将军饮马系列最值问题

1、1 .两点之间，线段最短.2 .点到直线的距离，垂线段最短.3 .三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.4 .AB分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，RrABRr当且仅当A、B、O三点共线时能取等号.古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.根据公理：连接两点的所有

2、线中，线段最短.若A、B在河流的异侧，直接连接AB,AB与l的交点即为所求.若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.，河流;海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想轴对称及其性质:那么这个图形就叫做轴对称图（或轴）对称.如等腰ABC是轴对把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合,形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线称图形.那么就是说这两个图形关于这条把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重

3、合的点是对应点，叫做对称点.如下图，ABC与ABC关于直线l对称，l叫做对称轴.A和A,B和B,C和C是对称点.li轴对称的两个图形有如下性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线;两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.线段垂直平分线:垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.通常考虑作轴当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况,对称变换，以“补齐”图形，集中条件。所有的轴对称图形(角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰

4、梯形、圆、坐标轴)，都可以考察“将军饮马”问题。考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。构建“对称模型”实现转化PAPB-BC常见模型：(1)PAPB最小同侧B异侧lA图2(2)PAPB最小A1JPAPB同侧AB/lP【变形】异侧时，也可以问：1(3)周k取短口一ABPA(4)“过河”最短距离口一A(5)线段和最小图5图6异侧APA1,B生直线1上是否存在一点P使的直线1为APB的角平分线类型二类型三AJi=IBCN-7AB自二BbMNA1MNBE(6)在直

5、角坐标系里的运用同步练习【例1】尺规作图，作线段AB的垂直平分线，作COD的角平分线.【变式练习】已知：如图，ABC及两点M、N.求作：点P,使得PMPN,且P点到ABC两边所在的直线的距离相等.【例2】已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B,当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由.A、B两仓库的距【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站，要求到离和最短，这个中转站M应建在公路旁的哪个位置比较合理?A.【变式练习】如图，M、N为ABC的边AC、BC上的两个定点，在AB上求一点P,

6、使PMN的周长最短.MCN【例4】如图，AOB45,角内有点P,在角的两边有两点Q、R（均不同于O点），求作Q、R,使得PQR的周长的最小.【例5】如图，在POQ内部有M点和N点，同时能使MOPNOQ,这时在直线OP上再取A点,使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点的距离和也最小.证明:AMANBMBN.【例6】已知如图，点M在锐角AOB的内部，在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.【例7】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M,使得|AMBM|最小值和最大值.【变式练习】（07年三帆中学期中试题）如图，正方形A

7、BCD中，AB8,M是DC上的一点，且DM2,N是AC上的一动点.求（1）DNMN的最小值与最大值.（2）DNMN的最小值与最大值.例8如图4ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记4DEF的周长为P，请作出周长最小的4DEF.【习题1】如图，在等腰RtABC中，CACB3,E的BC上一点，满足BE2,在斜边AB上求作一点P使得PCPE长度之和最小.CEB【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点M、N分别是变AB、BC的中点，在对角线AC求作一点P使彳导PMPN的值最小.【习题3】如图，在锐角4ABC中，AB4姓,BAC45?0,BAC的平分线交BC于点D,M、N分另1J是AD和AB上的动点，则BMMN的最小值是【习题4】已知。O的直径CD为4,AOD的度数为60,点B是的中点，在直径CD上找一点P,使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值.【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12,ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PDPE的和最小，则这个最小值为（B.2而AC【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线.实验与探究:(1)由图观察易知A2,0关于直线l的对称点A的坐标为2,0,请在图中分别标B5,3、C2,5关于直线l的对称点B、C的位置，并写出它们的坐