层次分析法例题

1、某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格,B3表不可维护性。Ci,C2,C3表不备选的3种品牌的设备目标层判断层方案层购买设备A图设备采购层次结构图解题步骤：1、标度及描述人们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，即同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。为了便于将比较判断定量化，引入

2、19比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。标度定义（比较因素i与j）1因素i与j同样重要3因素i与j稍微重要5因素i与j较强重要7因素i与j强烈重要9因素i与j绝对重要2、4、6、8两个相邻判断因素的中间值倒数因素i与j比较得判断矩阵aj,则因素j与i相比的判断为aji=1/aij注：aj表示要素i与要素j相对重要度之比，且有下述关系:aj=1/aji；aii=1；i,j=1,2,n显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。2、构建判断矩阵A判断矩阵是层次分析

3、法的基本信息，也是进行权重计算的重要依据。根据结构模型，将图中各因素两两进行判断与比较，构造判断矩阵：断矢!阵AB（即相对于物流系统总目标，判断层各因素相对重要性比较）如表1所不；断矢!阵BiC（相对功能，各方案的相对重要性比较）如表2所示；w断矢!阵B2C（相对价格，各方案的相对重要性比较）如表3所示；呼J断矢!阵b3C（相对可维护性，各方案的相对重要性比较）如表4所示。表1判断矩阵ABAB1B2B3B111/32B2315B31/21/51表2判断矩阵BCB1C1C2C3C11l/31/5C2311/3C3531表3判断矩阵B2-CB2C1C2C3C11127C21/215C31/71/5

4、1表4判断矩阵B3cB3C1C2C3C113l/7C2l/311/9C37913、计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标一般来讲，在AHP法中计算判断矩阵的最大特征值与特征向量，必不需要较高的精度，用求和法或求根法可以计算特征值的近似值。求和法1）将判断矩阵A按列归一化（即列元素之和为1）:bij=aij/ij；2）将归一化的矩阵按行求和：Gi=Ibij（i=1,2,3m）;3）将Gi归一化：得到特征向量W=（w1,w2,Wn）T,Wj=Gi/2iC,W即为A的特征向量的近似值;4）求特征向量W对应的最大特征值:11（/犷）八22二一）:（）Wi吗求根法(i=1,1）计算判断矩阵A每

5、行元素乘积的n次方根；6,a。2,4wn）T即为A的特Wi2)将Wi归一化，得到Win；W=(W1,w2,Wii1征向量的近似值；3）求特征向量W对应的最大特征值:,1（AW，22二一）:（）MW.-（1）判断矩阵AB的特征根、特征向量与一致性检验计算矩阵AB的特征向量。计算判断矩阵AB各行元素的乘积Mi,并求其n次方根，如12M11-2-,WVM10.874,类似地有，WRm?2.466,33W3VM70.464。对向量WWW2,Wjt规范化，有、八，W0.874皿-0.230n为0.8742.4660.464Wi1类似地有W20.684,W30.122。所求得的特征向量即为:W0.230,

6、0.648,0.122T计算矩阵A11/3AW311/21/5B的特征根250.230,0.648,0.122T11AW110.2300.64820.1220.693类似地可以得到AW21.948,AW30.3666。按照公式计算判断矩阵最大特征根：3.004n(AW)i0.691.9480.3666maxi1nWi30.23030.64830.122一致性检验。实际评价中评价者只能对A进行粗略判断，这样有时会犯不一致的错误。如，已判断Ci比C2重要，C2比C3较重要，那么，Ci应该比C3更重要如果又判断c/hc3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误。这就需要进行一致性检验。根据层次法原理，利用

7、A的理论最大特征值ax与n之差检验一致性。致性指标：计算CImaxn3.00430.002<0.1CRn131'CJRI0.0030.1,查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知RI0.58,（一般认为CI<0.1、CR<0.1时,判断矩阵的一致性可以接受，否则重新两两进行比较）表5平均随机一致性指标阶数34567891011121314RI0.580.891.12：1.261.361.411.461.491.521.541.561.58（2）判断矩阵B1C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第（1）步的计算过程，可以得到矩阵B1C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W

8、0.105,0.258,0.637T,max3.039,CR0.0330.1（3）判断矩阵B2C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第（1）步的计算过程，可以得到矩阵刀：一C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W0.592,0.333,0.075,max3.014,CR0.0120.1（4）判断矩阵b3C的特征根、特征向量与一致性检验类似于第（1）步的计算过程，可以得到矩阵B3C的特征根、特征向量与一致性检验如下：W0.149,0.066,0.785，max3.08,CR0.0690.14、层次总排序获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度。设二级共

9、有m个要素cc2,3，它们对总值的重要度为wmw2,，坨;她的下一层次三级有Prp2,浦共n个要素，令要素Pi对Cj的重要度（权重）为Vj,则三级要素R的综合重要度为：%=工吗%J方案C1的重要度（权重）=0.230）0.105+0.6480.529+0.1220.149=0.426方案C2的重要度（权重）=0.230>0.258+0.6480.333+0.1220.066=0.283方案C3的重要度（权重）=0.230>0.637+0.6480.075+0.1220785=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所不表6层次总排序层次层次jBiB2