广东深圳南山区2012016学年高二上期末数学理试题

1、高二教学质量监测数学（理科）2016.01.20本试卷分第I卷（选择题）和第R卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.注意事项：1 .答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点.2 .选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。3 .非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。4 .考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损，考试结束后，将答题卡交回。5 .考试不可以使用计算器.第I卷（选择题共60分）、

2、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有.一.个选项符合题意）1. “X2A1”是“XA1”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要2 .在MBC中，若sin2A+sin2B0加0)过点(1,1),则a+b的最小值等于abA.2B.3C.4D.57 .已知命题p：|x-1|2,命题q：xCZ,若p且q与“非q同时为假命题，则满足条彳的x为A.x|x3或xw1,xCZB.x|1WxW3,xCZC.0,1,2D.-1,0,1,2,38 .在ABC中，三个内角a,b,C所对的边为a,b,c,若S咫8c=2J3,a+b=6,acosEbcos-：=2cosC,

3、A.2/7B.2.3C.4D.3.3x2y_09 .设2=x+y,其中实数x,y满足xy0，若z的最大值为6,则z的最小值为0y0)的右焦点为F.短轴的一个端点为abl:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小4 一、于4,则椭圆E的离心率的取值范围是53c3八3r3A.(0,B.(0,二C.=D.匚2424第II卷非选择题(满分90分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13 .已知点A(1,2,1),点B与点A关于平面xoy对称，则线段AB的长为14 .若对任意x0,xMa恒成立，则a的取值范围是x3x115.已知f(x)=x(x之0),数列

4、an满足a1=f(1),且an书=f(an)(nwN+),1x贝Ua2015=.16 .设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过52作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为巳若AFiPF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是.三、解答题(本题共6小题，共70分)17 .(本题10分)设p：实数x满足x24ax+3a20,其中aa0,命题q：实数x满足x-31)的上顶点为A,右焦点为a线AF与圆M：(x3)2+(y1)2=3相切.(1)求椭圆C的方程.(2)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P,Q两点，且APAQ=0.求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标.高二数学(理科)参考答案2016.01

5、.20二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13.2614.a,115.16.2-152016三、解答题(本题共6小题，共70分)17.(本题10分)解：(1)由x24ax+3a20,得(x3a)(xa)0,所以avxv3a.2分当a=1时，1vxv3,3分又x3父1得2x4-4分1 ：x：二3-由pAq为真.，x满足J即2vx3.2 ：x:4则实数x的取值范围是2Vxv3.5分(2)q是p的充分不必要条件，记A=x|ax0,B=x|2vx4,则B是A的真子集，7分.aW2且4W3a.9分4则实数a的取值范围是一WaW2.10分318 .(本题12分)解：(1)acosCccosA=

6、2bcosAsinAcosCsinCcosA=2sinBcosA即sin(A+C)=2sinBcosA3分又sin(A+C)=sinB,4分持.1八则cosA=,5分2又*0A0,所以c=3,-10分故MBC面积为1bcsinA=U_12得7=4c2-2c,即c2-2c3=0-919 .(本题12分)NF,解析：(1)证法1:连结AC与BD交于点F,连结1.F为BD的中点，NF/PD且NF=PD21_又EC/PD且EC=1PD贝UNF/EC且NF=EC2四边形NFC时平行四边形，NE/FC-2分DB_LAC,PD_L平面ABCD,AC匚平面ABCD，AC_LPD,又PDcBD=D,.AC_LP

7、BD-4分NE1SPDB-5分证法2:如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：则B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2也，E(0,2,s/2),N(1,1,72)则EN=(1,-1,0),PB=(2,2,-2亚),DB=(2,2,0)-2ENDB=12-1200=0.ENPB=V2-1x2+0m(-2=0,EN1PB,EN1DB-4分.PB,DB仁面PDB,且PBcDB=B.NE_L面PDB-5分(2)连结DN由(1)知NE_L面PDBDN_LNE,PD=DB=2拒，DN,LPBdN为平面PBE的法向量，且IZZTDP为平面ABC曲法向量，DPDN=(

8、1,1,、.2)=(0,0,25)，-89设平面PBE与平面ABC两成的二面角为Q,贝Ucos1=111-g=45,即平面PBE与平面ABC所成的二面角为4512分20.（本题12分）依题意知，直线l的方程为：x=1.点R是线段FP的中点，且RQ，FP,RQ是线段FP的垂直平分线-1分PQ是点Q到直线l的距离.点Q在线段FP的垂直平分线，PQ=|QF-3分故动点Q的轨迹E是以F为焦点,l为准线的抛物线，其方程为：y2=4x(xA0)-5分y=kx-2.y2(2)(法一)设A(x1,y1),B(x2,y2),依题意知，k#0,由42有，y=k-2y=4x42_即ky-4y-8=0,-7分4.八y

9、+y2=一，-8分k又y_Y1=2,.1.k=1-10分2又当k=1时，A=16+32k0,所以k=1满足题意，-11分.k的值是1-12分y2=4x-(法一)设A(x,y)B(x2,y2),则I1，-6分y2=4x2两式相减有y12-y22=4(x1x2),_4x1-x2y1y2又女=,111=2,-11分x1-x22则k=1-12分21.(本题12分)(I)当n=1时,a=G=1；-1分2当n2时，an=Sn-2nn-1-in-1二n,4分故数列an的通项公式为4=n.-5分n_(II)由(1)可彳#bn=2n+(1)n,-6分记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n=21-22III22

10、n-12-34-1112n.q.-8分122nt己A=2+2+2,B=1+23+4一+2门,则A2(1-22n)-2n1-A=-2=2-2八1=211分B=(-12)(-34)l-(2n-1)2nI-n.故数列bn的前2n项和T2n=A+B=22n*+n2.-12分22.(本题12分)x(1)由A(0,1),F(c,0)得直线AF的方程为；;+y=1,即x+cy-c=0,c又圆M的圆心为M(3,1),半径r=3.由直线AF与圆M相切，得巴2c二cL=品-2分Jc2+1Y解得c=杂或c=也(舍去).当c=/时，a2=c2+1=3,2X2故椭圆C的万程为一+y=1.-4分3(II)(解法1)以线段

11、PQ为直径的圆过点A知AP_LAQ,从而直线AP与坐标轴不垂直，由A(0,1)可设直线AP的方程为y=kx+1,直线AQ的方程为1y=-X1(k；0).2将y=kx+1代入椭圆C的方程x-+y2=1并整理得：(1+3k2)x2+6kx=0-62解得*=0或*=-土，因此p的坐标为(6k)6k十1),13k13k213k22即(6k1-3k)13k2,13k”.1一6k将上式中的k换成，得Q(二kk23直线l的方程为k2-31-3k2=-一.-2k2313k2仆6k)k-3-6k6k(k23)k2322k2313k2化简得直线1的方程为k2-11y=x-4k211分因此直线1过定点N(0,-1),12分2(解法2)由题直线1的斜率存在，则可设直线1的方程为：y=kx+m(/A(0,1)e1,二m01),2代入椭圆C的方程+y2=1并整理得：(1+3k2)x2+6mkx+3(m21)=0,35分设直线1与椭圆C相交于P(x,kx,+m)、Q(x2,kx2+m)两点，则k,X2是上述关于x的方程两个不相等的实数解,=(6mk)2-4(13k2)3(m2-1)=12(3k21-m2)0XiX2_26mk3(m-1)2,X213k213k2