2020年厦门市高一上期末市质检模拟数学试题

1、2019-2020学年度厦门市第一学期高一年级质量检测数学试题满分为150分，考试时间120分钟.注意事项:1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。3 .全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效。一、选择题：本大题共8个小题，每小题 5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知全集U=R集合A= x|x(x+2)<0,B= x|log 2(x+1) <

2、; 1,则如图所示的阴影部分表示的集合是()A. (-2, 1)B. - 1, 0 U 1 , 2)C. (2, - 1 U0 , 1D. (0, 1)2 .函数f (工)=7=_+lnx的定义域是()A. (0,2)B. 0, 2C.(2,+8)D.(0,+8)3 . sin160° cos10°+cos20 ° sin170° =()A. 一-B,-C.Dl22224 .函数f (x) =在兀，兀的图象大致为()COS/+ XC.D.5 .化简21g 5+lg4-51QM52的结果为()A. 0B. 2C. 4D. 66-已知向量赢J,族兄，无二3且

3、正二-4诟，则()A. 4B. 2C. - 2D. - 48 .关于函数f (x) = sin| x|+|sin x|有下述四个结论:f (x)是偶函数f (x)在区间(工，兀)单调递增2f (x)在-兀，兀有4个零点f (x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.B. C.D.二、多选题：本大题共 2个小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得5分，选对但不全的得 3分，有选错的得0分.9 .设x表示不超过x的最大整数，如：兀=3, -3.7 =- 4.给出以下命题正确的是( )A.若 Xi< x2,则Xi W x2B. lg 1+

4、lg 2+ lg 3+ + lg 2015 = 4938C.若x>0,则可由2sin x=工解得x的范围为工，1) U (苣2-,兀 x669Z 1D.函数 f (x),则函数f (x) + f ( - x)的值域为0 , - 11+2X 210 .已知函数f (x) =2cos22x-2,下列命题中的真命题有()A. ?3 C R, f (x+3)为奇函数B. ?” C (0,如-),f (x) = f (x+2a)对 xC R恒成立4C. ?xi, X2C R,若 |f (xi) - f(X2)|=2,则 | xi - X2| 的最小值为 4D. ?Xi, X2C R,若 f (Xi

5、) = f(X2)=0,则 Xi - X2 = k Tt ( kC Z)三、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.在答题卡上的相应题目的答题区域 内作答.2i<4)的图象的一段，其解析式11 .已知集合 A= -2, 0, 1, 3, B= x| - Svxvj1,则An B的子集个数为212 .如图为 y= Asin ( x+() (Av 0, « > 0,为：.13 .若函数 y= sin ( x - ?L)( > 0)在(03恰有一个最大值，则 3的取值范围是XiC 1,2, ?X2C - 1 , 1使 f (X1)14 .已知函数 f (x) =x

6、2+2, g (x)=(1)x+m K2>g (x2),则实数m的取值范围是 .15 .已知函数f (x)在R上连续，对任意 xC R都有f ( - 3-x) = f (1+x);在(-巴-1)中任意取两个不相等的实数Xi,x2,都有(Xi-x2)f(Xi)- f(x。 V0恒成立;若f (2a- 1) < f (3a-2),则实数a的取值范围是.16 .已知 f(x)= 2| x 1| ,记 f 1(x)= f (x), f 2 (x)= f (f 1(x), ,f n+1(x)=f (fn(x),若对于任意的 nCN,|fn (X0)|W2恒成立，则实数X0的取值范围是 三、解

7、答题：本大题共 6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卡上相应题目的答题区域内作答.17 .(本小题满分10分)已知函数f (x) = Asin (cox+(j) (A> 0, w > 0, |(f)| v三)的最小正周期为 兀，函2数的图象关于点( 工，。)中心对称，且过点( ,1).22(I)求函数f (x)的解析式；(n)若方程2f (x) - a+1 = 0在xC0,，一上有解，求实数 a的取值范围.2已知函数f (x) =x+9.X(I)证明：函数 f (x)是奇函数；(n)判断函数f (x)在区间(2, +8)上的单调性，并用定义证明;(出)

8、若对？xe 2 , 4,都有x+_!wm恒成立，求 m的取值范围.OB = b.如图，在4OA叶，A是边BC的中点，|五|二2|证|25口 0成于点E,设瓦工,(1)用工和%表示向量OC, DC;(2)若说”示,求实数 入的值.如图，在平面直角坐标系中，点A(_L, 0), B (国，0),锐角a的终边与单位圆 O22交于点P.(I)用角a的三角函数表示点 P的坐标；* '*"1(n)当AP，BP= 一工时，求”的值.4(出)在轴上是否存在定点M使得I API =|而|成立？若存在，求出点 M的横坐标；2若不存在，说明理由.某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记

9、录发现，该服装在过去的一 个月内（以30天计）每件的销售价格 P （x）（百元）与时间x （天）的函数关系近似满足P （x） = 1+K （k为正的常数），日销售量Q （x）（件）与时间x （天）的部分数据如表所示：x （天）10202530Q (x)(件)110120125120已知第2哦天的日销售量为 126百元.（I ）求k的值；（n）给出以下三种函数模型：xQ （x） = a?b ；Q （x） = a?log bx；Q （x） = a| x- 25|+ b.请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q （x）（件）与时间x （天）的变化关系，并求出该函数的解析式

10、；*（出）求该服装的日销收入f （x） （1<x<30, xCN）（百兀）的最小值.已知函数f (x)的定义域为D,值域为f(D),即f(D)=y|y=f(x),xCD,若f(D) ?D,则称f (x)在D上封闭.2(1)分别判断函数 f (x) =2017x+log20i7x,式工)二1 在(0, 1)上是否封闭，说明理由；(2)函数f&);dQ+k的定义域为D= a, b,且存在反函数 y=f 1 (x),若函数f(x)在D上封闭，且函数f-1 (x)在f (D)上也封闭，求实数 k的取值范围；(3)已知函数f (x)的定义域为 D,对任意x, yC D,若xwy,有f

11、 (x) wf (y)恒成立，则称f(x)在D上是单射，已知函数f(x)在D上封闭且单射，并且满足fx(D) _ _ * _ _ 、一 .，、 ?D,其中 fn+1 (x) = f (fn (x) (nC N), f1 (x) = f (x),证明：存在 D的真子集，D?Dn1? -?C3?C2?D?D,使得f(x)在所有 D (i=1, 2,3,，n)上封闭.2020年厦门市高一年期末考试模拟1数学试题参考答案一 .选择题(共8小题)1 .【解答 解：已知全集 U= R,集合A= x| x (x+2) < 0=x| -2<x<0,B= x|log 2 (x+1) wi=x|

12、 - 1<x< 1,Bn (?uA)= x| - 1 vxw1n x| xw- 2 或 x>0 =x|0 w xw 1,An (?uB)= x| - 2<x<0Ax| x<- 1 或 x>1 =x| 2<x< 1,所以阴影部分对应的集合为Bn (?uA) UAn (?uB) = x|0<x<1Ux| - 2<x<-1,故选：C.2 .【解答】解：要使函数有意义，则.,x-2>0f K0/口得“得x>2,k>2即函数的定义域为(2, +8),故选：C.3 .【解答】 解：sin160 ° c

13、os10 ° +cos20 ° sin170 ° = sin20 ° cos10 ° +cos20 ° sin10 °= sin (20° +10° ) = sin30 ° =,2故选：D.4 .【解答】解：.f (x) =_E更过年，xC 兀，兀, COS/+ I.£ /、 -sinx-x sinx+x f / 、- f (-x) - f (x),cos(-x)+ x cosx+y.f (x)为-兀，兀上的奇函数，因此排除A;又f (兀)=£1/兀+二 二_巴。，因此排除B

14、, C; COS + 兀-1+ TT故选：D.5.【解答 解：原式=21g 5+2lg2 2=2 (lg5+lg2) - 2=0.故选：A.6-【解答】解：向量 0A二 a, 0B 二 b, 0C-C5 且 AC=-4CB,7.可得设一示=4(oc-oS),当 0WxW7t 时，f (x) = sin| x|+|sin x| = sin x+sin x = 2sin x,由 f (x) = 0 得 2sin x = 0 得 x= 0 或 x=兀，即为 3 0C=- 0A+4 0B,即彳=-工京酝3 3故选：D.故选：D.8.【解答】 解：f ( x) = sin| - x|+|sin ( x)

15、 | = sin| x|+|sin x| =f (x)则函数 f (x)是偶函数，故正确,当内 段，兀)时，sin|x1=sinx，1s则f (x) = sin x+sin x = 2sin x为减函数，故错误,cosl00 sinl70* cosl00sin(180° -10e )_ 01 JinlO。一心口£100cosl0 sinl0 sinl00 coslO02(哼mini。合口乳0°)-300)sinl0c coslO0sinl00 coslO°=4-2sin200y*2sinl0& coslOsin209由f (x)是偶函数，得在-兀

16、，)上还有一个零点 x=-兀,即函数f (x)在-兀，兀有3个零点，故错误，当sin| x| =1, |sin x| =1时，f (x)取得最大值 2,故正确，故正确是，故选：C.二.多选题(共2小题)9.【解答】解：;x表示不超过x的最大整数，对任意的实数xi<X2,有xiwx2,.A正确；- lg 1=0, lg 10= 1, lg 100=2, 1g 1000 = 3,，lg 1 =lg2 = lg 3 =lg4 ='= 1g 9=0,lg 10 = lg 11 = lg 99 =1, lg 100 = lg 102 = lg 999 =2, lg 1000=lg 1001

17、 = lg 2015 =3,. lg 1+ lg 2+ lg 3+ lg4+ +lg2015 = 9X 0+90 X 1+900X 2+1016X 3=4938,B正确；当x=2L时，2sin x =1 ,工=0,，x的取值范围不是工，1) U (且，兀,，6x66C错误；9X11ii1函数 f (x) 一 = -Z 一£ (一 , 一)，1+23ff2X+1222严同理，f(- x) e ( -1, 1),2 2当 f (x) e(- 1, 0)时，f( x) e (0, 1), . f (x) = - 1, f ( x) = 0,22 f (x) + f ( - x) = - 1

18、,同理当 f (- x) £ (- -y, 0)时，f (x) C ( 0, -1), f (x) =0, f (-x)= 1 , f (x) + f Lx) =T,当 f (x) =0 时，f Lx) = 0,f (x) =0, f Lx) =0, f (x) + f Lx) =0,综上，y=f (x) + f ( - x) = -1, 0,D正确.故选：ABD210.【斛答】 斛：由题息，f (x) = 2cos 2x 2= cos4x 1;. f (x) = cos4x- 1的图象如图所示；函数f (x+3)的图象是f (x)的图象向左或向右平移| 3 |个单位,它不会是奇函数

19、的，故 A错误；f ( x) = f (x+2 a ) , 1- cos4x - 1 = cos ( 4x+8 1 ) - 1, - 8 a = 2k %, a = k n , k C Z;4又 a e(0, 3n ),取 a =或-时，442. .f (x) = f (x+2 a)对 xCR 恒成立，B 正确；| f (xi) - f (x2) | = |cos4 xi cos4x2| = 2 时，|xi-x2|的最小值为 工= WL=2L,C正确；2 2X44当 f (xi) = f (x2)= 0 时，xi x2=kT=k?!ZL=!ZL (kC Z),D错误;42ii.【解答】 解：.

20、/= 2, 0, i, 3, B=x| -.<x<-,22.An B= -2, 0, i,3.An B的子集个数为：2 =8个.故答案为：8.12 .【解答】 解：由函数的图象可知，A=-T= 2X ) =3=空-=2、63T所求解析式为y= - V3sin (2x+()点(工，0)在图象上，0=-dsin (2xW-+(j) 33|(f)| < ；-由此求得 4 =，所求解析式为y= - Vsin (2x+JL)3故答案为：y= - J5sin (2x+1).13 .【解答】 解：. x (0,工)，3>0, . 一 ?L<Gx-<Ra-工，63363.y

21、=sin (co x-2L)的第一个最大值出现在Wx-2L=J1,即 x=_2L；33263第二个最大值出现在 wx-2L=i2L,即x=H2L；3266函数y= sin (cox-JL)(> 0)在(0, A)上恰有一个最大值，3663663 彷 s 5 V co W 17.3的取值范围是(5, 17.故答案为：(5, 17.14 .【解答 解：xC1, 2时，f (x) =x2+2, f' (x) =2x-2=fy_2 2(x)为递增函数，f (x) min=f (1) = 1+2=3,g (x) = ( x x+m 在T, 1上是递减函数，g (x) min= () 1+m

22、= +ni222.?x1C 1 , 2 , ?xzC -1, 1使 f (x1)> g (地)等价于 3>L+m 解得 m.22故答案为：.215 .【解答】 解：由f (- 3-x) = f (1+x)可知函数f (x)关于直线x= - 1对称；在(-8, 1)中任意取两个不相等的实数x1,x2,都有(x1-x2)f(x“- f(x2)< 0恒成立；可知函数f (x)在区间(-8, 1)上单调递减，由对称性可知函数f (x)在区间(-1, +8)上单调递增，不妨设 f (x) = ( x+1) 2,则由 f (2a- 1) v f (3a- 2)可得 4a2< ( 3

23、aT) 2,2整理得 5a 6a+1>0,即(a1) (5a1) >0,解得总或a> 1,所以实数a的取值范围是(心，+8).55故答案为：(q, 2)U(1, +8).16.【解答】解：f (x) = 2| x- 1|的对称轴为x= 1,且f (x)在(-8,1)递减，(1,8）递增,可得x=1时，取得最小值 0,由n=1时，| f i（X0） | W2恒成立，可取0WX0W1；当 n=2 时，f2 (x) = f (f i (x) = 2|2| x- 1| - 1| ,即有 f2 (0) = f2 (1) = f2 (2)=2,f2 (x)的零点为 X, 2,可取0wx0

24、wJL,满足题意； 2 22当 n=3 时，可得 f3(0) = f3 () = f 2 (1) = f 2 () = f 3 (2) = 2,22f3 (x)的零点为.1, 2,也_,工，可取0Wx°wL,满足题意；4 4 4 44当 n=4 时，可得 f4 (0) = f4 (L) =f4 (1)=f4 (旦)=f4 (1) = f4(&)=f4 (0) 42442=f 4 ( ) = f 4 (2) = 2,4f4 (x)的零点为-X, 3, .1,工，2, 空，,可取0wx°d,满足题意；8 8 8 8 88888归纳可得当0Wx0W_时，|fn （x

25、76;） |W2恒成立.2nH故答案为：0 ,.2nT四.解答题（共6小题）=7t17.【解答】解：（I）函数f （x） = Asin （cox+D的最小正周期为由 W > 0,得 3=2；由函数f （x）的图象关于点（工，0）中心对称, 122 x +（）= k %4 = +k 兀,k C Z；126又Ik、一白2o又f （x）过点（卷，D, .Asin(2X?L 工)=1,解得 A= 2,26，函数 f (x) = 2sin（2xT）(II )方程 2f (x) - a+1 = 0,JT a= 4sin (2x)+1;6又 xe 0 , 2L ,2x-JLe - JL, JEL,26

26、66 .sin (2x-2L) C -L, 1,62 .4sin (2x 2L) +1 - 1, 5,6 实数a的取值范围是-1, 5.18.【解答】 解：(I)函数f (x)的定义域为x|xw。,?xCx|xw。,都有-xCx|xw。,且 f (-x) = - x-且=-(x+W) = - f (x),所以，函数f (x)为奇函数；(n)判断：f (x)在区间(2, +8)上单调递增.证明：？x1，x2C (2, +8),且 xvx2,有 f (x” 一 f (x2)= ( x1+) ( x2+-)町x244=(x1一x2)+ (-)X1 x2町r?=(x1x2 4)X 1 X1 22<

27、; x1 < x2,a2>4, x1x2 4>0, x1一x2< 0,2 (xx2 4) V 0,即 f (x1)vf (x2),Xi X1 2二.函数f (x)在区间(2, +8)上是增函数；(出)由(n)可知，函数 f (x)在区间2 , 4上是增函数，所以 f (x) max= f (4) =5,d因为对？xC 2 , 4,都有x+< m恒成立，X所以 f (x) maxW m即 m>5.19 .【解答】解：(1) 0C= 0B+BC= OB+2BA= OB+2 (OA-OB) = 20A-OB = 2 a -DC= DB + BC= OB+2 ( 0

28、A_OB) = 2 OA - - OB = 2 a - - b .333（2）设 CE=w DC=2W3一旦 ub，3则翻:玩 + 瓦=2；Z+2d5 口 E= （2+2p） a- （1+5口）b, 33又通二£不=入,2+2区二入解得入=&.520 .【解答】 解：（I ） P （ cos a , sin a ）.2分（IIAP=（cosCt+? sin<i ）. BP=（cnsU-y, sin"） 23. 2 r=cos a-cosQ+sin aAP BP= （c口S仃+,）（心口吕口 3）+$i 口" U，'上=-cos CL因为三而二

29、，所以;-ccisCL= J，即c口号堂二，因为a为锐角，所以aL.6分3（出）法一：设 M （m 0）,则二-：, '.'' " -' I II!：1' -'1 '乙.H寸I MP I 2二（cos 口 f）n2立二l-2n8s 口 +m3，1 *619子)成立，U2.10分因为 | AP| =| MF| ,所以 CQS £ +="（1 -2mcos+ m ,所以(l+)cci5 Q+ (1对任意 口 (Oil+y=0所以2 ，所以m -2. M点的横坐标为-法二：设 M (m 0),则二-：'-

30、'.'' " -' I II：1' -''1 I 'u-HTI MP |2二（cos 口 f） 2+sirL2l-2Tncos口 + 如？，因为|下| =1|而|,2所以 cos + ：二 j (1 -ZmcoT a +，即 m- 2mc0s a 一4cos a - 4= 0, ( m+2)(m-(l<x<25) (25< k430)'(8分)(6分),(取一2) 2cos a =0,因为a可以为任意的锐角，(m- 2) - 2C0S a = 0不能总成立,所以n+2= 0,即m= -2, M点的横坐标为-2.10分.21 【解答】 解：(1)依题意有：f (20) =P (2)?Q (20),即(1+上)X 120= 126,所以 k= 1 .(2 分)20(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调,故只能选Q (x) = a|x - 25|+b.(4分)从表中任意取两组彳1代入可求得：Q (x) =- |x-25|+125 = 125-|x-25|