难点07奇偶性与单调性(一)

1、难点 7奇偶性与单调性 (一)函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象.难点磁场( )设 a>0,f(x)=exa是 R 上的偶函数，(1)求 a 的值； (2)证明： f(x)在 (0， +aex) 上是增函数 .案例探究例 1已知函数 f(x)在 ( 1， 1)上有定义， f( 1)= 1,当且仅当 0< x<1 时 f( x)<0,且对任2意 x、 y ( 1,1)都有 f(x)+f(y)= f(xy),试证明：1 xy(1) f(x)为奇函数； (2)

2、 f(x)在 ( 1， 1)上单调递减 .命题意图：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力属题目.知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.错解分析：本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得 .技巧与方法：对于(1)，获得 f(0)的值进而取x= y 是解题关键；对于(2)，判定x2x11x1x2的范围是焦点 .证明：(1) 由 f(x)+f(y)=f( xyxx1xy ),令 x=y=0,得 f(0)=0, 令 y= x,得 f(x)+f( x)=f(1x 2 )=f(0)=0. f(x)= f( x). f(x)为奇函

3、数 .(2)先证 f(x)在 (0，1) 上单调递减 .令 0<x1<x2<1,则 f(x2) f(x1)=f(x2) f(x1)=f(x2x1 )1x1 x2 0<x1<x2<1, x2 x1>0,1 x1x2>0， x2 x1 >0,1 x2 x1又 (x2 x1) (1 x2 x1)=( x2 1)(x1+1)<0 x2 x1<1 x2x1, 0< x2x1 <1, 由题意知 f(x2x1 )<01x2 x11x1 x2即 f(x2 )<f(x1). f(x)在(0 ， 1)上为减函数，又 f(x)

4、为奇函数且 f(0)=0. f(x)在( 1， 1)上为减函数 .例2 设函数f(x) 是定义在R上的偶函数，并在区间( ,0)内单调递增，22的取值范围，并在该范围内求函数y=(1)a23a 1的单调递减区f(2a +a+1)< f(3a 2a+1).求 a2间.命题意图： 本题主要考查函数奇偶性、单调性的基本应用以及对复合函数单调性的判定方法 .本题属于级题目 .知识依托：逆向认识奇偶性、单调性、指数函数的单调性及函数的值域问题.错解分析：逆向思维受阻、条件认识不清晰、复合函数判定程序紊乱.技巧与方法： 本题属于知识组合题类，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，通过本题会解组合题类

5、，掌握审题的一般技巧与方法.解：设 0< x1<x2,则 x2< x1<0， f(x)在区间 ( ,0)内单调递增， f( x2)< f( x1), f(x)为偶函数， f( x2)=f(x2),f( x1)=f(x1), f(x2)<f(x1). f(x)在 (0， + )内单调递减 .又 2a2a1 2(a1 )270,3a22a 1 3( a1) 220.4833由 f(2a2+a+1)< f(3a2 2a+1) 得： 2a2+a+1>3a2 2a+1.解之，得 0<a<3.又 a2 3a+1=( a 3 ) 2 5 .24函数

6、 y=( 1 ) a2 3a 1 的单调减区间是3 ，+22结合 0<a<3,得函数 y=( 3) a23a 1 的单调递减区间为3 ，3).22锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)判断函数的奇偶性与单调性若为具体函数，严格按照定义判断，注意变换中的等价性.若为抽象函数，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性.同时，注意判断与证明、讨论三者的区别，针对所列的“磁场”及“训练”认真体会，用好数与形的统一 .复合函数的奇偶性、单调性.问题的解决关键在于：既把握复合过程，又掌握基本函数.(2)加强逆向思维、数形统一.正反结合解决基本应用题目，下一节我们将展

7、开研究奇偶性、单调性的应用.歼灭难点训练一、选择题1.( )下列函数中的奇函数是()x1A. f(x)=( x 1)1 xx 2 x( x 0)C.f(x)=x2x( x0)lg(1x 2 )B. f(x)=22 |2| x1sin xcosxD. f(x)=cosxsin x12.( )函数 f(x)=1x2x1的图象 ()1x 2x1A. 关于 x 轴对称B. 关于 y 轴对称C.关于原点对称D. 关于直线 x=1 对称二、填空题3.( )函数 f(x)在 R 上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_.4.( )若函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 满足 f(0)=

8、f(x1)=f( x2)=0 (0< x1<x2),x2,+) 上单调递增，则 b 的取值范围是 _.三、解答题5.( )已知函数x x2f(x)=a +(a>1).x1(1)证明：函数f(x)在 ( 1，+ )上为增函数 .(2)用反证法证明方程f(x)=0 没有负数根 .6.( )求证函数f(x)=x3在区间 (1， + ) 上是减函数 .( x21) 2f ( x1 ) f ( x2 ) 1；7.( )设函数 f(x)的定义域关于原点对称且满足：(i) f(x1 x2)=f ( x1 )f ( x2 )(ii) 存在正常数 a 使 f( a)=1. 求证：(1) f(x

9、)是奇函数 .(2) f(x)是周期函数，且有一个周期是4a.8.( )已知函数 f(x)的定义域为 R，且对 m、n R ,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且f( 1 )=0, 当 x> 1 时， f(x)>0.22(1)求证： f(x)是单调递增函数；(2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证.参考答案难点磁场exa1x1(1)解：依题意，对一切x R,有 f(x)=f( x),即aexaex+ae .整理，得 (aa )(ex 1 )=0.因此，有 a 1=0, 即 a2=1, 又 a>0, a=1exa(2)证法一：设xx11xx11)0 x1 x2,

10、则 f(x1) f(x2)= e 1 e2xx(e2e 1 )(x xe 1e2e 12ex1 ( ex2 x11) 1 ex1 x2ex1 x2由 x1>0,x2>0,x2>x1, ex2x1 1 >0,1 e x1 x2 0, f(x1) f(x2) 0,即 f(x1) f(x2) f(x)在(0,+ )上是增函数xxxx>0,e2x 1>0.证法二： 由 f(x)=ex+e，得 f (x)=exe=e·(e2x1).当 x (0,+ )时，e此时 f (x)>0,所以 f(x)在 0， + )上是增函数 .歼灭难点训练x 2x( x 0

11、)( x 2x)( x 0)一、 1.解析： f( x)=x( x 0)( x 2x)= f(x)，故 f(x)x2( x 0)为奇函数 .答案： C2.解析： f( x)= f(x),f(x)是奇函数，图象关于原点对称.答案： C二、3.解析：令 t=|x+1|,则 t 在 ( ,1 上递减， 又 y=f(x)在 R 上单调递增， y=f(|x+1|)在( , 1 上递减 . 答案： ( , 1 324.解析： f(0)= f(x1)= f(x2)=0, f(0)= d=0.f(x)=ax(x x1)( xx2)=ax a(x1+x2)x +ax1x2x， b=a(x1+x2),又 f(x)

12、在 x2,+ ) 单调递增，故a>0. 又知 0 x1 x,得 x1+x2>0, b=a(x1+x2) 0.答案： ( ,0）三、 5.证明： (1）设 1 x1 x2 +,则 x2 x1>0,a x2 x1 >1 且 a x1>0,ax2ax1ax1(ax2 x11)12>0, 又 x +1>0, x +1>0x22 x12 ( x22)( x11) ( x12)( x21)3( x2x1 )x21x11( x11)( x21)( x11)( x2>0,1)于是 f(x2) f(x1)= a x2 a x1 + x22x12>0x2

13、1x11 f(x)在( 1， +）上为递增函数 .(2）证法一：设存在x0 0(x0 1)满足 f(x0)=0, 则 ax0x02且由 0 ax0 1得 0x01 x02 1,即 1 x0 2 与 x0 0 矛盾，故 f(x)=0 没有负数根 .x012证法二：设存在x0 0(x0 1)使 f(x0)=0, 若 1 x0 0,则 x02 2, a x0 1, f(x0)x011 与 f(x0)=0 矛盾，若 x0x02ax0>0 ， f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾，故方程 f(x)=01,则>0,x01没有负数根 .6.证明： x 0, f(x)=111,1) 2x

14、( x 21) 21( x22x3x 4x(1x2 )设 1x1 x2+ ,则 111,11110 .x2 2x12x2 2x12x2 (11) 2x1 (11)2 0.11x2 2x121212x2 (1x2 2 )x1 (1x12 ) f(x1)>f(x2),f(x)在(1 ，+）上是减函数 .(本题也可用求导方法解决）7.证明： (1）不妨令 x=x1 x2,则 f( x)=f(x2 x1)=f ( x2 ) f ( x1 ) 1f ( x1 ) f ( x2 ) 1f ( x1 )f ( x2 )f ( x2 ) f ( x1 )=f(x1 x2)= f( x). f(x) 是奇函数 .(2）要证 f(x+4 a)=f(x),可先计算f(x+a),f( x+2a). f(x+a)=f x( a) = f (a) f ( x)1f ( a) f ( x) 1f ( x)1 ( f ( a) 1) .f (a) f (x)f ( a) f (x)f ( x)1f ( xa)1f ( x 2a) f ( x a) a a)1f ( xf ( x )111f ( x)1f ( x)11f ( x).f ( x)11 f(x+4a)=f( x+2a)+2 a =f