山西晋中2020届高三下学期一模普通招生考试模拟数学理试题

1、2020年普通高等学校招生统一模拟考试数学（理科）（本试卷考试时间120分钟，满分150分）参考公式：1.八铤体的体积公式：V-Sh（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）.3、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.0,2)1.集合Ax|x2x20,Bx|yJX,则0AIB()B.(1,)C.0,1)D.(2,1)2.若复数1ai（aR,i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）2iA.1B.0C.1D.22rrr3.若|a|2,|b|1,且arrrr（a4b）,则向量a,b的夹角为（A.30B.60C.120D.1504 .若xy,则

2、下列不等式恒成立的是（）b.tanxtanyC. ln(xy)011D. x3y35 .给定下列四个命题，其中真命题是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行B.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行C.垂直于同一平面的两个平面相互平行D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直3,6 .已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O,且经过点PXo,2,若点P到该抛物线焦点的距离为则|OP|等于()A.2.2B.23C,4D.2527.已知函数f(x)sinwx得图象关于X一对称，则实数3a的最小值为(3A.B.-C.D.1,-(0)的

3、最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a(a0)个单位，所1.6mg/mL,8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据规定:100mL血液中酒精含量达到20,80)mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了若在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，要想安全驾驶，那么他至少经过(C.6小时9.已知a为正整tan1lga,tan则当函数f(x)asin、3cos(0,)取得最大值时,2B.3C.4D.310.某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12,若要使该总体的方差最小，则4x2y的值是(A.121

4、4C.161l.已知双曲线2cxC:ab2一.一、一21(a0,b0)与圆O:x.2b相交于A,B,C,D四点，如图所示，点F是双曲线C的左焦点，且|AF|3|CF|,则双曲线C的离心率为A.夜B.百C.2D.乔212 .函数f(x)2x1,g(x)x2x4,右存在x1,x2,L,xn1,5),其中nN且n-2,使得fx1fx2Lfxn1gxngx1gx2Lgxn1fxn,贝1Jn的最大值为()A.8B.9C.10D.11二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .某篮球运动员罚篮命中率为0.75,在一次罚篮训练中连续投篮50次，X表示投进的次数，则E(X).14 .已知函数f(x

5、)是奇函数，当x0时，f(x)loga(x1)(a0且a1),且flog0.5162,则a.15 .现有一副斜边长为10的直角三角板，将它们斜边AB重合，若将其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥ABCD,如图所示，已知DAB,BAC，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为；该64三棱锥体积的最大值为16 .在VABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且asin2BbsinA0,若VABC的面积SJ3b,则VABC面积的最小值为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17 .(1

6、2分)2020年新年伊始，新型冠状病毒来势汹汹，疫情使得各地学生在寒假结束之后无法返校，教育部就此提出了线上教学和远程教学，停课不停学的要求也得到了家长们的赞同.各地学校开展各式各样的线上教学，100名学生某地学校为了加强学生爱国教育，拟开设国学课，为了了解学生喜欢国学是否与性别有关，该学校对进行了问卷调查，得到如下列联表:喜欢国学不喜欢国学合计男生2050女生10合计100(1)请将上述列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系?6人成立国学宣传组,X,求X的分布列和数学期望.(2)针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢国学的人中按分层抽样的

7、方法随机抽取并在这6人中任选2人作为宣传组的组长，设这两人中女生人数为PK2k00.150.100.050.0250.0100.0050.001kO2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828i/2n(adbc)2K,nabcd.(ab)(cd)(ac)(bd)18 .(12分)已知三棱锥PABC中，VABC为等腰直角三角形，BAC90,PB平面ABC，且PBAB,-1一EC/PB且ECPB,D,F分别为PA,BC的中点.(1)求证：直线DE/平面ABC;(2)求锐二面角PAEF的余弦值.19 .(12分)已知等差数列an前n项和为Sn,a59,S525.(1)求数

8、列an的通项公式及前n项和Sn；设bn(1)nSn,求bn前n项和Tn.22xy.,._20.(12分)设椭圆e：f1(ab0)长轴长为4,右焦点F到左顶点的距离为3.ab(1)求椭圆E的方程；(2)设过原点O的直线交椭圆于A,B两点(A,B不在坐标轴上)，连接AF并延长交椭圆于点C,若uuuruuuuuurODOAOC,求四边形ABCD面积的最大值.21.(12分)已知函数f(x)alnxa1(1)求f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)(i)若xf(x),x1恒成立，求a的取值范围；,口f(2)f(3)f(n)n13当a1时，证明一一.23n22n24(二)选考题：共10分.请考生

9、在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修44:坐标系与参数方程】(10分)x2cos,在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(参数).以原点O为极点，x轴正半轴为极轴y22sin建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为一.26(1)求曲线G的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为4cos，点A是曲线C2与Ci的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且AB均异于极点O,求|AB|的值.23.【选修45:不等式选讲】(10分)已知关于x的函数f(x)|x1|xa|.(1)若存在x使得不等式f(x),3a1成立，求实数a的取值范围；1 _.(2

10、)若f(x),|x3|的解集包含一,2，求a的取值范围.22020年普通高等学校招生统一模拟考试数学(理科)答案题号123456789101112答案CDBDDBBCCABC2集1.解析：合xx1,22ax|x2或x1,ERAx|因为集合Ax|xBx|yIB0,1）,故本题正确答案为C.答案：C12.解析：一2aii(1ai)(2i)(2i)(2i)(12a)i5由题意知512a0,解得a0,2.故选D.答案：D3.解析：根据题意,由于向量|a|2,|b|rr1,且a(arr4b),ar(ar4b)20arr4abrr故cosa,brrab-rr-|a|b|故可知向量rra,b的夹角为60,故

11、选B.答案：B4.解析：若A错误；若x,tanxtany,所以b错4误；对于由于对数函数ylnx在（0,）上单调递增，Qxy,当0xy1时，ln(xy)ln10,c选项中的不等式不恒成立；若x1y,且募函数yx3在（）上单调递增，所以1x3所以D对.故选D.答案:5.解析：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，所以A错误；若一个平面内的两条直线平行，两平面可以相交,C错误.所以答案选D.B错误；正方体的前面和侧面都垂直于底面，这两个平面不平行,答案：D6.解析：由抛物线定义知，；23,所以p2,抛物线方程为x24y,因为点Px0,2在此抛物线上,所以x28,于是|OP|Jx；42日故选B.答案：B7

12、.解析：由函数f(x)sin2112x-cos2x的周期为一222一、1c1,故f(x)cos2x,将2其图象向右平移a个单位可得12cos2(xa)的图象，根据共图象关于x一对称，可得322ak所以实数a的最小值为一.故选3B.答案：B8.解析：1.6100160mg，则160(10.3)n20,即0.7n0.49-20.761,0.758故选C.答案：C9.解析：由条件知一，则由4tan()1,得tan(tantan1tantan(1lga)ig1(1lga)lg即(1lga)lga110(舍去)，则f(x)sin3cos2sin0,所以答案：C10.解析：因为中位数为数据的平均数为:要使

13、方差最小，所以当且仅当x1.4答案：A33时,函数f(x)取得最大值，故选C.,x12,所以21(2234102(10x11.4)2y1.4时取等号，即10(1011.解析：设双曲线的右焦点为F2,根据对称性知线上，所以|AF|AF21019192021)11.4,211.4)2(x221.4)2(y1.4)2-22xy2.820.72,2时，总体方差最小，此时4x2yAFCF2是平行四边形，所以有2a,因为|AF|3|CF|,所以|AF|AF2AF212,故选A.|CF|,又点A在双曲3|CF|CF|2|CF|2a,即|CF|a,而在三角形OFC中，|FC|a,|OC|b,|OF|c,所以三

14、角形OFC为直角三角形，且OCF90.在三角形AFC中,|AF|3a,|CF|a,|AC|2b,ACF290,所以9aB.*_2.2即2ab,所以双曲线的离心率答案：B12.解析：令h(x)g(x)f(x)4x5,则fx1fx2xn1XngXigX2xn1fXngXnXngXifXigX2fx2gXnXn1hXnhx1hx2hXn1，因为Xi,X2,L,Xn1,5),所以h(x)1,10),即1,hXn10所以n1,hXihx2LhXn110(n1),XnXihx2LhXn1知，集合1,10)In1,10(n1)因为且n2,所以n1-1,10(n1)-10,所以1,n110,即2,n11,所以

15、n的最大值为10.故选C.答案：C13.解析：由于X满足二项分布，故E(X)500.7537.5.答案：37.514.解析：函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)loga(x1)(a0且a1),且f10go.5162,因为log0.51640,log21640,且函数f(x)是奇函数,所以f(4)flog2l6f10g0.5I6flog0,5l62,即1oga(41)2,a23,因为a0且a1,所以a答案：、,315.解析：因为ADBACB90,AB10,所以AD5如，BD5,ACBC因为ADBACB90,所以三棱锥ABCD的外接球的直径为AB,所以球的半径R5,故球的表面积为100.当点C

16、到平面ABD距离最大时三棱锥ABCD的体积最大，此时平面ABC且点C到平面ABD的距离d5,所以VabcdVCABD1sd3SABDd125、3616.解析：由asin2BbsinA2asinBcosBbsinA弦定理得2sinAsinBcosBsinBsinA所以cosBS1acsinB2acJ3b,所以422ac4b,由余弦定理得ba22122accosBacac3ac,(ac)3ac,所以ac48,当且16仅当ac时等号成立，故Sac12、3,所以VABC面积的最小值为126.答案:12.317.解：（1）补充完整的列联表如下:喜欢国学不喜欢国学合计男生203050女生401050合计6

17、04010016.6710.828,一一_2计算得K2的观测值为k(-60405050所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜欢国学与性别有关系.(2)喜欢国学的共60人，按分层抽样抽取6人，则每人被抽到的概率均为1，从而需抽取男生2人，女生410P(X0)C2c2*p(x2)C：6C；1525人，故X的所有可能取值为0,1,2.故X的分布列为:X012P18215155_8151,数学期望E(X)011518.解：(1)设AB的中点为连接DG,CG,1则DG/PB,DGPB,-11又EC/PB且ECPB,2EC/DG且ECDG,四边形DGCE为平行四边形,DE/GC，又DE平面AB

18、C,GC平面DE/平面ABC.口E(2)如图建立空间直角坐标系Axyz,令ABPB4,则A(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,0),P(4,0,4),D(2,0,2),uurPF(2,2,uuriuur4),EF(2,2,2),AF(2,2,0),uuuPFuuuEFuuruuur0,PFAF0,10uuruuuunnunrPFEF,PFAF.QAFIEFF,PF平面AEF,unr平面AFF的一个法向量为PF(2,2,4).r设平面PAE的一个法向量为n(x,y,z),ruur则由nAEruurnAP2yz0,xz0,令x2,则z2,y1,rn(2,1,2),ruu

19、ucosn,PFruuirnPF-rujup|n|PF|6由图知二面角PAEF为锐角,AEF的余弦值为二面角P19.解：(1)由S55a325得a35.又因为a59,所以d2,n(12n1)2所以an2n1,Sn-n.2(2)bn(1)nn2.当n为偶数时：Tnb1b2b3b4Lbn1bn,22242221 234L(n1)n(21)(21)(43)(43)Ln(n1)n(n1)1 23L(n1)nn(n1)211当n为奇数时:Tnb1b2b3b4Lbn2bn1bn(n2)2(n1)2(21)(21)(43)(43)L(n1)(n2)(n1)(n2)(n2)(n1)n(n1)2综上得Tn(1)

20、n吗1a2,20.解：(1)由题意可得ac(2)联立x2X4my2y31,得3m241,X1,y1X2,y22,1因为SabCD3Saoc3AC的方程为x2CCy6my9|OF|y1设tvm21,t1,则Sabcd18t23t210.6my1y293m24y23八1J4y1y218.m213m24183t1,)上单调递减,abcd的面积取得最大值所以当t1,即m0时，四边形12aalnxa121.解：(1)f(x)2x1alnx(x0),f(1)a1,f(1)1,所以f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为:y(a1)(i)xf(x)alnxa1,x1,所以aln令h(x)alnxxa,则h(x)-x.ax.1(xx0),当0时,h(x)x0,所以a0满足;当0时