导数应用含答案

1、导数及其应用、选择题1 .曲线f(x)=xlnx在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为()冗A-6冗B-4冗C-37tD-22 .已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+1nx,则f'(1)等于()A.-eB.-1C.1D.e3,已知函数f(x)=x25x+2lnx,则函数f(x)的单调递增区间是()A.(0,1)和(1,+°°)b.(0,1)和(2,+oo)C.(0,1)和(2,+oo)D.(1,2)4 .已知f(x)的定义域为(0,+8),f，(x)为f(x)的导函数且满足f(x)<xf'(x),则不等式

2、(x+1)f(x+1)>f(x21)f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+oo)C.(1,2)D.(2,+oo)一.冗冗一.一，一入一5 .函数y=x2sinx,xC5,3的大致图象是()I产¥iITITIT71IT.1r'la.：2万ACD.兀兀6.若函数v=cosx+ax在2，习上是增函数，则实数a的取值范围是()A.(8,-1B.(8,1C.1,+oo)D.1,+oo)7,函数f(x)=x33axa在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为()1A.0<a<1B,0<a<1C,-1<a<1D,0<a<28

3、.若函数f(x)=x+x(bCR)的导函数在区间(1,2)上有零点，则f(x)在下列区间上单调递增的是()A.(2,0)B.(0,1)C.(1,+oo)、填空题9,若函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2xy=0平行的切线，则实数a的取值范围为.10 .已知函数f(x)=1nxa,若f(x)<x2在(1,+°°)上恒成立，则实数a的取值范围是.三、解答题11 已知函数f(x)=x34x2+5x4.求曲线f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2,2)的曲线f(x)的切线方程.12 已知函数f(x)=lnxa.x若a>0,试判断f(x)在

4、定义域内的单调性；3，一(2)若f(x)在1,e上的最小值为1求a的值.一一1213 已知函数f(x)=2x2-(a+1)x+alnx(aR).若f(x)在(2,+8)上单调递增，求a的取值范围；1若f(x)在(0,e)内有极小值/，求a的值.一，1C14 已知f(x)=alnx+2x2x(aR).(1)若乂=2是函数f(x)的一个极值点，求f(x)的最小值;(2)对任意xC(e,+8),f(x)-ax>0恒成立，求a的取值范围.答案精析1. Bvf/(x)=lnx+1,f'(1)=1,又.直线倾斜角的取值范围是0,冗)，兀f(x)在(1,f(1)处的切线的倾斜角为-.2. B因

5、为f(x)=2xf'(1)+1nx,一,，1所以f'(x)=2f'(1)+-，x令x=1,得f'(1)=2f(1)+1,解得f'(1)=1.故选B.3. C函数f(x)=x25x+2lnx的定义域是(0,十),x-22x-1>0,x22x25x+2令f(x)=2x5+-二x1,、解得0Vx<2'或x>2,故函数f(x)的单调递增区间是(0,2),(2,+00).4. D因为f(x)+xf'x)<0,所以xf(x)<0,故xf(x)在(0,+oo)上为单调递减函数，又(x+1)f(x+1)>(x21)f(

6、x21),所以x+1<x2-1,解得x>2.A,B.5. D因为函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除函数的导数为f'(x)=12cosx,1由f(x)=12cosx=0,得cosx=2，又xCJ,-,所以x=与223.江，一江当0<x<4或一w<x<0时，f(x)<0,函数单调递减，33当"xV2W2<x<，寸，f'(x)>0,函数单调递增，所以当x=$寸，函数取得极小值，当x=字寸，函数取得极大值.故选D.,一一一，冗九一一一一6. Dy'=sinx+a,若函数在一，习上是增函数，一.兀兀.则a

7、>sinx在25上恒成立，所以a>1,即实数a的取值范围是1,+oo).7. Bry'=3x23a,令y'=0,可得a=x2.又xC(0,1),.0<a<1.故选B.8. Dvf(2x)=e2x-e!2x-4x,-f/(2x)=2e2x+2e2x-4>4e2xe2x4=0,f(2x)在(°°,+oo)上单调递增，无极值.b9. D由题意知f'(x)=1口x函数f(x)=x+x(bR)的导函数在区间(1,2)上有零点,b.当1q=0时，b=x2,又xC(1,2),b(1,4).令f'(x)>0,解得x<

8、Jb或x>也即f(x)的单调递增区间为(8,-洞,(瓜+00),.be(1,4),.(8,2)符合题意，故选D.工,fxccxf'x+fxccxfx，,10. Bf(x)+>0?>0?J>0,xxx即xf(x)x>0.x>0,>0,即函数y=xf(x)为增函数,由a,bC(0,十°°)且a>b,得af(a)>bf(b),故选B.九cos2xTtcoJxsin2x11. C108双+sinx"?40cosx+sinx"=?40(cosx-sinx)dx=(sinx+cosx)|40=啦一1.12

9、. B由题意得，f'(x)=2ax+b,.f'(0)>0,.b>0,又？xCR,都有f(x)0,.a>0,ab24ag0?ac>4?髀1?、4,.工=坐±1+a+c瑟*+24=2,f'0bbb>1+2ac11当且仅当b=b=2?a=c=2b>0时，等方成立，.二产0的取值范围是2,+8),故选B.13. (8,2)解析函数f(x)=lnx+ax的图象上存在与直线2xy=0平行的切线，即f'(x)=2在(0,+00)上有解，又f'(x)=1+a,即1+a=2在(0,+00)上有解，即a=21在xxx.一.一1(

10、0,+8)上有解，因为x>0,所以21<2,所以实数a的取值范围是(8,2).x冗14.2解析因为f，(x)=sinx+xcosxsinx=xcosx,-一一4立江所以f'(x)=0在峪，冗上的解为x=2.又f©=if+£f(2)=右f(九羊1，-万万所以函数f(x)=xsinx+cosx在峪，兀上的取大值为2.15.1,+oo)解析:函数f(x)=lnxa,且f(x)<x2在(1,+°°)上恒成立,函数f(x)=lnx2<乂2在(1,+00)上包成立，1一.a>lnxx2,令h(x)=lnxx2,有h(x)=2x,

11、x.x>1,12x<0,xh(x)在(1,.当xC(1,+°°)上为减函数，+8)时，h(x)<h(1)=1,a41.+0°)1,一一=e时取等号，,e2x2+1解析当x>0时，f(x)=xex所以当x(0,+8)时，函数f(x)有最小值2e.因为g(x)=eer,所以g(x)=e22xexx2exe2xx22x二e.当0Vx<2时，g'(x)>0,则函数g(x)在(0,2)上单调递增，当x>2时，g'(x)<0,则函数g(x)在(2,+8)上单调递减，所以当x=2时，函数g(x)有最大值g(2)=4

12、,则当xi,x2(0,+oo)时,f(x2)min=2e>g(xi)max=4.因为哈&詈7叵成立，且k>0，所以占W，所以k>kk十Ik十I2ee217.解(1)f'(x)=3x28x+5,(2)=1,又f(2)=2,曲线在点(2,f(2)处的切线方程为y+2=x2,即xy4=0.设曲线与经过点A(2,2)的切线相切于点P(xo,x34xo+5x04).f'(x0)=3x08x0+5,切线方程为y-(-2)=(3xo-8x0+5)(x-2),又切线过点P(x。，x0-4x0+5x0-4),x34x0+5x02=(3x08x0+5)(x02),整理得(

13、x02)2(x。一1)=0,解得x0=2或x0=1,经过A(2,2)的曲线f(x)的切线方程为x-y4=0或y+2=0.一,一一一，1ax+a_18.解(1)由题意知，f(x)的定义域为(0,+8),且f'(x)='+s=Y，a>0,xxx显然f'(x)>0,故f(x)在(0,+oo)上是单调递增函数.t一小x+a(2)由(1)可知，f'(x)=y.若a>1,则当x(1,e)时，x+a>0,即f'(x)>0,故f(x)在1,e上为增函数,3,3,.所以f(x)min=f(1)=a=2,所以a=-2(舍去).若a0e,则当x(

14、1,e)时，x+a<0,即f'(x)<0,故f(x)在1,e上为减函数,所以f(x)min=f(e)=13"，所以a=e(舍去).若一e<a<1,令f'(x)=0,得乂=a,当1<x<a时，f'(x)<0,f(x)在(1,一a)上为减函数；当一a<x<e时，f'(x)>0,f(x)在(一a,e)上为增函数.一.3所以f(x)min=f(a)=ln(a)+1=2,所以a=乖.综上所述，a=-ve.19.解f(x)在(2,+8)上单调递增,f'(x)=x2a+1x+a方0在(2,+8)上包

15、成立,即x2(a+1)x+a>0在(2,+00)上包成立,即(1x)a+x2x>0在(2,+00)上包成立，即(1x)axx2在(2,+00)上包成立，即a&x在(2,+00)上包成立.实数a的取值范围是(8,2.(2)f(x)的定义域为(0,+8),f'(x)=x2a+1x+axax1当a>1时，令f'(x)>0,结合f(x)定义域解得0<x<1或x>a,f(x)在(0,1)和(a,+8)上单调递增,在(1,a)上单调递减,1此时f(x)极小值=f(a)=a2a+alna,1-右f(x)在(0,e)内有极小值2,则1<a

16、<e,1o，1一一但此时一2a2a+alna<0与f(x)=g矛盾.、1f(1)=-2a，当a=1时，此时f'(x)恒大于等于0,不可能有极小化当a<1时，不论a是否大于0,f(x)的极小值只能是.111，一令一2a=2,即a=-1,酒足a<1.综上所述，a=1.20.解因为f(x)=x3+bx2+cx+d,所以f'(x)=3x2+2bx+c.从而F(x)=x3+bx2+cx+d(3x2+2bx+c)=x3+(b-3)x2+(c-2b)x+(d-c),由F(x)是一个奇函数，所以F(0)=0,F(x)=F(x),得dc=0,b3=0,故b=3,d=c.又

17、由F(1)=11可得1+(b3)+(c2b)+(dc)=11,即bd=9,所以d=c=-6.(2)由(1)知F(x)=x312x,从而F'(x)=3x212,令3x212=0,彳#x=垠,由F'(x)=3x212>0,彳4x>2或x<2,由F'(x)=3x212<0,得一2<x<2.故(一8,2)和(2,+8)是函数F(x)的单调递增区间，(一2,2)是函数F(x)的单调递减区间.F(x)在x=2时取得极大值，极大值为16,F(x)在x=2时取得极小值，极小值为16.21.解f'(x)=C+x+b=xx2+bx+cx.因为f&

18、#39;(1)=0,所以b+c+1=0,f'(x)=x1xcx且cW1.因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0Vx<1时，f'(x)>0;当1<x<c时，f(x)<0;当x>c时，f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为(0,1),(c,+8)；单调递减区间为(1,c).若c<0,则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.1若f(x)=0恰有两解，则f(1)<0,即2+b<0.一.1所以2<c<0.1O.若0<c<1,则f(x)极大值=f(c)clnc+2c+bc,1.f(x)极小值=f(1)=2+b.因为b=1c,所以f(x)极大值=clnc+c(1c)=clncc<0.-1f(x)