广东深圳南山区高二数学上学期期末试卷理含解析

1、广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科)一、选择题(每小题5分，共40分)1. (5分)在4ABC中，已知a=6,A=60,C=45,贝Uc=()A.2-B.7C.二D.272. （5分）双曲线2-=1的渐近线方程是（）49A.y=xB.y=xC.y=x392D.y=x43. (5分)等比数列an中，任意的A.2B.3nCN,an+1+an=3n+1,则公比q等于（）C.V5D.V34.（5分）设a0,b0,且a+b=2,贝U1+1的最小值为（）abA.1B.2C.4D.4.5x+2,则不等式f(x)vx2的解集是()k-2,A.（2,+8）U（-8,0B.RC.

2、求而和点G的坐标；求异面直线EF与AD所成的角;求点C到截面AEFG的距离.20.(14分)P是圆x2+y2=4上任意一点,P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点,轨迹为曲线C,曲线Ci的方程为：x2=8(y-nj)(mi0)(1)求轨迹C的方程；(2)若曲线C与曲线C1只有一个公共点，求曲线。的方程;（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线G都只有一个交点的直线l方程.广东省深圳市南山区2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1. （5分）在4ABC中，已知a=6,A=60,C=45,贝Uc=（）A.21B.二C.二D.21考点：

3、正弦定理.专题：解三角形.分析：利用正弦定理列出关系式，把sinA,sinC以及a的值代入计算即可求出c的值.解答：解：在4ABC中，a=6,A=60,C=45,.6X*.由正弦定理_=一得：c=asinC=一产二二2后，sinAsinCsinA登2故选：D.点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键.22的渐近线方程是（）2. （5分）双曲线-=149A. y=I*,4-，3B. y=xC.y=x92D.y=x4考点：双曲线的简单性质.专题：计算题.分析：根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可.解答：解：双曲线f-4的渐近线方程是-0,即尸士足乂.4

4、949y2故选C.点评：本题考查双曲线的渐近线方程的求法，双曲线的基本性质的应用，考查计算能力.3. （5分）等比数列an中，任意的nCN,an+1+an=3n+1,则公比q等于（）_A.2B.3C.V3D.-a考点：数列递推式.专题：等差数列与等比数列.分析：把n=1、2分别代入已知的式子，并利用等比数列的通项公式化简求出公比q的值.解答：解：.等比数列an中，任意的nCN*,an+i+an=3n+1,23.a2+ai=3,a3+a2=qa2+qai=3,两个式子相除可得，公比q=3,故选：B.点评：本题考查了等比数列的通项公式，以及递推公式的化简，属于基础题.4. （5分）设a0,b0,且

5、a+b=2,贝U+_l的最小值为（）abA.1B.2C.4D.4.5考点：基本不等式.专题：不等式的解法及应用.分析：由题意可得-+-=-（+-）（a+b）（2+2+月），由基本不等式求最值可得.ab2ab2ab解答：解：.1a0,b0,且a+b=2,+=（+）（a+b）ab2ab=1（2+A+且）1（2+2瓦旦）=22ab2Rab当且仅当上二9即a=b=1时取等号，ab故选：B点评：本题考查基本不等式，属基础题.x+25. （5分）设f（工）二一，则不等式f（x）vx2的解集是（）x-2,y0”是“|a|0的充分不必要条件C. ?xCR2x0D. x0时，|a|0,反之,a可以是负数；C,利

6、用指数函数的性质，可知？xCR,2x0;D,x2时，|x|2不一定成立，反之，|x|0时，|a|0,反之，a可以是负数，所以“a0”是“|a|0的充分不必要条件，故B为真命题；对于C,利用指数函数的性质，可知？xCR,2x0,故C为真命题；对于D,x2时，|x|2不一定成立，反之，|x|2时，xv2成立，“x2”是“|x|2”的必要非充分条件，故D为假命题故选D.点评：本题考查命题的真假判断，考查四种条件的判断，解题时需对各命题逐个进行判断.8. （5分）某8艇在A处测得遇险渔船在北偏东45。距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速2

7、1海里，则舰艇到达渔船的最短时间是（）小时.A-iB-C-1D.1435考点：解三角形的实际应用.专题：应用题；解三角形.分析：设两船在B点碰头，设舰艇到达渔船白最短时间是x小时，由题设知AC=10AB=21x,BC=9x,ZACB=120,由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）22X10X9xXcos120,由此能求出舰艇到达渔船的最短时间.解答：解：设两船在B点碰头，由题设作出图形，设舰艇到达渔船的最短时间是x小时，贝UAC=1QAB=21x,BC=9x,ZACB=120,由余弦定理，知（21x）2=100+（9x）2-2X10X9xXcos120,整理，得36x2-9x-10=0,

8、解得x=Z,或x=-且（舍）.312点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想.二、填空题（每小题5分，共30分）9. （5分）已知命题p：?xCR,x2+2x=3,贝U?p是？xCRx2+2xw3.考点：命题的否定.专题：规律型.分析：根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论.解答：解：二命题p：?xCR,x2+2x=3是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，得？p：?xCR,x2+2xw3.故答案为：？xCR,x2+2xw3.点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词命题的否定的形式,比较基础.10. （

9、5分）焦点坐标为（0,10）,离心率是也的双曲线的标准方程为4考点：双曲线的简单性质.专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.分析：求出双曲线的几何量a,b,c即可求出双曲线方程.解答：解：焦点坐标为（0,10）,离心率是也的双曲线，可得c=10,a=8,b=6,4焦点坐标为（0,10）,离心率是下的双曲线的标准方程为：工-工46436故答案为：且/二l64361点评：本题考查双曲线方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力.11. （5分）函数y=Jz.2（lzJ）的最大值为7.考点：二次函数在闭区间上的最值.专题：函数的性质及应用.分析：由条件利用基本不等式，求得函数y=J2富2（11篁2

10、）的最大值.2x2,即解答：解：函数丫=_卜矍2（_2&2,失,当且仅当2x2=1x2=1时，取等号，4故函数y=Jz.2（1二篁2）的最大值为心故答案为：1.2点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题.12. （5分）在等差数列an中，已知a4+a14=1,则Sy=1.考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式.专题：等差数列与等比数列.分析：由等差数列的性质可得a1+a17=&+a14,代入求和公式计算可得.解答：解：由等差数列的性质可得ai+a17=a4+a14=1,2(a1+).由求和公式可得&7=!=1故答案为：1点评：本题考查等差数列的性质和求

11、和公式，属基础题.考点专题分析13. (5分)边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为120.余弦定理.计算题；解三角形.直接利用余弦定理求出7所对的角的余弦值，求出角的大小，利用三角形的内角和,求解最大角与最小角之和.解答：解：根据三角形中大角对大边，小角对小边的原则,222所以由余弦定理可知cos0=5+8，=1,2X5X82所以7所对的角为60。.所以三角形的最大角与最小角之和为：120。.故答案为：120.点评：本题考查余弦定理的应用，三角形的边角对应关系的应用，考查计算能力.14.(5分)记maxa,b=，输一产,f(x)=max|x-m|,|x+1|,若存在实数x,使得fb,

12、(x)1成立，则实数m的取值范围是.考点:专题:分析:可得解答:函数的最值及其几何意义.计算题；函数的性质及应用；简易逻辑.存在实数x,使得f(x)1成立；从而m1；从而求实数m的取值范围.解：存在实数x,使得f(x)1成立；当x0或xv-2时，|x+1|1,故f(x)1成立；当一2WxW0时，|x+1|1在上恒成立，故m1;故存在实数x,使得f(x)2时,an=Sn-Sn-1,即可得出；(2)bn=.=1-I(3n-2)(3n+l)33n-23n+l可得出.,利用“裂项求和”“放缩法”即解答:(1)解:数列an的前n项和Sn=22.ai=Si=2Zl=1,当n2时，a,=S-G1=3-.n_

13、3(n1)(门-1)=3n-2,222当n=1时上式也成立，.an=3n-2.(2) 证明：bn=A(-),anan+1(3n2)(3时1)33n-23n+l(f，设数列bn前n项和为Gn=lr（1一工）+（工-1）+3447.Gnb0）过点（0,4）,离心率为W知咚二1,a2/52f2，2ta-b+c由此能求出椭圆C的方程.22（n）设过点（3,0）的直线交椭圆工+1于A（X1,y。，B（X2,y2）,设AB的中点为M2516（x,y）,利用点差法能够求出过点（3,0）的动直线被C所截线段的中点轨迹方程.22解答：解：（I）丁椭圆C：三过点（0,4）,离心率为,a2b25rc_3a5-7T=

14、1，解得a=5,b=4,c=3,2_k2x2（a-b+c22，椭圆C的方程是工+一二2516122(n)设过点(3,0)的直线交椭圆工+工;1于A(Xi,yi),B(X2,y2),2516设AB的中点为M(x,y),则xi+X2=2x,yi+y2=2y,把A(xi,yi),B(X2,y2)代入椭圆16x2+25y2=400,得口16x22+25y=400,)得i6(xi+x2)(xix2)+25(yi+y2)(yiy2)=0,.32x(xix2)+50y(yiy2)=0,，直线AB的斜率k=-lZ,X1一工225V.直线AB过点(3,0),M(x,y),.,直线AB的斜率k=,x-3-JL=_

15、Z_,整理，得i6x2+25y2-48x=0.25yx-3当k不存在时，i6x2+25y2-48x=0也成立.故过点(3,0)的动直线被C所截线段的中点轨迹方程是i6x2+25y2-48x=0.点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意点差法的合理运用.18. (i4分)已知数列an中，ai=a(a0),anan+i=4n(nCN)(i)当a=i时，求a2,a3并猜想a2n的值；(2)若数列an是等比数列，求a的值及an；(3)在(2)的条件下，设bn=nan,求数列bn的前n项和Sn.考点：数列的求和；数列递推式.专题：等差数列与等比数列.分析：(

16、i)由ai=a(a0),anan+i=4n(nCN),可得当a=i时，ai?a2=ixa2=4,a2a3=4：解得a2,a3.由=4,可得an+2=4an,即可得出a2n.(2)由于数列an是等比数列，设公比为q,则a?aq=4,aq?aq2=42,a0,解得q,a.即可得出an.(3)在(2)的条件下，bn=nan=Jn0),anan+i=4n(nCM),当a=i时，ai?a2=ixa2=4,解得a2=4,由a2a3=42,解得a3=4.XAinnl0,解得q=2,a=%/2叵乂1(3)在(2)的条件下，bn=nan=八;，数列bn的前n项和$=&,2&二二2二-2:，-：-2.+(n-1)

17、X2n-1+nX2n,-Sn=、/(1+2+22+-+2n1-nX2n)=、*9n-1二=；1Sn=V(n-DX2n+l点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.19. (14分)如图所示的多面体是由底面为ABC曲长方体被截面AEFG所截而得，其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系：求而和点G的坐标；求异面直线EF与AD所成的角；求点C到截面AEFG的距离.考点：点、线、面间的距离计算；空间中的点的坐标；异面直线及其所成的角.专题：空间位置关系与距离.分析：(1)由题意知A(1,0,

18、0),B(1,4,0),E(1,4,4),F(0,4,4),由此能求出F,又AG=F,能求出G(0,0,1).(2)由知=(-1,0,0),EF=(1,0,1),能求出异面直线EF与AD所成的角.(3)求出平面AEFG勺法向量，利用向量法能求出点C到截面AEFG勺距离.解答：解：(1)由题意知A(1,0,0),B(1,4,0),E(1,4,4),F(0,4,4),.EF=(1,0,1),又AG=EF,设G(0,0,z),(-1,0,z)=(-1,0,1),解得z=1,.G(0,0,1).(2).=1,0,0),一一.，IADHEF|2异面直线EF与AD所成的角为45(3)设平面AEFGW法向量.AG=(1,0,1),AE=(0,4,3),点C到截面AEFG勺距离d=n-7S=-x+z=0皿得n=(4,-3,4),，取z=4,n,AE=4y+30C(04,