常微分方程期末考试试卷

1、常微分方程期末考试试卷(6)学院班级学号姓名成绩一.填空题(共30分，9小题，10个空格，每格3分)。1 .当时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。2 、称为齐次方程。3、求dy=f(x,y)满足(xo)y0的解等价于求积分方程的dx连续解。4、若函数f(x,y)在区域G内连续，且关于y满足利普希兹条件，则方程包f(x,y)dx的解y=(x,x0,y0)作为x,x°,y°的函数在它的存在范围内是。5、若xi(t),x2(t),.x3为n阶齐线性方程的n个解,则它们线性无关的充要条件6、方程组x，A(t)x的称之为x'A(t)x的

2、一个基本解组。7、若是常系数线性方程组x/Ax的基解矩阵，则expAt=。8、酒足的点(x,y),称为万程组的奇点。9、当方程组的特征根为两个共腕虚根时，则当其实部时，零解是稳定的，对应的奇点称为o二、计算题(共6小题，每题10分)。1、求解方程：曳=xy21dxxy32.解方程：(2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=013、讨论方程dy3y3在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通dx2过点(0,0)的一切解4、求解常系数线性方程：x2x3xetcost125、试求方程组x/Ax的一个基解矩阵，并计算eAt,其中A为436、试讨论方程组”axby,dycy(1)的奇点类型，其

3、中a,b,c为常dtdt数，且ac0o三、证明题(共一题，满分10分)。试证：如果(t)是x，Ax满足初始条件(t0)的解，那么(t)eA(tt0)常微分方程期末考试答案卷一、填空题。(30分)M(x,y)N(x,y)1、yx2、dy咱dxxx3、y=y0+f(x,y)dxx04、连续的5、Wx1(t),x2(t,),.,xn(t)06、n个线性无关解1_7、(t)(0)8、X(x,y)=0,Y(x,y)=09、为零稳定中心、计算题。（60分）1、解：(x-y+1)dx-(x+y2+3)dy=021即1d2-1所以1x2xdx-(ydx+xdy)+dx-ydy-3dy=01.3.-d(xy)+

4、dx-dy-3dy=01 3xyx-y3yC32 、解：业2(x-y)1,令z=x+ydx(xy)2则住15dxdxdz(2z1z1z2,1,dzdxdxz2z2z1所以-z+3ln|z+1|=x+C1,ln|z1|3=x+z+C1即(xy1)3Ce2xy3、解:、31,f12坟仅加2y，则I2y(y0)故在y0的任何区域上f存在且连续，y因而方程在这样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件,显然，y0是通过点（0,0）的一个解;d31.?又由双2y斛行,|y|=(xc)所以,通过点（0,0）的一切解为y0及|y|二(x03c)2(xc)(xc),c0是常数4、解:2230,1212i1,J齐次

5、方程的通解为x=et(c1cos2tc2sin2t)（2）1i不是特征根，故取x(AcostBsint)etB=-41代入方程比较系数得A=-,415日一/54t十thx(一cost-sint)e4141t1t通解为x=e(ccos、-2tczsin.2t)+(5cost4sint)e41“1225、解：det(EA)=245043所以，11,251对应的特征向量为Vi2v10可得V14同理取V2所以,(t)=5tev25te2e5tAte(t)1(0)tete5teC5t2eete5te2e5t5te2e5t2et2et215te2e5t11tete6、解：因为方程组（1）是二阶线性驻定方程组，且满足条件ac0,故奇点为原点（0,0）又由det(A-所以，方程组的奇点（0,0)a,c为实数三、证明题。（10分）证明：设的形式为2(ac)ac可分为以下类型:acc0奇点为结点a0,ca0,cac0奇点为鞍点0,奇点为退化结点0,奇点为奇结点(t)=eAtC(1)（C为待定的常向量）则由初始条件得(t°)=eAt0C0,稳定结点0,不