第十章第十章误差椭圆误差椭圆由图，并顾及知， 的协率为：故有：所以（12）式变为：所以_PDctgEFdxdddydxdy1111sincossin,cosFyEx11cossinsincosFE222222sincosFEOD_OD第十章第十章误差椭圆误差椭圆GPS网三维无约束平差误差椭圆网三维无约

15、束平差误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆GPS网三维无约束平差误差椭圆网三维无约束平差误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆 在平面控制网中，绘出各待定点的位误差椭圆后，就可应用点位误差椭圆图解各待定点与已知点之间的边长中误差与方位角中误差。但不能用同样的方法图解待定点与待定点之间的边长中误差与方位角中误差。而在实际工作中，重要的却是任意两个待定点之间的相对精度。为此，有必要研究任意两个待定点之间的相对精度问题。设有任意两个待定点 和 ，它们的坐标平差值的协因数矩阵为：iPjPjjjjjijijjjjijjijijiiiiijijiiiiiyyyxyyyxyxxxyxxxyyxyyyyxyxx

16、xyxxxXXQQQQQQQQQQQQQQQQQ10-5 相对误差椭圆相对误差椭圆第十章第十章误差椭圆误差椭圆这两个待定点的相对位置可通过平差后两点的坐标差来表示，即应用协因数传播律，得： （13）如果这两个点中有一个为无误差的已知点，比如 点，则以上协因数阵变为：jjiiijijyxyxyx10100101jijjiijjjiijiijjjiijiijijjiiyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxyyyxyxxxQQQQQQQQQQQQQQQQQQ22iP第十章第十章误差椭圆误差椭圆 （14）由此可计算出 点的点位误差椭圆的3个参数。可见，点位误差椭圆或误差曲线是相对于已

17、知点而言的。当 不是已知点，而是待定点时，所不同的只是协因数阵。即协因数阵由（14）式变为（13）式。因此，用（13）式中的元素计算的误差椭圆的3个参数，就是待定点 相对于待定点 的误差椭圆参数，即 （15）jjjjjjjjyyyxyxxxyyyxyxxxQQQQQQQQjPiPjPiPyyxxyxQQQ22tan0KQQFKQQEyyxxyyxx2022022121224)(yxyyxxQQQK第十章第十章误差椭圆误差椭圆由（15）式计算出误差椭圆的3个参数后，就可按上节介绍的方法绘制误差曲线或误差椭圆。这样的误差曲线或误差椭圆是待定点 相对于待定点 的误差曲线或误差椭圆，故称之为相对误差曲

18、线或相对误差椭圆。举例举例例例1 1、已知P点的协因数阵为：单位权中误差为 。试求点位误差椭圆的三个参数及点位误差 。解：jPiP3806. 02082. 02082. 04494. 0yyxyxyxxxxQQQQQ2cm秒50 p0523. 63806. 04494. 0)2082. 0(222tan0yyxxxyQQQ第十章第十章误差椭圆误差椭圆故： 及所以 及因为 ，所以极大值方向在第二、四象限；极小值方向在第一、三象限，即： 或 或又因为所以于是得点位误差： 55222920 552227920 5 .2714490 5 .27141390 02082. 0 xyQ5 .2714139

19、 E5 .2714319 E5 .271449 F5 .2714229 F0994. 5)2082. 0(4)3806. 04494. 0(3806. 04494. 0256506.15)2082. 0(4)3806. 04494. 0(3806. 04494. 02522222222FEcm26. 2,cm96. 3FEcm55. 4,7500.200994. 56506.15222ppFE第十章第十章误差椭圆误差椭圆例例2 2、数据同例1,试计算方位角为155度(由X轴起算)上的位差。解：按（1）式计算： 按（9）式计算： 故cm86. 3915.14310sin2082. 0155sin

20、3806. 0155cos4494. 0(5)2sinsincos(22222202xyyyxxQQQ5 .3281155 .2714139155 cm915.145 .328115sin0994. 55 .328115cos6506.15sincos2222222 FE第十章第十章误差椭圆误差椭圆例例3 3、设单位权中误差为 ， 点和 点的协因数阵为：试绘出 点和 点的点位误差椭圆和相对误差椭圆，并从图上量取两点的相对位置精度。解： 的点位误差椭圆参数为：极值方向：解得：50 1P2P2cm/s)(003784. 0003332. 0002931. 0001553. 0003332. 000

21、7121. 0002531. 0000952. 0002931. 0002531. 0003806. 0002082. 0001553. 0000952. 0002082. 0004494. 0XXQ1P2P1P052326. 6003806. 0004494. 0)002082. 0(222tan11111101yyxxyxQQQ14229141390101和第十章第十章误差椭圆误差椭圆因为 ，所以极大值方向在第二、四象限，即极值： 的点位误差椭圆参数为：极值方向：解得：因为 ，所以极大值方向在第一、三象限，即011xxQ142291413911EE或004228. 0)002086. 0(4)003806. 0004494. 0(221Kcm23. 0,050900. 02/ )004228. 0003806. 0004494. 0(5cm40. 0,156604. 02/ )004228. 0003806. 0004494. 0(512211221FFEE2P997003. 1003784. 0007121. 0)003332. 0222ta